一次方程(组)及其应用.pdf
专题12 二元一次方程(组)及其应用-2019年中考数学冲刺之3年真题分类全解(第三编)(解析版)
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【考点】解二元一次方程组. 【分析】先用加减消元法求出 x 的值,再用代入消元法求出 y 的值即可. 【 解 析 】 解 : ①+②得 , 3x=15, 解 得 x=5, 把 x=5 代 入 ①得 , 10+3y=7, 解 得 y=﹣ 1.
故方程组的解为:
.
6
9.( 2016 湖 南 怀 化 , 16 , 8 分 ) 有 若 干 只 鸡 和 兔 关 在 一 个 笼 子 里 , 从 上 面 数 , 有 30 个 头 ; 从 下 面 数 , 有 84 条 腿 , 问 笼 中 各 有 几 只 鸡 和 兔 ?
D、2×(﹣3)﹣3‧1=﹣9≠﹣6,故此选项错误;
故选:A.
5.(2016 湖南常德,8,3 分)某 气 象 台 发 现 :在 某 段 时 间 里 ,如 果 早 晨 下 雨 ,那 么 晚 上 是 晴 天 ;
如 果 晚 上 下 雨 ,那 么 早 晨 是 晴 天 ,已 知 这 段 时 间 有 9 天 下 了 雨 ,并 且 有 6 天 晚 上 是 晴 天 ,7
x y 78, A. 3x 2 y 30.
x y 78, B. 2x 3y 30.
x y 30, C. 2x 3y 78.
x y 30, D. 3x 2 y 78.
【答案】D
2.(2016 浙江温州,4,4 分)已知甲、乙两数的和是 7,甲数是乙数的 2 倍.设甲数为 x,乙数为 y,根据题
②
由 ①-②,得 y=3.
把 y=3 代入②,得 x+3=2,解得 x=-1.
x 1,
∴原方程组的解是
y
3.
9x2 4 y2 36
4.(2016湖北黄石,20,8分)解方程组
七年级数学竞赛 第14讲 一次方程组的应用
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问题解决:
例 1.设 x,y 满足 x+3y+|3x−y|=19,2x+y=6,则 x=
,y=
。
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:两等式联立可得关于 x,y 的方程组,解题的关键是如何脱去绝对值符号。
例 2.已知 x,y,z 满足 2 = 3 = 5 ,则 3x − y 的值为( ) x y − z z + x y + 2z
11l+5b+2=3×(7a+3b+c)−(10a+4b+c)=3×30−40=50。 解法 3:11a+5b+2c=(10a+4b+c)+(a+b+c)=40+a+b+c,
需求出
a+b+c,原方程变形为
(a (a
+ +
b b
+ +c)ຫໍສະໝຸດ c)+ +
6a 9a
+ +
2b 3b
= =
30 40
① ②
①×3−②×2,得 a+b+c=3×30−40×2=10 所以 11a+5b+2c=40+10=50。
图(1)
图(2)
图(3)
11.如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后
仍是中心对称图形,若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就
能知道周长的图形的标号为( )。
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
(浙江省宁波市中考题)
①
②
第五章二元一次方程(组)及其解法(解析版)
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第五章二元一次方程组考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、二元一次方程(组)考点类型一、二元一次方程(组)考点类型二、用字母表示数考点类型三、二元一次方程(组)的解知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法考点类型二、消元法考点类型三、含参数类型考点类型四、整体思想、换元思想考点类型五、新定义风向知识点一、二元一次方程(组)考点类型一、二元一次方程(组)1.已知关于x ,y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程,则m ,n 的值为()A .,11m n ==-B .1,1m n =-=C .14,33m n ==-D .14,33m n =-=【答案】A根据二元一次方程的定义,得出关于m ,n 的方程组,求出答案.【详解】∵关于x 、y 的方程x 2m﹣n ﹣2+y m +n +1=6是二元一次方程,∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩,解得11m n =⎧⎨=-⎩.故选:A .【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法,熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键.2.若1335m n m x y --+=是二元一次方程,那么m 、n 的值分别为()A .2m =,3n =B .2m =,1n =C .1m =-,2n =D .3m =,4n =【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程判断即可.【详解】解:∵1335m n m x y --+=是二元一次方程,∴m -1=1,3n -m =1,解得:m =2,n =1,故选:B .此题考查了二元一次方程的定义,熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键.3.方程23235,3,3,320,6x y xy x x y z x y y -==+=-+=+=中是二元一次方程的有___个.【答案】1【分析】二元一次方程满足的条件:整式方程;含有2个未知数;未知数的最高次项的次数是1.【详解】解:符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y =5;xy =3,x 2+y =6的未知数的最高次项的次数为2,不符合二元一次方程的定义;x +3y=1不是整式方程,不符合二元一次方程的定义;3x −y +2z =0含有3个未知数,不符合二元一次方程的定义;由上可知是二元一次方程的有1个.故答案为:1.【点睛】主要考查二元一次方程的概念.要求熟悉二元一次方程的形式及其特点:含有2个未知数,未知数的最高次项的次数是1的整式方程.4.如果2120a b x y -++=是二元一次方程,则a =____,b =_____.【答案】3【分析】根据二元一次方程的定义可知21a -=,11b +=,据此可解出a 、b .解:依题意,得:2111a b -=⎧⎨+=⎩,解得:30a b =⎧⎨=⎩.故答案为:3,0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解,根据未知数的次数为1,可以列出方程组求解.5.下列方程组中,是二元一次方程组的是()A .35233x y x z +=⎧⎨-=⎩B .12163m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C .56m n mn n +=⎧⎨+=⎩D .321026x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可,即①含有两个二元一次方程,②方程都为整式方程,③未知数的最高次数都为一次.【详解】解:A :含有三个未知数,不是;B :符合条件,是;C :mn 项的次数为2,不是;D :存在不是整式的式子,不是.故选:B .本题主要考查二元一次方程组的判定,解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点.6.下列方程组中是二元一次方程组的是()A .141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩B .43624x y y z +=⎧⎨+=⎩C .41x y x y +=⎧⎨-=⎩D .22513x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成;根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案.【详解】解:A 、方程组141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中第一个方程不是整式方程,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意;B 、方程组中有三个未知数,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意;C 、该方程组是二元一次方程组,所以本选项符合题意;D 、方程组中第二个方程未知数x 、y 的次数是2,不是二元一次方程组,所以本选项不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义,属于基础概念题型,熟知二元一次方程组的概念是关键.7.已知方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ,y 的二元一次方程组,则()A .2m ≠±B .3m =C .3m =-D .3m ≠【分析】二元一次方程组:由两个整式方程组成,两个方程一共含有两个未知数,且含未知数的项的最高次数是1,这样的方程组是二元一次方程组,根据定义列方程或不等式,从而可得答案.【详解】解: 方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ,y 的二元一次方程组,203021m m m ⎧+≠⎪∴-≠⎨⎪-=⎩解得:233m m m ≠-⎧⎪≠⎨⎪=±⎩3.m ∴=-故选:.C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义,掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.考点类型二、用字母表示数8.由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为()A .223x y -=B .223x y =-C .2133x y =-D .223x y =-【分析】先移项,后系数化为1,即可得.【详解】解:132x y -=移项,得123y x =-,系数化为1,得223x y =-,故选B .【点睛】本题考查了方程的基本运算技能,解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能.9.在二元一次方程142653x y -=中,用含x 的代数式表示y ,则下面结论正确的是()A .20524xy -=B .52024x y -=C .52024x y +=D .52024x y +=-【答案】B【分析】先把二元一次方程142653x y -=去分母得:52420x y -=,再通过移项合并同类项可得结果.【详解】解:由二元一次方程142653x y -=去分母,得:52420x y -=,移项合并同类项得:52024x y -=,系数化为1得:52024x y -=,故选:B .【点睛】本题考查了二元一次方程的变形,解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤.10.把方程635x y -=改成用含x 的代数式表示y 为y =__________.【答案】2x -53【分析】把x 看作已知数求出y 即可.【详解】解:6x -3y =5,3y =6x -5,解得:y =2x -53故答案为:y =2x -53【点睛】此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x 看作已知数求出y .考点类型三、二元一次方程(组)的解11.已知14x y =-⎧⎨=⎩是方程mx ﹣y =3的解,则m 的值是()A .﹣1B .1C .﹣7D .7【答案】C【分析】把14xy=-⎧⎨=⎩代入mx﹣y=3,得到关于m的方程,进而即可求解.【详解】解:14xy=-⎧⎨=⎩是方程mx﹣y=3的解,∴-m﹣4=3,解得:m=-7,故选C.【点睛】本题主要考查二元一次方程的解,掌握方程的解的定义,是解题的关键.12.如果方程组23759x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是方程716x my+=的一个解,则m的值为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值,代入方程计算即可求出m的值.【详解】解:23759x yx y+=⎧⎨-=⎩①②{,①+②×3得:17x=34,即x=2,把x=2代入①得:y=1,把x=2,y=1代入方程7x+my=16得:14+m=16,解得:m =2,故选:C .【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念,解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键.13.二元一次方程210x y +=有______个解,有________个正整数解,它们是___________.【答案】无穷多412348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩;;;【分析】将x 看做已知数求出y ,即可确定出正整数解的个数.【详解】解:由方程210x y +=,得到102y x =-,当x =1时,y =8;当x =2时,y =6;当x =3时,y =4;当x =4时,y =2.则正整数解有4个,故答案为:无穷多;4;12348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩;;;.【点睛】本题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x 看做已知数求出y .14.若二元一次方程组51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩和23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩解相同,则可通过解方程组()求得这个解.A .151cx ay x y -=⎧⎨+=⎩B .51cx ay ax by -=⎧⎨+=⎩C .23151x y x y -=⎧⎨+=⎩D .23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据方程组同解,可知方程组的解同时满足四个方程,将两个已知方程组成方程组即可.【详解】解:∵二元一次方程组51cx ayx y-=⎧⎨+=⎩和23151x yax by-=⎧⎨+=⎩解相同,方程组的解同时满足这四个方程;∴解方程组23151x yx y-=⎧⎨+=⎩即可求出方程组的解,故选:C.【点睛】本题考查了方程组同解问题,解题关键是明确方程组的解的意义,把已知方程组成方程组.15.若关于x,y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩,则方程组(3)(1)4(3)(1)8a xb ya xb y+--=-⎧⎨++-=⎩的解是()A.14xy=-⎧⎨=⎩B.23xy=⎧⎨=⎩C.14xy=⎧⎨=-⎩D.52xy=⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】通过观察所给方程组的关系可得3213xy+=⎧⎨-=⎩,求出x、y即可.【详解】解:∵关于x,y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩,∴234 238a ba b-=-⎧⎨+=⎩,又∵(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩,∴3213x y +=⎧⎨-=⎩,解得14x y =-⎧⎨=⎩,∴方程组(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩,故选:A .【点睛】本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是要知道两个方程组之间的关系.16.已知关于x 、y 的方程组242x y a x y a -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 互为相反数,则a =__________.【答案】2【分析】直接①-②可得42x y a +=-,由题意可得0x y +=,进而可得420a -=,再解即可.【详解】242x y a x y a-=-⎧⎨-=⎩①②,①-②得:42x y a +=-,x y 、互为相反数,0x y ∴+=,420a∴-=,解得:2a=故答案为:2.【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组,解题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件x=−y.知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法17.用代入法解下列方程组:(1)3 759 y xx y=+⎧⎨+=⎩;(2)35 5215 s ts t-=⎧⎨+=⎩;(3)3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩;(4)4(1)3(1)2223x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩.【答案】(1)1252xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(2)25112011st⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(3)612xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩;(4)23xy=⎧⎨=⎩.【分析】根据代入法解二元一次方程组即可,代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入到另一个方程中去,这就消去了一个未知数,代入消元法简称代入法.【详解】(1)3759y x x y =+⎧⎨+=⎩①②将①代入②得:75(3)9x x ++=,解得12x =-,将12x =-代入①得,52y =,∴原方程组的解为:1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(2)355215s t s t -=⎧⎨+=⎩①②由①得,35t s =-③,将③代入②得,52(35)15s s +-=,解得2511s =,将2511s =代入③,得,2011t =,∴原方程组的解为:25112011s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(3)34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①得344y x =-③,将③代入②得,56(4)334x x 3--=,解得6x =,将6x =代入③,得,12y =-,∴原方程组的解为:612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩;(4)4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①得444332x y y --=--,即45y x =-③,由②可得3212x y +=④,将③代入④得32(45)12x x +-=,解得2x =,将2x =代入③,得,3y =,∴原方程组的解为:23x y =⎧⎨=⎩;【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组,掌握代入法是解题的关键.考点类型二、消元法18.用加减法解下列方程组:(1)29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩;(2)52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩;(3)258325x y x y +=⎧⎨+=⎩;(4)236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩.【答案】(1)272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩;(2)50x y =⎧⎨=⎩;(3)9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(4)6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【分析】(1)根据加减消元可直接进行求解方程组;(2)根据加减消元法可直接进行求解方程组;(3)根据加减消元法可直接进行求解方程组;(4)根据加减消元法可直接进行求解方程组.【详解】解:(1)29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得:48x =,解得:2x =,把2x =代入①式得:229y +=,解得:72y =,∴原方程组的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩;(2)52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得:735x =,解得:5x =,把5x =代入①得:55225y ⨯+=,解得:0y =,∴原方程组的解为50x y =⎧⎨=⎩;(3)258325x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3-②×2得:1114=y ,解得:1411y =,把1411y =代入①得:1425811x +⨯=,解得:911x =;∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;(4)236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3得:136x =,解得:613x =,把613x =代入①得:623613y ⨯+=,解得:2213y =,∴原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,熟练掌握加减消元法是解题的关键.考点类型三、含参数类型19.甲、乙两人同解方程组515411ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②时,甲看错了方程①中的a ,解得31x y =-⎧⎨=-⎩,乙看错了②中的b ,解得54x y =⎧⎨=⎩,试求20202021()a b +-的值.【答案】0【分析】将31x y =-⎧⎨=-⎩代入第二个方程可得b 的值,将54x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程得a 的值,即可求出所求式子的值.【详解】解:将31x y =-⎧⎨=-⎩代入411x by -=-得:1211-+=-b ,解得1b =将54x y =⎧⎨=⎩代入方程组中的515ax y +=得:52015a +=,即1a =-20202021()ab ∴+-20202021(1)(1)110=-+-=-=.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.20.若关于x 、y 的二元一次方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩与方程组4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩有相同的解.求m 、n 的值.【答案】m =1,n =3【分析】根据题意列不含m 、n 的方程组求解,求出x ,y 值,代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中即可解得m ,n .【详解】解:解方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩得:21x y =⎧⎨=⎩,代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中得:21314m n m n +=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得:13m n =⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解,解决本题的关键是根据题意重新联立方程组.21.已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同,求代数式2a +b 的平方根.【答案】代数式2a +b 的平方根是±1.【分析】由已知解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得31x y =⎧⎨=⎩,将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中,得21a b +=,即可求解.【详解】解: 方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同,∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩与2331ax by ax by +=⎧⎨+=-⎩的解相同,∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②,①2⨯得,466x y -=③,②3⨯得,9633x y +=④,③+④得,3x =,将3x =代入①得,1y =,∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩,将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中,得21a b +=,2a b ∴+的平方根为±1.【点睛】本题考查二元一次方程组的解,理解同解二元一次方程组的含义,将所给方程组重新组合新的方程组,灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键,也考查了平方根的性质.考点类型四、整体思想、换元思想22.材料:解方程组()1045x y x y y --=⎧⎨--=⎩时,可由①得1x y -=③,然后再将③代入②得415y ⨯-=,求得1y =-,从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=⎧⎨--=⎩【答案】7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】观察方程组的特点,把2x y -看作一个整体,得到322x y -=,将之代入②,进行消元,得到33422x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得76x =,进一步解得56y =,从而得解.【详解】解:()()423324x y x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②由①得322x y -=③,把③代入②得33422x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,解得76x =,把76x =代入③,得73262y ⨯-=,解得56y =,故原方程组的解为7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法:整体代入法.解方程(组)要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法.23.阅读材料在解方程组253 4115 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,明明采用了一种“整体代换”的解法.解:将方程②变形:4x +10y +y =5,即2(2x +5y )+y =5③;把方程①代入③得2×3+y =5,∴y =﹣1,把y =﹣1代入①,得x =4,∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩.请你解决以下问题;模仿明明的“整体代换”法解方程组436 8718 x y x y -=⎧⎨-=⎩①②.【答案】36x y =-⎧⎨=-⎩【分析】将方程②变形为()24318x y y --=,再将436x y -=整体代入即可求方程组.【详解】解:4368718x yx y-=⎧⎨-=⎩①②中将②变形,得()24318x y y--=③,将①代入③得,2×6﹣y=18,∴y=﹣6,将y=﹣6代入①得,x=﹣3,∴方程组的解为36 xy=-⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法,解题的关键是读懂题意,明确整体思想.24.阅读下列材料:小明同学遇到下列问题:解方程组23237432323832x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体,把(2x﹣3y)看成一个整体,通过换元,可以解决问题.以下是他的解题过程:令m=2x+3y,n=2x﹣3y.原方程组化为743832m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解的6024mn=⎧⎨=-⎩,把6024mn=⎧⎨=-⎩代入m=2x+3y,n=2x﹣3y,得23602324x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得914xy=⎧⎨=⎩所以,原方程组的解为914xy=⎧⎨=⎩.请你参考小明同学的做法解方程组:(1)3 6101 610x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩;(2)52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.【答案】(1)137x y =⎧⎨=-⎩;(2)1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路,按照所给的方法求出方程组的解即可.【详解】解:(1)令6x y m +=,10x y n -=,原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩,解得:12m n =⎧⎨=⎩,∴16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,解得:137x y =⎧⎨=-⎩.∴原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩.(2)令1m x =,1n y=,原方程组可化为:52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩,解得:32m n =⎧⎨=-⎩,∴1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,经检验,1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解.∴原方程组的解为1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【点睛】本题考查了解二元一次方程组,整体代换是解题的关键.考点类型五、新定义风向25.在平面直角坐标系中,已知点(),A x y ,点()2,2B x my mx y --(其中m 为常数,且0m ≠),则称B 是点A 的“m 系置换点”.例如:点()1,2A 的“3系置换点”B 的坐标为()1232,2312-⨯⨯⨯⨯-,即()11,4B -.(1)点(2,0)的“2系置换点”的坐标为________;(2)若点A 的“3系置换点”B 的坐标是(-4,11),求点A 的坐标.(3)若点(),0A x (其中0x ≠),点A 的“m 系置换点”为点B ,且2AB OA =,求m 的值;【答案】(1)()28,;(2)()21,;(3)1m =±.【分析】(1)根据题中新定义直接将m 的值代入即可得出答案;(2)根据题中新定义列出关于x 、y 的二元一次方程组求解即可得出答案;(3)根据题中新定义可得出点B 的坐标,再根据2AB OA =列方程求解即可得出答案.【详解】解:(1)点(2,0)的“2系置换点”的坐标为()22202220-⨯⨯⨯⨯-,,即()28,;(2)由题意得:2342311x y x y -⨯⨯=-⎧⎨⨯⨯-=⎩解得:21x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标为:()21,;(3) (),0A x ∴点()2,2B x my mx y --为()20,20x m mx -⨯-即点B 坐标为(),2x mx ∴2AB mx =,OA x= 2AB OA =22mx x∴= m 为常数,且0m ≠∴1m =±.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程,理解“m 系置换点”的定义并能运用是本题的关键.26.对x ,y 定义一种新的运算A ,规定:()()(),ax by x y A x y ay bx x y ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩(其中0ab ≠).(1)若已知1a =,2b =-,则()4,3A =_________.(2)已知()1,13A =,()1,20A -=.求a ,b 的值;(3)在(2)问的基础上,若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩恰好有2个整数解,求m 的取值范围.【答案】(1)2-;(2)12a b =⎧⎨=⎩;(3)2618m -<-≤【分析】(1)根据新定义就是即可;(2)根据题中的新定义列出方程组,求出方程组的解即可得到a 与b 的值;(3)由(2)化简得A (x ,y )的关系式,先判断括号内数的大小,再转化成不等式求解即可.【详解】解:(1)根据题中的新定义得:1×4+3×(-2)=-2,故答案为-2;(2)根据题中的新定义得:320a b a b +=⎧⎨-=⎩,解得:12a b =⎧⎨=⎩;(3)由(2)化简得:A (x ,y )=()()22x y x y y x x y ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩,∴在关于正数p 的不等式组()()3214132A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩,,中,∴A (3p ,2p -1)=7p -2>4,A (-1-3p ,-2p )=-2p +2(-1-3p )=-8p -2≥m ,∴p >67,p ≤m 28+-∵恰好有2个整数解,∴2个整数解为1,2.∴2≤m28+-<3,∴-26<m≤-18.【点睛】本题主要考查新定义的运算,解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组.。
2024年七年级数学下册专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】(举一反三)(人教版)
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专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】【人教版】【题型1 二元一次方程(组)的概念】...............................................................................................................1【题型2 已知二元一次方程(组)的解求参数】...............................................................................................2【题型3 二元一次方程(组)的解的情况】.......................................................................................................2【题型4 二元一次方程组的一般解法】...............................................................................................................3【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】...................................................................................................3【题型6 构建二元一次方程组】...........................................................................................................................4【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】...................................................................................5【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】...........................................................................................5【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】. (6)【例1】(2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习)下列万程中,是二元一次方程组的是( )①{x ―2y =3y +2z =7②{1x+y =4y ―2x=―1③{3(x ―4)―2x =1x ―y =5④{x 2―y3=12x +3y =12A .①②③B .②③C .③④D .①②【变式1-1】(2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习)关于x 、y 的方程(m ﹣2)x +y |m﹣1|=2是二元一次方程,则m 的值为 _____.【变式1-2】(2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中)下列方程:①2x ―y3=1;②x2+3y =3;③x 2―y 2=4;④5(x +y )=7(x ―y );⑤2x 2=3;⑥x +1y=1,其中是二元一次方程的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
应用二元一次方程组——增收节支(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
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专题5.16应用二元一次方程组——增收节支(知识梳理与考点分类讲解)【知识点1】列二元一次方程组解决增收节支问题(1)增长(降低)率问题:增长(降低)率=增(减)量/基数×100%,增长(减少)后的数量=基数×【1±增长(降低)率】.(2)销售问题:销售额=售价×销量,总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=(售价-进价)×销量,利润率=利润/进价×100%,打折后的价格=原价×折数÷10(3)储蓄问题:利息=本金×利率×期数.本息和=本金+利息.注意:在计算过程中要保持单位的统一.【特别提醒】1.对于增长(降低)率问题,审题时一定要看清是增长还是降低,而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低,不要颠倒.2.在储蓄问题中注意利率要根据期数而定,期数是按月算的,利率就用月利率,期数是按年算的,利率就用年利率.【考点目录】【考点1】方案问题;【考点2】行程问题;【考点3】工程问题;【考点4】销售与利润问题.【考点一】方案问题【例1】(2022上·广东深圳·八年级校考期末)现欲将一批荔枝运往外地销售,若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨;1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息,解答下列问题::(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨?(2)请你帮该物流公司设计租车方案.【答案】(1)1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨,1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨;(2)该物流公司共有3种租车方案,方案1:租用9辆A 型车,1辆B 型车;方案2:租用5辆A 型车,4辆B 型车;方案3:租用1辆A 型车,7辆B 型车.【分析】(1)设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨,1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨,由“用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨;1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨”,列出二元一次方程组,解方程组即可得出结论;(2)由“现有荔枝31吨,计划同时租用A 型车a 辆,B 型车b 辆,一次运完,且恰好每辆车都载满荔枝”,列出二元一次方程,结合a 、b 均为非负整数,即可得出各租车方案.(1)解:设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨,1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨,由题意得:210211x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得:34x y =⎧⎨=⎩,答:1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨,1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨;(2)由题意得:3431a b +=,∴3143b a -=,又∵a 、b 均为非负整数,∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩,∴该物流公司共有3种租车方案,方案1:租用9辆A 型车,1辆B 型车;方案2:租用5辆A 型车,4辆B 型车;方案3:租用1辆A 型车,7辆B 型车.【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程.【举一反三】【变式1】(2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末)五四青年节某校举办歌咏比赛,为鼓励本班同学们积极参加,刘老师花了48元钱买了甲、乙两种(两种都买)碳素笔作为奖品.已知甲种碳素笔每支6元,乙种碳素笔每支4元,则老师购买碳素笔的方案共有()A .4种B .3种C .2种D .1种【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用,设刘老师购买x 本甲种碳素笔,y 本乙种碳素笔,利用总价=单价⨯数量,可得出关于x ,y 的二元一次方程,结合x ,y 均为正整数,即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种.解:设刘老师购买x 本甲种碳素笔,y 本乙种碳素笔,根据题意得:6448x y +=,∴3122y x =- ,x y 是正整数,∴29x y =⎧⎨=⎩或46x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种.故选:B .【变式2】(2023下·山东烟台·七年级统考期中)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为.【答案】26【分析】设1艘大船可载x 人,1艘小船可载y 人,依题意:1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.列出二元一次方程组,求出x y +的值即可.解:设1艘大船可载x 人,1艘小船可载y 人,依题意得:232246x y x y +=⎧⎨+=⎩①②,①+②得:3378x y +=,26x y ∴+=,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26,故答案为:26.【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【考点二】行程问题【例2】(2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中)甲乙两地相距240千米,一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行,1小时20分两车相遇.相遇后,摩托车继续前进,小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地,小车在返回后半小时追上了摩托车,(1)求小车和摩托车的速度.(2)求相遇后,摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米?【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时,45千米/小时;(2)23小时或76小时或116小时或103小时【分析】(1)小车的速度为x 千米/时,摩托车的速度为y 千米/时,利用路程=速度⨯时间,结合两车速度间的关系,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出小车和摩托车的速度;(2)设相遇后,摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米,利用路程=速度⨯时间,结合两车相距30千米,可得出关于m 的一元一次方程,解之即可得出结论.(1)解:1小时20分43=小时.设小车的速度为x 千米/时,摩托车的速度为y 千米/时,根据题意得:4()240311(1)22x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得:13545x y =⎧⎨=⎩.答:小车的速度为135千米/时,摩托车的速度为45千米/时;(2)设相遇后,摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米,根据题意得:4530m =或45135(1)30m m --=或135(1)4530m m --=或4524030m =-,解得:23m =或7m 6=或116m =或143m =.答:相遇后,摩托车继续行驶23小时或76小时或116小时或103小时两车相距30千米.【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用,解题的关键是对于(2)要用分类讨论的思想求解,注意不要漏解.【举一反三】【变式1】(2023下·贵州·七年级校联考阶段练习)甲、乙两地相距880km ,小轿车从甲地出发2h 后,大客车从乙地出发相向而行,又经过4h 两车相遇.已知小轿车比大客车每小时多行20km ,设大客车每小时行km x ,小轿车每小时行km y ,则可列方程组为()A .20,64880x y x y -=⎧⎨+=⎩B .20,64880y x y x -=⎧⎨+=⎩C .880,6420y x y x -=⎧⎨+=⎩D .20,46880y x y x -=⎧⎨+=⎩【答案】B 【分析】设大客车每小时行km x ,小轿车每小时行km y ,根据小轿车比大客车每小时多行20千米,甲车行驶2小时,两车相向行驶4小时共走了880千米,据此列方程组求解.解:设大客车每小时行km x ,小轿车每小时行km y ,由题意得:2064880y x y x -=⎧⎨+=⎩,故选:B .【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组求解.【变式2】(2023下·云南曲靖·七年级统考期末)从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果上坡每小时走3km ,平路每小时走4km ,下坡每小时走5km ,那么从甲地到乙地需要36分钟,从乙地到甲地需要24分钟,甲地到乙地全程是多少?根据题意,老师给出的方程组为363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,则方程组中x 表示.【答案】从甲地到乙地的上坡路程【分析】设从甲地到乙地的上坡路为km x ,平路为km y ,根据保持上坡每小时走3km ,平路每小时走4km ,下坡每小时走5km ,那么从甲地到乙地用36分钟,从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,据此解答即可.解:设从甲地到乙地的上坡路为km x ,平路为km y ,依题意得363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,∴方程组中x 表示从甲地到乙地的上坡路程,故答案为:从甲地到乙地的上坡路程.【点拨】根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.【考点三】工程问题【例3】(2022下·河北石家庄·七年级校考阶段练习)现有一段长为180米的河道整治任务由A ,B 两个工程队先后接力完成.A 工程队每天整治12米,B 工程队每天整治8米,共用时20天.(1)根据题意,甲列出的方程组为20128180x y x y +=⎧⎨+=⎩,,分析甲所列的方程组,请指出未知数x ,y 表示的意义,x 表示,y 表示;(2)若设A 工程队共整治河道m 米,B 工程队共整治河道n 米,请根据题意列出二元一次方程组,并求出m ,n 的值.【答案】(1)A 工程队整治河道的天数;B 工程队整治河道的天数;(2)18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩;60,120【分析】(1)根据所列的方程组,结合题意,作答即可;(2)根据有一段长为180米的河道整治任务由A ,B 两个工程队先后接力完成,得到180m n +=,根据共用时20天得到:20128m n +=,即可得出方程组,再求解即可.(1)解:由题意和所列方程组可知:x 表示A 工程队整治河道的天数,y 表示:B 工程队整治河道的天数,故答案为:A 工程队整治河道的天数;B 工程队整治河道的天数;(2)设A 工程队共整治河道m 米,B 工程队共整治河道n 米,由题意,得:18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:12060m n =⎧⎨=⎩.即m ,n 的值分别为60,120.【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用,找准等量关系,正确的列出方程组是解题的关键.【举一反三】【变式1】(2021上·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中)某污水处理厂库池里现有待处理的污水m 吨.另有从城区流入库池的待处理污水(新流入污水按每小时n 吨的定流量增加).若该厂同时开动2台机组,需30小时处理完污水;若同时开动3台机组,需15小时处理完污水.若5小时处理完污水,则需同时开动的机组数为()A .6台B .7台C .8台D .9台【答案】B【分析】设同时开动x 台机组,每台机组每小时处理a 吨污水,根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水,同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”,即可得出关于m ,n 的二元一次方程组,解之即可得出m ,n 的值(用含a 的代数式表示),再由5小时内将污水处理完毕,即可得出关于关于x 的一元一次方程,解之可得出结论.解:设同时开动x 台机组,每台机组每小时处理a 吨污水,依题意,得2303031515a m n a m n ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩,解得:30m a n a =⎧⎨=⎩,∵5ax =30a +5a ,∴x =7.答:要同时开动7台机组.故选:B .【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题,正确的理解题意是解题的关键.【变式2】(2020上·重庆万州·八年级校考期中)一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管,现水池中有一定量的水,打开进水管(注水速度一致),若只打开一个出水管,则1小时正好能把水池中的水放完;若打开两个出水管,则20分钟正好能把水池中的水放完;问若打开三个出水管,则需要分钟恰好能把水池中的水放完.【答案】12【分析】设进水管的进水速度为x ,每一个出水管的出水速度为y ,水池中原有水量为a ,根据题意列方程组求解解:设进水管的进水速度为x ,每一个出水管的出水速度为y ,水池中原有水量为a ,由题意可得:1111233a x y a x y +⋅=⋅⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩,解得:2x a y a =⎧⎨=⎩设打开三个出水管需要b 小时能把水池中的水放完,则3a xb b y+=⋅13325a ab y x a a ===-⨯-时=12分故答案为:12【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,理解题意,正确列出等量关系求解是关键.【考点四】销售与利润问题【例4】(2023上·全国·八年级专题练习)为促进消费,某商家对商品进行打折促销.打折前,2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元;1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元.(1)求每件A 商品和每件B 商品的售价;(2)若两种商品的折扣相同,打折后,9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元.求商家打几折出售这两种商品.【答案】(1)每件A 商品售价为9元,每件B 商品的售价为12元;(2)商家打8折出售这两种商品【分析】本题考查一元一次方程,二元一次方程组的应用.(1)设每件A 商品售价为x 元,每件B 商品的售价为y 元,根据2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元;1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元得解方程组求解即可;(2)设商家打m 折出售这两种商品,根据9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元列方程求解即可.解:(1)设每件A 商品售价为x 元,每件B 商品的售价为y 元,根据题意得:230233x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得912x y =⎧⎨=⎩,∴每件A 商品售价为9元,每件B 商品的售价为12元;(2)设商家打m 折出售这两种商品,根据题意得:99812141.61010m m ⨯⨯+⨯⨯=,解得8m =,答:商家打8折出售这两种商品.【举一反三】【变式1】(2023下·湖南益阳·七年级校考期中)五一节前夕,某超市用1680元购进A ,B 两种商品共60件,A 型商品每件24元,B 型商品每件36元,设购进A 型商品x 件,B 型商品y 件,依题意列方程组正确的是()A .3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩B .6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C .6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩D .2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B【分析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品,分别得出等式组成方程组即可.解:设购进A 型商品x 件,B 型商品y 件,根据题意,得6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩.故选:B【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.【变式2】(2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中)在当地农业技术部门的指导下,小明家种植的大棚油桃喜获丰收,去年大棚油桃的利润(利润=收入-支出)为12000元,今年大棚油桃的收入比去年增加了20%,支出减少了10%,预计今年的利润比去年多11400元,设小明家去年种植大棚油桃的收入为x 元,支出是y 元.依题意列方程组.【答案】12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【分析】审题,明确等量关系,建立方程组.解:由题意知,今年收入为(120%)x +,今年支出(110%)y -,故12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩故答案为:12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,根据题意明确等量关系是解题的关键.。
七年级上册数学《一元一次方程》13种应用题
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一元一次方程应用考试题型大全1、工程问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一,其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来,把实际问题转化成方程或方程组,从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤(解题思路)(1)审——审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系).(2)设——设出未知数:根据提问,巧设未知数.(3)列——列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)答——检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)【典例探究】例1将一批数据输入电脑,甲独做需要50分钟完成,乙独做需要30分钟完成,现在甲独做30分钟,剩下的部分由甲、乙合做,问甲、乙两人合做的时间是多少?解析:首先设甲乙合作的时间是x分钟,根据题意可得等量关系:甲工作(30+x)分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1,根据等量关系,列出方程,再解方程即可.设甲乙合作的时间是x分钟,由题意得:2、比赛计分问题【典例探究】例1某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作,得了103分,则这个人选错了道题。
解:设这个人选对了x道题目,则选错了(45-x)道题,于是3x-(45-x)=1034x=148解得x=37则45-x=8答:这个人选错了8道题.例2某校高一年级有12个班.在学校组织的高一年级篮球比赛中,规定每两个班之间只进行一场比赛,每场比赛都要分出胜负,每班胜一场得2分,负一场得1分.某班要想在全部比赛中得18分,那么这个班的胜负场数应分别是多少?因为共有12个班,且规定每两个班之间只进行一场比赛,所以这个班应该比赛11场,设胜了x场,那么负了(11-x)场,根据得分为18分可列方程求解.【解析】设胜了x场,那么负了(11-x)场.2x+1•(11-x)=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4.【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则,规则不同,积分方式不同,常见的数量关系有:每队的胜场数+负场数+平场数=这个队比赛场次;得分总数+失分总数=总积分;失分常用负数表示,有些时候平场不计分,另外如果设场数或者题数为x,那么x 最后的取值必须为正整数。
数学八年级上册二元一次方程组的实际应用题型(含答案解析)
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二元一次方程组的实际应用(十大题型)【题型1 数字问题】【题型2 年龄问题】【题型3 配套问题】【题型4 鸡兔同笼问题】【题型5 牛羊值金问题】【题型6 几何问题】【题型7 球赛积分问题】【题型8 盈不足问题】【题型9 销售问题】【题型10 方案问题】【题型1 数字问题】【典例1】一个两位数的十位数字比个位数字大2,如果将十位数字与个位数字交换位置,所得新数和【变式1-1】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数,十位数字是个位数字的两倍,且十位数字比个位数字大4,则这首歌的歌词的字数是.【答案】84【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x ,个位数字为y ,由题意:十位数字是个位数字的两倍,且十位数字比个位数字大4,列出二元一次方程组,解方程组即可.【详解】解:设这首歌的歌词的字数的十位数字为x ,个位数字为y ,由题意得:x =2yx ―y =4,解得:x =8y =4 ,即这首歌的歌词的字数为84,故答案为:84.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【变式1-2】一个三位数,十位数字比个位数字大1,百位数字是个位数字的2倍,把百位数字与个位数字对调,得到的三位数比原来的三位数小297,则原三位数为 .【变式1-3】一个两位数,十位数字比个位数字大3,若将十位数字和个位数交换位置,所得的新两位数比原两位数的13多15,求这个两位数.解得:x=6y=3,∴这个两位数为63.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据题意列出方程组是解题的关键.【题型2 年龄问题】【典例2】某学生想知道李老师的年龄,李老师说:“我像你这么大时,你才2岁,你长到我这么大时,我就35岁了.”请你算一算,今年李老师、该学生各多少岁.【答案】今年李老师24岁,该学生13岁【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用,理解题意设该学生今年x岁,李老师今年y岁,则根据该学生和李老师的年龄差不变,建立方程组求解即可.【详解】解:设该学生今年x岁,李老师今年y岁,则相据该学生和李老师的年龄差不变,可得y―x=x―2 y―x=35―y解得x=13 y=24答:今年李老师24岁,该学生13岁.【变式2-1】一天,小杨问数学老师有多少岁了,老师想了想,说:“我像你这么大时,你才4岁;你到我这么大时,我就40岁了.”根据语境,若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁,则可列方程组()A.x―y=4x+y=40B.x―4=yy―40=x C.x―4=x―yy―x=y―40D.x―4=y―xy―x=40―y【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用,理解题意是解题关键.设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁,根据“我像你这么大时,你才4岁;你到我这么大时,我就40岁了”列方程组即可.【详解】解:设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁,由题意得:x―4=y―x y―x=40―y,故选:D.【变式2-3】小芳与妈妈的年龄和是50岁,5年后,妈妈的年龄是小芳年龄的3倍,求小芳和妈妈的年龄各是多少.若设小芳x岁,妈妈y岁,则可列方程组为.【答案】x+y=50y+5=3(x+5)【分析】根据题意,得x+y=50y+5=3(x+5),解答即可.本题考查了方程组的应用,熟练掌握方程组的意义是解题的关键.【详解】解:根据题意,得x+y=50y+5=3(x+5).故答案为:x+y=50y+5=3(x+5).【变式2-4】南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一,因疫情原因停办了好几年,今年正月又重新举行,吸引了众多的海内外游客参与.其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动,下面是记者与两个孩子的对话:记者:两位小朋友,你们几岁了?这么小就来拔拔灯了.妹妹:我比哥哥少4岁;哥哥:两年后,妹妹年龄的3倍与我的年龄相加.恰好等于爸爸的年龄;根据对话内容,请你用方程(组)的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄.【题型3 配套问题】【典例3】2023年杭州亚运会期间,吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱.为了提高销量,某店家推出了吉祥物套装礼盒,一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣.已知一个玩偶的进价为60元,一个钥匙扣的进价为20元,该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣,使得刚好配套.求所购进的玩偶和钥匙扣的个数.【答案】购进50个玩偶,100个钥匙扣【分析】设购进x个玩偶,y个钥匙扣,利用总价=单价×数量,结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系,即可列出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【详解】解:设购进x个玩偶,y个钥匙扣,∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣,∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍,∴2x=y;∵一个玩偶的进价为60元,一个钥匙扣的进价为20元,且店家共花费5000元,∴60x+20y=5000.∴根据题意可列出方程组2x=y60x+20y=5000.解得x=50 y=100∴购进50个玩偶,100个钥匙扣【变式3-1】一工坊用铁皮制作糖果盒,每张铁皮可制作盒身20个,或制作盒底30个,一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒.现有35张铁皮,设用x张制作盒身,y张制作盒底,恰好配套制成糖果盒,则下列方程组中符合题意的是()A.x+y=35y=2x B.x+y=352×20x=30y【变式3-2】服装车间有70名工人,缝制一种成人套装(2件上衣和1条裤子配成一套).已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条,设x名工人缝制上衣,y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套,则下列方程组正确的是()A.x+y=706x=4y B.x+y=70 2x=yC.x+y=702×6x=4y D.x+y=70 6x=2×4y【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,根据“服装车间有70名工人,缝制一种成人套装(2件上衣和1条裤子配成一套).已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条”,可得出关于x,y 的二元一次方程组,此题得解.【详解】服装车间有70名工人,∴x+y=70;∵缝制一种成人套装(2件上衣和1条裤子配成一套).已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条,∴6x=2×4y.∴根据题意可列二元一次方程组x+y=706x=2×4y.故选:D.【变式3-3】某工厂加工圆柱形的茶叶盒,购买了25块相同的金属板材,已知每块金属板材可以有A,B,C三种裁剪方式.A方式:裁剪成9个圆形底面和1个侧面.B方式:裁剪成4个侧面.C方式:裁剪成12个圆形底面,如下图.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒,且要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有4块金属板材按C方式裁剪.(1)设有x块金属板材按A方式裁剪,y块金属板材按B方式裁剪.则可以裁剪出圆形底面共 个(用含x的代数式表示),侧面共 个(用含x,y的代数式表示);(2)这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒?【答案】(1)(9x+48);(x+4y)(2)60个【分析】由题意,明确等量关系,建立二元一次方程组求解.【详解】(1)解:由题意,可以裁剪出圆形底面共(9x+48)个,侧面共(x+4y)个;(2)依题意得:x+y+4=259x+48=2(x+4y),解得:x=8y=13,∴x+4y=8+4×13=60.答:最多能加工60个圆柱形茶叶盒.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,根据题意明确等量关系是解题的关键.【题型4 鸡兔同笼问题】【典例4】“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雉兔同笼,上有二十五头,下有七十六足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有25个头;从下面数,有76条腿,问笼中各有几只鸡和兔?【答案】笼中有12只鸡,13只兔【分析】根据“上有二十五头,下有七十六足”,得出关于x,y的二元一次方程组,解之即得.【详解】设笼中有x只鸡,y只兔.由题意得:x+y=25 2x+4y=76解得:x=12 y=13答:笼中有12只鸡,13只兔.【点睛】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题,找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键.【变式4-1问鸡兔各几何?意思是现在笼子里既有鸡又有兔,有35个头,94只脚,设有鸡、兔各为x,y只,那么下列选项中,方程组列正确的是()A.x+y=354x+4y=94B.x+2y=352x+4y=94C.x+y=354x+2y=94D.x+y=352x+4y=94【答案】D【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解题的关键是理解题意,找到题目的等量关系.根据“鸡的数量+兔的数量=35,鸡的脚的数量+兔子的脚的数量=94”可列方程组.【详解】解:设有鸡、兔各为x,y只,根据题意,可列方程组为x+y=352x+4y=94,故选:D.【变式4-2】某校组织学生参加数学知识竞赛,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答,下表是部分参赛者的得分统计表:参赛者答对题数答错题数得分于潇200100王晓林18288李毅101040…………(1)观察、分析表格提供的数据可知:答对1题得______分,答错1题扣______分;(2)若设答对题数是x,得分为y,请用含x的代数式表示y;(3)参赛者李小萌得了76分,求他答对了几道题;(4)参赛者马小虎说他得了80分,你认为可能吗?为什么?【答案】(1)5;1(2)y=6x―20(3)答对了16道题(4)不可能,见解析【分析】(1)设答对一题得m分,答错一题扣n分,根据题意得:20m=10018m―2n=88,进行计算即可得;(2)若答对x道题,得分为y分,则答错(20―x)道题,依题意得:y=5x―(20―x)=6x―20;(3)根据(2)中的所得y与x的关系式,将y=76代入计算即可得;(4)令y=80,即6x―20=80,进行计算即可得.【详解】(1)解:设答对一题得m分,答错一题扣n分,根据题意得:20m=10018m―2n=88,解得:m=5n=1,即答对一题得5分,答错一题得1分,故答案为:5;1;(2)解:若答对x道题,得分为y分,则答错(20―x)道题,依题意得:y=5x―(20―x)=6x―20;(3)解:依题意得:6x―20=76,解得:x=16,即他答对了16道题;【题型5 牛羊值金问题】【典例5】我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子,问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文,提出以下两个问题:(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子?(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两须全部用完),请你为商人列出所有可能的购买方法.【答案】(1)每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2)方案1:1头牛,4只羊;方案2:3头牛,1只羊.【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准数量关系,正确列出二元一次方程.(1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,根据“5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设购买m头牛,n只羊,根据某商人准备用11两银子买牛和羊,列出二元一次方程,然后求出满足条件的正整数解即可.【详解】(1)解:设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,依题意得:5x+2y=192x+5y=16,解得:x=3y=2,答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子;【变式5-1】在数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有牛五,羊二,值金十九两;牛二羊五,值金十六两,问牛羊各值金几何?”译文:“五头牛和两只羊共值金19两,两头牛和五只羊共值金16两,问牛和羊各值金多少两?”请你解决这个问题.十六两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子,问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文,提出以下两个问题:(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子?(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛,且银两须全部用完),且羊的数量不少于牛数量的2倍,请问商人有几种购买方法?列出所有的可能.【答案】(1)每头牛值3两银子,每只羊值2两银子(2)①购买2头牛,11只羊;②购买4头牛,8只羊.【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准数量关系,正确列出二元一次方程.(1)设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,根据“5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;【变式5-3】我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文,求每头牛、每只羊各值多少两银子?【答案】每头牛值3两银子,每只羊值2两银子【分析】设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,根据“5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;【详解】解:设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子,依题意得:5x+2y=192x+5y=16,解得:x=3y=2.答:每头牛值3两银子,每只羊值2两银子.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以,解题的关键是找准数量关系.【题型6 几何问题】【典例6】如图,制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒,需用正方形和长方形两种硬纸板,且长方形的宽与正方形的边长相等.现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片,可制作甲、乙两种纸盒各多少个?【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个,60个.【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,设可以做成甲乙两种小盒各x个,y个,根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可.【详解】解:设可以做成甲乙两种小盒各x个,y个,由题意得,4x+3y=300x+2y=150,解得x=30y=60,答:可以做成甲乙两种小盒各30个,60个.【变式6-1】如图,小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形,已知电视背景墙的高度为1.5m,求每块小长方形墙砖的长和宽.【答案】长为1.2m,宽为0.3m【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用,由图可知,小长方形墙砖的长是宽的4倍,小长方形墙砖的长加宽为1.5m,设每块小长方形墙砖的长为x m,宽为y m,列出方程组求解即可.【详解】解:设每块小长方形墙砖的长为x m,宽为y m.由题意得x+y=1.5x+4y=2x,解得x=1.2y=0.3,答:小长方形墙砖的长为1.2m,宽为0.3m.【变式6-2】如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成,则图中阴影部分的面积为多少?【答案】36【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,设小长方形的长为x,宽为y,根据题意可知长加上宽的两倍等于15,长为宽的三倍,据此列出方程组求解即可.【详解】解;设小长方形的长为x,宽为y,由题意得,x+2y=15x=3y,解得x=9y=3,∴阴影部分的正方形边长为2y=6,∴阴影部分的面积为:62=36.【变式6-3】在大长方形ABCD中,放入九个相同的小长方形,数据如图所示,请求出小长方形的长和宽.【答案】小长方形长为8,宽为3【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,设小长方形长为x,宽为y,根据长加宽的3倍等于17,长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可.【详解】解:设小长方形长为x,宽为y,由题意得,x+4y=20x+3y=17,解得:x=8y=3,答:小长方形长为8,宽为3.【变式6-3】刘爷爷计划在一块长为20m,宽为17m的长方形空地种上蔬菜,如图所示,在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄(阴影部分),其余部分种植辣椒.已知正方形的边长与小长方形的宽相等,请分别求出种番茄和辣椒的面积.【题型7 球赛积分问题】【典例7】篮球赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.小组积分赛中,每个队伍要进行12场比赛.(1)A队胜了8场,那么他们负了场,积分是分.(2)B队总积分为21分,那么B队胜负场数分别是多少?【答案】(1)4,20;(2)B队胜了9场,负了3场.【分析】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程组解决问题.(1)由题意知A队负了4场,再由积分规则计算即可得到A队积分为20分;(2)设B队胜了x场,负了y场,由等量关系列方程组求解即可解得答案.【详解】(1)解:∵每个队伍要进行12场比赛,∴A队胜了8场,负了12―8=4(场),∵8×2+4×1=20(分),∴A队积分为20分,故答案为:4,20;(2)解:设B队胜了x场,负了y场,由题意可得x+y=122x+y=21,解得x=9y=3,答:B队胜了9场,负了3场.【变式7-1】.“篮球赛场见真章,明德学子展风采”.第七届“明德杯”篮球赛中,每场比赛都要分出胜负.每队胜1场得2分,负1场得1分.小组积分赛中,每个队伍要进行24场比赛.(1)“卧龙队”胜了16场,负了______场,积分是______分.(2)“雄鹰队”总积分为43分,那么“雄鹰队”胜负场数分别是多少?【答案】(1)8,40(2)“雄鹰队”胜了19场,负了5场【分析】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程组解决问题.(1)由题意知“卧龙队”负了8(场),再由积分规则计算即可得到“卧龙队”积分为40分;(2)设“雄鹰队”胜了x场,负了y场,由等量关系列方程组求解即可解得答案.【详解】(1)解:∵每个队伍要进行24场比赛,∴“卧龙队”胜了16场,负了24―16=8(场),∵16×2+8×1=40(分),∴“卧龙队”积分为40分,故答案为:8,40;(2)解:设“雄鹰队”胜了x场,负了y场,由题意可得x+y=242x+y=43,解得x=19y=5,答:“雄鹰队”胜了19场,负了5场.【变式7-2】“篮球赛场见真章,明德学子展风采”.在第七届“明德杯”篮球赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.在小组积分赛中,每个队伍要进行18场比赛.(1)若“卧龙队”共胜了12场,求该队获得的总积分.(2)若“雄鹰队”总积分为32分,则该队胜、负场数分别是多少?【答案】(1)“卧龙队”获得总积分为30分(2)“雄鹰队”胜了14场,负了4场【分析】本题考查有理数运算的实际应用,二元一次方程组的实际应用:(1)根据得分规则,列出算式进行计算即可;(2)设“雄鹰队”胜了x场,负了y场,根据题意,列出方程组进行求解即可.【详解】(1)解:∵每个队伍要进行18场比赛,“卧龙队”胜了12场,∴负了18―12=6场,12×2+6×1=30分,∴“卧龙队”获得总积分为30分.(2)设“雄鹰队”胜了x场,负了y场.由题意,得x+y=18 2x+y=32解得x=14 y=4答:“雄鹰队”胜了14场,负了4场.【变式7-3】问题:在篮球比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?(1)若设该队胜x场,负y场,用含有x,y的式子表示下面的量:①该队一共比赛的场数是___________场;②该队共获得积分是________分;(2)根据(1),列出问题中的等量关系,得到方程组为_____________.(3)求解(2)中的方程组.【答案】(1)①(x+y);②(2x+y)(2)x+y=102x+y=16(3)x=6y=4【分析】(1)根据题意列出代数式即可;(2)根据某队在10场比赛中得到16分,列出方程组即可;(3)用加减消元法解方程组即可.【详解】(1)解:①该队一共比赛的场数是(x+y)场;②该队共获得积分是(2x+y)分.故答案为:①(x+y);②(2x+y).(2)解:∵某队在10场比赛中得到16分,∴x+y=102x+y=16;故答案为:x+y=102x+y=16.(3)解:x+y=10①2x+y=16②,②―①得:x=6,把x=6代入①得:6+y=10,解得:y=4,∴方程组的解为x=6y=4.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是理解题意,根据等量关系列方程组.【题型8 盈不足问题】【典例8】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝,尤其是方程思想(1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”如:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项,即可表示方程x+4y=23,求:表示的方程(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少?”【答案】(1)x+2y=32(2)共有7人;物品的价格为53元【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用.(1)根据横着的算筹为10,竖放的算筹为1,依次表示x,y的系数与等式后面的数字,即可列方程,然后组成方程组;(2)根据总钱数不变列式求解即可得到答案.【详解】(1)解:表示的方程是x+2y=32;(2)解:设有x人,则物品的价格为(8x―3)钱,由题意可得,8x―3=7x+4,解得:x=7,∴8x―3=7×8―3=53,答:共有7人;物品的价格为53元.【变式8-1】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题:“今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十.问家数、牛价各几何.”大意为:今有若干户人家共同买牛,若每7家共出190个钱,则少330个钱:若每9家共出270个钱,则多30个钱.问共同买牛的家数和牛价各是多少?请你解决上述问题.【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中《盈不足》卷记载了一道数学问题:“今有共买物,人出八,赢三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”译文:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多出3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数、物价各多少?”请解答上述问题.【答案】共7人合伙购物,物价是53钱【详解】设物价为x钱,人数为y人,根据“每人出8钱,会多出3钱;每人出7钱,又会差4钱,”列出方程组,即可求解.解:设共x人合伙购物,物价是y钱,依题意得:8x―y=3 y―7x=4,解得:x=7y=53.答:共7人合伙购物,物价是53钱.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【变式8-3】《孙子算经》是中国古代的数学著作,成书大约一千五百年前.卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法,其中“物不知数”的问题.在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五,屈绳量之,不足一尺,问木长几何?”大致意思是“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,向木条长多少尺?”【题型9 销售问题】【典例9】2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选,参赛者为了购买服装,在某商厦购买商品A,B共三次,只有一次购买时,商品A,B同时打折,其余两次均按标价购买,三次购买商品A,B的数量和费用如下表:购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062(1)参赛者按打折扣价购买商品A,B是第______次购买;(2)求商品A,B的标价;(3)若商品A,B的折扣相同,则商店是打几折出售这两种商品的?【变式9-1】今年春季,蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题:(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩?(2)如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元,那么种植场在这一季共获利多少万元?【答案】(1)茄子和西红柿的种植面积各为11亩,4亩;(2)21.8万元.【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,有理数四则混合计算的实际应用:(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩,y亩,根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可;(2)根据(1)所求,列式计算即可.【详解】(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩,y亩,得:x+y=152x+y=26,解得:x=11y=4,答:茄子和西红柿的种植面积各为11亩,4亩;(2)11×1.4+4×1.6=21.8(万元),答:种植场在这一季共获利21.8万元.【变式9-2】小明在某商店购买商品A,B共三次,只有一次购买时,商品同时打折,其余两次均按标价(1)求商品A,B的标价;(2)若商品A,B的折扣相同,问商店是打几折出售这两种商品的?【答案】(1)商品A的标价为90元,商品B的标价为120元(2)商店是打6折出售这两种商品的【分析】(1)设商品A的标价x元,商品B的标价为y元,由表中数据列出二元一次方程组,解方程组即可;(2)设商店是打a折出售这两种商品的,由打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元,列出一元一次方程,解方程即可.【详解】(1)由表中数据可知,小明以折扣价购买商品A,B是第三次购物.设商品A的标价为x元,商品B的标价为y元,由题意得:6x+5y=11403x+7y=1110,解得:x=90y=120,答:商品A的标价为90元,商品B的标价为120元;(2)解:设商店是打a折出售这两种商品的,由题意得:(9×90+8×120)×0.1a=1062,解得:a=6,答:商店是打6折出售这两种商品的.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.【变式9-3】为减少库存,某商店举行了促销优惠活动.打折前,购买6个A商品和5个B商品,总费用为114元;3个A商品和7个B商品,总费用为111元.打折后,小明购买了9个A商品和8个B商品,总费用为141.6元.(1)求打折前A商品和B商品的单价;(2)若A商品和B商品的折扣相同,则该商店打几折出售这两种商品?小明在此次购物中得到了多少优惠?【答案】(1)A商品的单价为9元,B商品的单价为12元;(2)八折;35.4元的优惠.【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.(1)设每个A商品的标价为x元,每个B商品的标价为y元,根据“打折前,购买6个A商品和5个B商品,总费用为114元;3个A商品和7个B商品,总费用为111元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设商店打m折出售这两种商品,根据“打折后,小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值,再利用获得的优惠=不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用,即可求出结论.。
人教版七年级数学下册第八章:二元一次方程组的实际应用(各题类 针对练习)(pdf版)
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二元一次方程组的实际应用(各类型题+针对练习)思维导图行程问题知识点1:二元一次方程组行程问题行程问题基本数量关系:路程=时间速度,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间船在顺水中的速度船在静水中的速度水流的速度船在逆水中的速度船在静水中的速度水流的速度学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容二元一次方程组的实际应用教学目标 1.进一步熟练掌握二元一次方程组的解法;2.学会运用方程组来解决实际问题;重、难点灵活运用方程组来解决实际问题例1.甲乙两地相距360千米,一轮船往返于甲、乙两地之间,顺水行船用18小时,逆水行船用24小时,若设船在静水中的速度为千米/时,水流速度为千米/时,则下列方程组中正确的是()A.B.C.D.例2.甲、乙两地相距100km,一艘轮船往返两地,顺流用4h,逆流用5h,那么这艘轮船在静水中的航速与水速分别是()A.24km/h,8km/hB.22.5km/h,2.5km/hC.18km/h,24km/hD.12.5km/h,1.5km/h例3:从A地到B地全程290千米,前一路段为国道,其余路段为高速公路.已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h,一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h.求A、B两地间国道和高速公路各多少千米?例4.:李强要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以60km/h的速度行驶,就会迟到24min;如果他以80km/h的速度行驶,就可以提前24min到达乙地,求甲、乙两地间的距离。
【学有所获】(1)回顾二元一次方程组的实际应用的解题步骤;(2)抓住题目中的关键字眼,转化为数学等量关系式。
例5:一列快车长168m,一列慢车长184m,如果两车相向而行,从相遇到离开需4s,如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16s,求两车的速度.【学有所获】1、回忆相遇问题的基本特征:时间、人物、地点、方向,时间是同时;人物是两方;地点:不同地点;方向:相向而行;2、回忆追及问题的基本特征:时间:同时;人物:两方;地点:有路程差;方向:同向。
初中数学:三元一次方程组及其应用(原卷版)
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2022-2023学年浙教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题04三元一次方程组及其应用名:___________班级:___________考号:___________、选择题(每题2分,共20分)1.(本题2分)(2023·全国·七年级专题练习)6321324x y z x y z x y z的解是( )A .115325515x y zB .95365515x y zC .215x y zD .431x y z2.(本题2分)(2023秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习)将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2022个格子中的数字是()3a b c1 02…A .3B .2C .0D .13.(本题2分)(2023·全国·七年级专题练习)购买铅笔7支,作业本3本,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4本,圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5本,圆珠笔2支共需( )A .4.5元B .5元C .6元D .6.5元4.(本题2分)(2023·全国·七年级专题练习)已知123x y z是方程组237ax by by cz cx az 的解,则a b c 的值为( )A .3B .2C .1D .05.(本题2分)(2022春·河南南阳·七年级统考期中)我们探究得方程2x y 的正整数解只有1组,方程3xy 的正整数解只有2组,方程4x y 的正整数解只有3组,……,那么方程9x y z 的正整数解的组数是( )A .27B .28C .29D .306.(本题2分)(2022秋·安徽·七年级周测)已知1,5,6x yy z x z ,则x y z 等于( )A .6B .7C .8D .97.(本题2分)(2022秋·安徽·七年级周测)有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需315元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需420元.现在购买甲、乙、丙各1件,共需()A .105元B .210元C .170元D .不能确定8.(本题2分)(2023春·七年级课时练习)已知方程组234113720x y m x y m的解x ,y 使32521x y m 成立,则m 的值是( )A .0B .12C .1D .29.(本题2分)(2019春·湖南长沙·七年级统考期中)已知方程组4520430x y z x y z(xyz≠0),则x :y :z 等于( )A .2:1:3B .3:2:1C .1:2:3D .3:1:210.(本题2分)(2022春·全国·七年级假期作业)解方程组3423126x y z x y z x y z①②③时,第一次消去未知数的最佳方法是()A .加减法消去x ,将①-③×3与②-③×2B .加减法消去y ,将①+③与①×3+②C .加减法消去z ,将①+②与③+②D .代入法消去x ,y ,z 中的任何一个、填空题(每题3分,共20分)11.(本题2分)(2023春·七年级课时练习)已知x ,y ,z 满足438324xyz,且212x y z ,则x____________.12.(本题2分)(2023·全国·七年级专题练习)我国的经济总量已居世界第二,人民富裕了,很多家庭都拥有多种车型.小明家有A、B、C三种车型,已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量;4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量.现有一批货物,原计划用1辆C型车5次可全部运完,由于C型车另有运输任务,现在安排1辆A型车单独装运9次,余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完,则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量).13.(本题2分)(2023春·七年级课时练习)某校用一笔钱来购买A,B两种奖品,若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元,若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元,那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差_________元.14.(本题2分)(2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中)中午放学后,有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐,由于二食堂面积较大,所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍,开始配餐后,仍有学生继续前来排队等候就餐,设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加,且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍,两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的,一食堂若开放12个配餐窗口,则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕;二食堂若开放20个配餐窗口,则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕;若需要在15分钟时刚好配餐完毕,则两个食堂需要同时一共开放_________个配餐窗口.15.(本题2分)(2023春·七年级单元测试)小华和小慧到校门外文具店买文件,小华购铅笔2支,练习本2本,圆珠笔1支,共付9元钱;小慧购同样铅笔1支,练习本4本,圆珠笔2支,共付12元钱,若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支,他需付______元钱.16.(本题2分)(2021春·重庆·七年级期末)为隆重庆祝建党一百周年,某学校欲购买A,B,C三种花卉各100束装饰庆典会场.已知购买4束A花卉,7束B花卉,1束C花卉,共用45元;购买3束A花卉,5束B花卉,1束C花卉,共用35元.则学校购买这批装饰庆典会场的花卉一共要用__元.17.(本题2分)(2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末)北京冬奥会志愿者招募迎来全球申请热潮,赛会志愿者将在北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的竞赛场馆开展志愿服务,北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的志愿者人数之比为5∶3∶2.随着赛事的调整,各赛区的志愿者人数均要增加,其中等于其余两个赛区增加的总人数的34,则增加后北京赛区志愿者人数占所有赛区增加后的总人数的1837.为使延庆赛区、张家口赛区增加后的志愿者人数之比为6∶5,则延庆赛区增加的志愿者人数与各赛区增加的志愿者总人数之比是______.18.(本题2分)(2022春·江苏·七年级专题练习)幻方,又称为九宫格,最早起源于中国,是一种中国传统游戏.如图1,它是在33 的9个格子中填入9个数,使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等.在如图2所示幻方中,只填了5个用字母表示的数,根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等,则右上角“x ”所表示的数应等于_______.19.(本题2分)(2023春·七年级课时练习)重庆市举行了中学生足球联赛,共赛17轮(即每队均需比赛17场),记分办法是胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若文德中学足球队的积分为16分,且踢平场数是所负场数的整数倍,且胜、平、负的场数各不相同.则文德中学足球队共负____场.20.(本题2分)(2022春·江苏·七年级专题练习)已知x ,y ,z 满足方程组207450x y z x y z,则::x y z____.、解答题(共60分)21.(本题8分)(2022秋·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中)计算:(1) 422311(1){[()0.412)}532;(2)223232332[232323)3234343443;(3)解方程0.10.20.50.10.40.7x y x y;(4)解方程224x y z y z x z x y.22.(本题8分)(2023春·七年级课时练习)某校开展校园科技节系列活动,校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品.(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品,这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话图,求小明原计划购买文具袋多少个?(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元.经过沟通,这次老板给予8折优惠,钢笔和签字笔合计288元,问小明购买了钢笔和签字笔各多少支?(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔,单价为8元的钢笔,单价为5元的笔记本若干(三样都要买,把48元恰好用完),问有哪几种购买方案?23.(本题8分)(2021春·浙江杭州·七年级校考期中)阅读理解:已知实数x ,y 可满足35x y……①,237xy ……②,求4x y 和75x y 值,仔细观察未知数系数之间的关系,如由①-②可得42x y ,由2 ①②可得7519x y .这就是通常说的“整体思想”.尝试利用“整体思想”,解决下列问题:(1)已知二元一次方程组28210x y x y,则x y ___________,x y ___________;(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元?(3)对于实数x ,y ,定义新运算:x y ax by c ,其中a ,b ,c 是常数,等式右边是实数运算.已知3515 ,4728 ,求11 的值.24.(本题6分)(2023春·七年级单元测试)在求代数式的值时,可以用整体求值的方法,化难为易.例:已知32475310x y z x y z①②,求x y z 的值.解:①2 得:6428x y z ③② ③得:2x y z ∴x y z 的值为2.(1)已知231056726x y z x y z,求345x y z 的值;(2)马上期中了,班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品,根据商店的价格,购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价,班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔,只花了732元,请问比原价购买节省了多少钱?25.(本题6分)(2023春·七年级课时练习)某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共4350元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共4750元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的23,厂家需付甲、丙两队共2750(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过20天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由.26.(本题8分)(2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习)两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖,一个带得多,一个带得少,但卖了同样的价钱,一个对另一个说:“如果我有你那么多鸡蛋,我能卖15元.”另一个说:“如果我有你那么多鸡蛋,只能卖263元.”问两人各有多少鸡蛋?希望你有尽可能简单的解答.27.(本题8分)(2022春·江苏扬州·七年级统考期末)阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的一个代数式的值.如以下问题:已知实数x 、y 满足35x y,237xy ,求4x y 和75x y 的值.本题常规思路是将35x y①,237x y ②联立组成方程组,解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案.常规思路计算量比较大,其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系,通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得42x y ,由①+②×2可得7519x y .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组2425x y x y,则x y ______,x y ______;(2)试说明在关于x 、y 的方程组3453x y ax y a中,不论a 取什么实数,x y 的值始终不变;(3)某班级组织活动购买小奖品,买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元,买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元,则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元?28.(本题8分)(2022·江苏·七年级假期作业)阅读感悟:有些关于方程组的问题,要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x 、y 满足35x y①,237x y ②,求4x y 和75x y 的值.本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得42x y ,由①+②×2可得7519x y .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组2728x y x y,则x y _______,x y _______;(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元,买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元,则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元?(3)对于实数x 、y ,定义新运算:*x ya x by c ,其中a 、b 、c 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*515 ,4*728 ,那么1*1 _______.。
人教版初中数学同步讲义七年级下册第07讲 专题3 一次方程(组)中整体思想的应用(解析版)
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第07讲专题3一次方程(组)中整体思想的应用类型一:不解方程(组)求式子的值类型二:利用整体代入法求方程组的解类型三:整体换元法求未知数的值类型一:不解方程(组)求式子的值1.已知x,y为二元一次方程组的解,则x﹣y=1.【分析】两式相减即可得出答案.【解答】解:,②﹣①,得2x﹣2y=2,则x﹣y=1.故答案为:1.2.若,是关于x和y的二元一次方程mx+ny=3的解,则2m﹣4n的值等于()A.3B.6C.﹣1D.﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n=3,把所求式子因式分解后代入计算即可.【解答】解:将代入方程mx+ny=3得:m﹣2n=3,∴2m﹣4n=2(m﹣2n)=2×3=6.故选:B.3.若是二元一次方程ax+by=﹣1的一个解,则3a﹣2b+2025的值为2024.【分析】先将方程的解代入方程ax+by=﹣1,求出3a﹣2b=﹣1,再整体代入求值即可.【解答】解:将代入方程ax+by=﹣1可得,3a﹣2b=﹣1,∴原式=﹣1+2025=2024;故答案为:2024.4.已知是方程mx+ny=5的解,则代数式4m+6n﹣1的值为9.【分析】把代入方程mx+ny=5得出2m+3n=5,变形后代入,即可求出答案.【解答】解:把代入方程mx+ny=5得:2m+3n=5,所以4m+6n﹣1=2(2m+3n)﹣1=2×5﹣1=9.故答案为:9.5.如果是方程2x﹣3y=2020的一组解,那么代数式2024﹣2m+3n=4.【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值,再整体代入求值.【解答】解:∵是方程2x﹣3y=2020的一组解,∴2m﹣3n=2020.∴代数式2024﹣2m+3n=2024﹣(2m﹣3n)=2024﹣2020=4.故答案为:4.6.若是二元一次方程ax+by=﹣1的一个解,则3a﹣2b的值为﹣1.【分析】把解代入二元一次方程中,可得结论.【解答】解:∵是二元一次方程ax+by=﹣1的一个解,∴3a﹣2b=﹣1.故答案为:﹣1.7.已知x、y是二元一次方程组的解,那么x﹣y的值是()A.2B.﹣2C.3D.﹣3【分析】将方程两式相加得,4x﹣4y=8,即可求出答案.【解答】解:将方程两式相加得,4x﹣4y=8,∴x﹣y=2,故选:A.8.已知x、y满足方程组,则x+y的值为()A.﹣4B.4C.﹣2D.2【分析】直接把两式相加即可得出结论.【解答】解:,①+②得,4x+4y=16,解得x+y=4.故选:B.9.已知二元一次方程组,则m+n的值是()A.9B.3C.﹣3D.﹣9【分析】②﹣①得:m+n=3.【解答】解:,②﹣①得:m+n=3.故选:B.10.如果关于x,y的方程组与的解相同,则a+b的值为()A.1B.2C.﹣1D.0【分析】把代入方程组,得到一个关于a,b的方程组,将方程组的两个方程左右两边分别相加,整理即可得出a+b的值.【解答】解:把代入方程组,得:,①+②,得:7(a+b)=7,则a+b=1.故选:A.类型二:利用整体代入法求方程组的解11.解方程组:.【分析】方程组利用代入消元法求解即可.【解答】解:,由①得x=3y﹣1③,把③代入②,得6y﹣y=10,解得y=2,把y=2代入③,解得x=5,∴.12.解方程组时,可把①代入②得:3×8+4y=20,求得y=﹣1,从而进一步求得这种解法为“整体代入法“,请用这样的方法解下列方程组.【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可.【解答】解:,把①代入②得:3×12+5y=26,解得y=﹣2,把y=﹣2代入①得:2x+6=12,解得x=3,故原方程组的解是:.13.阅读以下材料:解方程组:;小亮在解决这个问题时,发现了一种新的方法,他把这种方法叫做“整体代入法”,解题过程如下:解:由①得x﹣y=1③,将③代入②得:(1)请你替小亮补全完整的解题过程;(2)请你用这种方法解方程组:.【分析】(1)利用整体代入法进行求解即可;(2)利用整体代入法进行求解即可.【解答】解:(1)由①得x﹣y=1③,将③代入②得:4×1﹣y=0,解得y=4,把y=4代入①得:x﹣4﹣1=0,解得x=5,故原方程组的解是:;(2),整理得:,把③代入④得:2×2+1+15y=50,解得y=3,把y=3代入①得:3x﹣3﹣2=0,解得x=,故原方程组的解是:.14.先阅读材料,然后解方程组:材料:解方程组在本题中,先将x+y看作一个整体,将①整体代入②,得3×4+y=14,解得y=2.把y=2代入①得x=2,所以这种解法称为“整体代入法”,你若留心观察,有很多方程组可采用此法解答,请用这种方法解方程组.【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可.【解答】解:由①得:x﹣y=1③,把③代入②得:4﹣y=5,即y=﹣1,把y=﹣1代入③得:x=0,则方程组的解为.15.整体代入就是把某些部分看成一个整体,则能使复杂的问题简单化.例如在解方程组时,把①变形:x﹣y=1③,把③代入②中,求得x=0,y=1;利用整体代入思想,已知,则x2+4y2=17.【分析】将x﹣y=1代入4(x﹣y)﹣y=5即可求得x,y的值;给2x2+xy+8y2=36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2=72,然后方程①3x2﹣2xy+12y2=47加方程③4x2+2xy+16y2=72即可解答.【解答】解:把x﹣y=1代入4(x﹣y)﹣y=5,解得y=﹣1,∴x=0,故答案为:0,1;,②×2得:4x2+2xy+16y2=72③,③+①得:4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2=47+72,∴7x2+28y2=119,∴7(x2+4y2)=119,∴x2+4y2=17,故答案为:17.16.阅读材料:小强同学在解方程组时,采用了一种“整体代换”解法:解:将方程②变形:4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5…③,把方程①代入③得:2×3+y=5即y=﹣1,把y=﹣1代入方程①,得x=4,所以方程组的解为.请你解决以下问题(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组;(2)已知x,y满足方程组;(i)求xy的值;(ii)求出这个方程组的所有整数解.【分析】(1)把3x+5y看做一个整体,求出3x+5y的值,进而可得出结论;(2)将①代入方程②求出xy的值,再由x与y是整数求出符合条件的x,y的对应值即可.【解答】解:(1),将方程②变形:6x+10y+y=35,即2(3x+5y)+y=35③,把方程①代入③得:2×16+y=35,解得y=3,把y=3代入方程①,得,所以方程组的解为;(2)(i)原方程组化为,将①代入方程②得:72+7xy=51,∴xy=﹣3;(ii)由(i)得xy=﹣3,∵x与y是整数,∴或或或,由(i)可求得2x2+3y2=21,∴和符合题意,故原方程组的所有整数解是或.类型三:整体换元法求未知数的值17.用换元法解方程组,如果,那么原方程组化为关于u、v的方程组是.【分析】结合已知条件,利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可.【解答】解:已知,设=u,=v,那么原方程组化为:,故答案为:.18.解方程组.【分析】先把方程组化简后,再用适当的方法进行求解.【解答】解:原方程组可化为:,(2)×5+(1)得:46y=46,y=1,把y=1代入(1)得:x=7.∴.19.关于x,y的方程组(其中a,b是常数)的解为,则方程组的解为()A.B.C.D.【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知,x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y,据此列出方程组,解之可得.【解答】解:由题意知,,①+②,得:2x=7,x=3.5,①﹣②,得:2y=﹣1,y=﹣0.5,所以方程组的解为,故选:C.20.阅读材料,解答问题:材料:解方程组,我们可以设x+y=a,x﹣y=b,则原方程组可以变形为,解得,将a、b转化为,再解这个方程组得.这种解方程的过程,就是把某个式子看作一个整体,用一个字母代替他,这种解方程组得方法叫做换元法.请用换元法解方程组:.【分析】设x+y=a,x﹣y=b,则原方程组可以变形为,用加减消元法解得,再解方程组即可求解.【解答】解:设x+y=a,x﹣y=b,则原方程组可以变形为,用加减消元法解得,再将a、b转化为,解得.21.阅读下列材料,解答问题:材料:解方程组,若设x+y=m,x﹣y=n,则原方程组可变形为,用加减消元法得,所以,在解这个方程组得,由此可以看出,上述解方程组过程中,把某个式子看成一个整体,用一个字母去代替它,我们把解这个方程组的方法叫换元法.问题:请你用上述方法解方程组.【分析】设x+y=A,x﹣y=B,方程变形后,利用加减消元法求出A与B的值,进而确定出x与y的值即可.【解答】解:设x+y=A,x﹣y=B,方程组变形得:,整理得:,①×3﹣②×2得:5A=﹣50,即A=﹣10,把A=﹣10代入①得:B=﹣15,∴,解得:.22.阅读探索:材料一:解方程组时,采用了一种“换元法”的解法,解法如下:解:设a﹣1=x,b+2=y,原方程组可化为,解得,即,解得.材料二:解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法,解法如下:解:将方程②8x+20y+2y=10,变形为2(4x+10y)+2y=10③,把方程①代入③得,2×6+2y=10,则y=﹣1;把y=﹣1代入①得,x=4,所以方程组的解为:.根据上述材料,解决下列问题:(1)运用换元法解求关于a,b的方程组:的解;(2)若关于x,y的方程组的解为,求关于m,n的方程组的解.(3)已知x、y、z,满足,试求z的值.【分析】(1)用换元法替换和,解方程组即可;(2)用换元法替换5(m﹣3)和3(n+2),根据已知条件解方程组即可;(3)仿照题意将方程①变形为,然后把将方程②代入③得到关于z的方程,解方程即可.【解答】解:(1)设,,∴原方程可以化为,用②﹣①×2得:﹣3y=﹣3,解得y=1,把y=1代入到①得:x+2=4,解得x=2,∴方程组的解为,即,解得,∴原方程组的解为;(2)解:设,则方程化为:,即,解得;(3)解:将方程①3x﹣2z+12y=47,变形为,将方程②代入③得:,解得z=2.。
(完整)一元一次方程应用题及答案
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1/4a=150 a=600 千克
(完整)一元一次方程应用题及答案
水果原来有 600 千克
13、仓库有一批货物,运出五分之三后,这时仓库里又运进 20 吨,此时的货物正好是原来的二 分之一,仓库原来有多少吨?(用方程解)
设原来有 a 吨
a×(1—3/5)+20=1/2a
0.4a+20=0。5a
8、六一中队的植树小队去植树,如果每人植树 5 棵,还剩下 14 棵树苗,如果每人植树 7 棵, 就少 6 棵树苗。这个小队有多少人?一共有多少棵树苗?
解:设有 a 人
5a+14=7a—6
2a=20 a=10
一共有 10 人
有树苗 5×10+14=64 棵
9、一桶油连油带筒重 50kg,第一次倒出豆油的的一半少四千克,第二次倒出余下的四分之三多 二又三分之二 kg,这时连油带桶共重三分之一 kg,原来桶中有多少油?
甲的速度为 4.5+1.5=6 千米/小时
19、甲乙两人分别从相距 7 千米的 AB 两地出发同向前往 C 地,凌晨 6 点乙徒步从 B 地出发,甲 骑自行车在早晨 6 点 15 分从 A 地出发追赶乙,速度是乙的 1.5 倍,在上午 8 时 45 分追上乙,求 甲骑自行车的速度是多少。
解:设乙的速度为 a 千米/小时,甲的速度为 1。5a 千米/小时
解:设油重 a 千克
那么桶重 50-a 千克
第一次倒出 1/2a-4 千克,还剩下 1/2a+4 千克 精心整理
(完整)一元一次方程应用题及答案 第二次倒出 3/4×(1/2a+4)+8/3=3/8a+17/3 千克,还剩下 1/2a+4—3/8a—17/3=1/8a-5/3 千克油 根据题意 1/8a—5/3+50—a=1/3 48=7/8a a=384/7 千克 原来有油 384/7 千克 10、用一捆 96 米的布为六年级某个班的学生做衣服,做 15 套用了 33 米布,照这样计算,这 些布为哪个班做校服最合适?(1 班 42 人,2 班 43 人,3 班 45 人) 设 96 米为 a 个人做 根据题意 96:a=33:15 33a=96×15 a≈43。6 所以为 2 班做合适,有富余,但是富余不多,为 3 班做就不够了 精心整理
2021年中考数学真题(全国通用)专题06 一次方程(组)及应用(共40题)-(原卷版)
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专题6一次方程(组)及应用(共40题)一、单选题1.(2021·浙江温州市·中考真题)解方程,以下去括号正确的是( )()221x x-+=A .B .C .D .41x x-+=-42x x-+=-41x x--=42x x--=2.(2021·安徽)设a ,b ,c 为互不相等的实数,且,则下列结论正确的是( )4155b a c =+A .B .C .D .a b c>>c b a>>4()a b b c -=-5()a c ab -=-3.(2021·天津中考真题)方程组的解是( )234x y x y +=⎧⎨+=⎩A .B .C .D .02x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=-⎩33x y =⎧⎨=-⎩4.(2021·浙江杭州市·中考真题)某景点今年四月接待游客25万人次,五月接待游客60.5万人次,设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为(),则( )x 0x >A .B .()60.5125x -=()25160.5x -=C .D .()60.5125x +=()25160.5x +=5.(2021·浙江温州市·中考真题)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a 元;超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为()()1.2a +A .元B .元C .元D .元20a ()2024a +()17 3.6a +()20 3.6a +6.(2021·四川南充市·中考真题)端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,设每个肉粽x 元,则可列方程为( )A .B .105(1)70x x +-=105(1)70x x ++=C .D .10(1)570x x -+=10(1)570x x ++=7.(2021·江苏苏州市·中考真题)某公司上半年生产甲,乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架,乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机x 架,乙种型号无人机架.根据题意可列出的方程组是()yA .B .()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩()()111.3122x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C .D .()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩8.(2021·四川成都市·中考真题)《九章算术》卷八方程第十题原文为:“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十.问:甲、乙持钱各几何?”题目大意是:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50;如果乙得到甲所有钱的,那么乙也共有钱50,23问:甲、乙两人各带了多少钱?设甲、乙两人持钱的数量分别为x ,y ,则可列方程组为( )A .B .C .D .15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2502503x y x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩2502503x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩9.(2021·浙江宁波市·中考真题)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清洒一斗直粟十斗,醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:现在一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清酒、醑酒各几斗?如果设清酒x 斗,醑酒y 斗,那么可列方程组为()A .B .C .D .510330x y x y +=⎧⎨+=⎩531030x y x y +=⎧⎨+=⎩305103x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩305310x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩10.(2021·甘肃武威市·中考真题)我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有人,辆车,则x y 可列方程组为()A .B .C .D .3(2)29y xy x -=⎧⎨-=⎩3(2)29y xy x +=⎧⎨+=⎩3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩二、填空题11.(2021·四川凉山彝族自治州·中考真题)已知是方程的解,则a 的值为13x y =⎧⎨=⎩2ax y +=______________.12.(2021·浙江嘉兴市·中考真题)已知二元一次方程,请写出该方程的一组整数解314+=x y __________________.13.(2021·浙江金华市·中考真题)已知是方程的一个解,则m 的值是2x y m =⎧⎨=⎩3210x y +=____________.14.(2021·四川广安市·中考真题)若、满足,则代数式的值为______.x y 2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩224x y -15.(2021·重庆中考真题)若关于x 的方程的解是,则a 的值为__________.442xa -+=2x =16.(2021·重庆中考真题)方程的解是__________.2(3)6x -=17.(2021·浙江绍兴市·中考真题)我国明代数学读本《算法统宗》有一道题,其题意为:客人一起分银子,若每人7两,还剩4两;若每人9两,则差8两,银子共有_______两.(注:明代时1斤=16两)18.(2021·江苏扬州市·中考真题)扬州雕版印刷技艺历史悠久,元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州,该书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之?”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天追上慢马?答:快马_______天追上慢马.19.(2021·湖南邵阳市·中考真题)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?意思是:几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如果每人出7钱,则少了4钱.问有多少人,物品的价值是多少?该问题中物品的价值是______钱.20.(2021·重庆中考真题)盲盒为消费市场注入了活力,既能够营造消费者购物过程中的趣味体验,也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,搭配为A ,B ,C 三种盲盒各一个,其中A 盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷你音箱;B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3:2;C 盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.经核算,A 盒的成本为145元,B 盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和),则C 盒的成本为__________元.21.(2021·四川遂宁市·中考真题)已知关于x ,y 的二元一次方程组满足,则235423x y ax y a +=⎧⎨+=+⎩0x y ->a 的取值范围是____.22.(2021·山东泰安市·中考真题)《九章算术》中记载:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十,问甲、乙持钱各几何?”译文:“假设有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把自己一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把自己的钱给乙,则乙的钱数也能为50.问甲、乙23各有多少钱?”设甲持钱数为x ,乙持钱数为y ,可列方程组为________.三、解答题23.(2021·江苏扬州市·中考真题)已知方程组的解也是关于x 、y 的方程的一个解,271x y x y +=⎧⎨=-⎩4ax y +=求a 的值.24.(2021·江苏连云港市·中考真题)为了做好防疫工作,学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元,5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元.(1)这两种消毒液的单价各是多少元?(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的,请设计出最13省钱的购买方案,并求出最少费用.25.(2021·浙江丽水市·中考真题)解方程组:.26x y x y =⎧⎨-=⎩26.(2021·四川眉山市·中考真题)解方程组3220021530x y x y -+=⎧⎨+-=⎩27.(2021·浙江台州市·中考真题)解方程组:241x y x y +=⎧⎨-=-⎩28.(2021·江苏苏州市·中考真题)解方程组:.3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩29.(2021·陕西中考真题)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.30.(2021·重庆中考真题)某工厂有甲、乙两个车间,甲车间生产A 产品,乙车间生产B 产品,去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元,1件A 产品与1件B 产品售价和为500元.(1)A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元?(2)随着5G 时代的到来,工业互联网进入了快速发展时期.今年,该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间.预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %;B 产品产量将在去年的基础上减少a %,但B 产品的销售单价将提高3a %.则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%.求a 的值.2925a31.(2021·山东泰安市·中考真题)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人?(2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务?32.(2021·安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列.[观察思考]当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块(如图2);当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块(如图3);以此类推,[规律总结](1)若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加块;(2)若一条这样的人行道一共有n (n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为 (用含n的代数式表示).[问题解决](3)现有2021块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩余最少,则需要正方形地砖多少块?33.(2021·四川成都市·中考真题)为改善城市人居环境,《成都市生活垃圾管理条例》(以下简称《条例》)于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨,刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数;(2)由于《条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾,同时由于市民环保意识增强,该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个,试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾?34.(2021·四川眉山市·中考真题)为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,某中学以体育为突破口,准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球,用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同,每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元,用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍.(1)足球和篮球的单价各是多少元?(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和篮球共200个,但要求足球和篮球的总费用不超过15500元,学校最多可以购买多少个篮球?35.(2021·湖南邵阳市·中考真题)为庆祝中国共产党成立100周年,某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动,并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品.采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品,回到学校后发现发票被弄花了,有几个数据变得不清楚,如图.请根据图所示的发票中的信息,帮助刘老师复原弄花的数据,即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.36.(2021·浙江温州市·中考真题)某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出.若A 的数量不低于B 的数量,则A 为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?37.(2021·四川资阳市·中考真题)我市某中学计划举行以“奋斗百年路,启航新征程”为主题的知识竞赛,并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品,已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元,2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.(1)求甲、乙两种奖品的单价;(2)根据颁奖计划,该中学需甲、乙两种奖品共60件,且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的,应12如何购买才能使总费用最少?并求出最少费用.38.(2021·四川泸州市·中考真题)某运输公司有A 、B 两种货车,3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨,5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨.(1)请问1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货多少吨?(2)目前有190吨货物需要运输,该运输公司计划安排A 、B 两种货车将全部货物一次运完(A 、B 两种货车均满载),其中每辆A 货车一次运货花费500元,每辆B 货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案,并指出哪种运输方案费用最少.39.(2021·重庆中考真题)对于任意一个四位数m ,若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,则称这个四位数m 为“共生数”例如:,因为,3507m =372(50)+=⨯+所以3507是“共生数”:,因为,所以4135不是“共生数”;4135m =452(13)+≠⨯+(1)判断5313,6437是否为“共生数”?并说明理由;(2)对于“共生数”n ,当十位上的数字是千位上的数字的2倍,百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时,记.求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n .()3nF n =()F n 40.(2021·重庆中考真题)重庆小面是重庆美食的名片之一,深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面).已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元,4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份,“生食”小面2500份,为回馈广大食客,该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低.统计5月的销量和销售额发现:3a%4“堂食”小面的销量与4月相同,“生食”小面的销量在4月的基础上增加,这两种小面的总销售额在5%2a 4月的基础上增加.求a 的值.5%11a。
鲁教版六年级下册第六讲第六章 一元一次方程的解法和应用讲义无答案
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(1)两车分别从两地同时出发,相向而行,几小时相遇?
3、长方形的长比宽多 5 厘米,周长是 22 厘米,它的宽是_______厘米;
(2)两车分别从两地同时出发,同向而行(快车在后),几小时相遇?
二、解答题
7、环形跑道长 400 米,甲乙两人练习跑步,速度分别为 3 米/秒和 2 米/秒.
4、由于经济危机,某公司裁员 20%后还剩员工 96 人,求裁员前公司有多少人?
5、商店将某种商品按进价加 20%作为售价,为了促销以售价打 9 折售出,这样这件商品相对进价获利 48 元,求 这件商品的进价.
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一、填空题一元一次方程的应用(2)
1、利息=_________×_________×_________;
2、税后利息=________-__________;
3、税后本利和=______________+_______________;
二、解答题
4、为支援灾区,小明将已经到期的存在银行里 2 年的 2019 元压岁钱取出,交纳了 20%的利息税之后,得到税后本 利和为 2072 元,求他存款的年利率.
6、解方程:
(1) 1(2x 6) 1(3x 12);
2
3
(2) 6x 5 2x (4 x 1).
7、一个数减去 3 的差的 2 倍等于它与 1 的和,求这个数.
三、提高题
8、方程(2 x 1) x 3 与关于 x 的方程 3x 2a (4 x 1)解相同,求 a 的值.
一元一次方程的解法(3)
3
二、解答题
4、判断下列方程是不是一元一次方程,如果不是,请说明理由:
(1) 2x 1 0 ;
(2) x y 5 ;
(3) x 2 x 2 0
二元一次方程(组)
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课题二元一次方程(组)教学目标理解二元一次方程(组)的概念,掌握二元一次方程组、三元一次方程组的解法教学重难点重点:灵活运用加减消元法、代入消元法解二元一次方程组难点:学会运用二元一次方程组解决实际问题教学内容一、知识回顾1.概念(1)二元一次方程:含有两个未知数的一次(含未知数项的次数是1)方程叫做二元一次方程(2)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解(3)二元一次方程的解集:二元一次方程有无数个解,二元一次方程的解的全体,叫做这个二元一次方程的解集(4)方程组:由几个方程组成的一组方程叫做方程组(5)二元一次方程组:如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组(6)二元一次方程组的解:在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解2.二元一次方程组的解法:代入消元法加减消元法(1)核心思想:消元把二元一次方程转化为我们学过的一元一次方程,把未知转化为已知.(就是把我们不会的问题转化为已经学会的问题)(2)代入消元法:通过“代入”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程,从而求出方程组的解。
解题步骤:1)将一个方程的一个未知数用另一个未知数的代数式来表示;2)将这个代数式代入另一个方程,从而转化为一元一次方程,达到消元的目的。
(3)加减消元法:将两个方程相加(或相减)消去一个未知数,将方程转化为一元一次方程,从而求出方程的解。
解题步骤:观察两个方程的两个未知数的系数:如1)如果有未知数的系数相等或相反数,那么两方程就相减或相加。
2)如果未知数的系数不相等,那么就先乘一个适当的数,使未知数的系数相等或相反,然后再相减或相加。
(4)检验:与解一元一次方程一样,要判断运算的结果是否正确,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看看方程的左、右两边是否相等.检验很重要,花费时间很少,而且可以保证得分,何乐而不为呢?(5)注意:1)二元一次方程与二元一次方程组的解为二个未知数的值,不要漏掉任何一个哦2)二元一次方程组的解的个数可能为一个、可能没有、也可能有无限个二、习题巩固 11.判断下列哪些方程是二元一次方程:1)210xy y x 22)331x x 3)45xy 44)212yx25)1553y x 6)32x z-7)35x 8)2123a b9)2xy10)0.80.311xy2.判定下列说法是否正确:1)二元一次方程2x y 的解只有一个.( )2)11x y 是二元一次方程2xy的解. ()3)二元一次方程组22x y x y 有无数组解. ( )4)二元一次方程组22x y xy的解为2x . ()5)52x y是二元一次方程2axby的解,则4522a b . ()6)二元一次方程组32624x y x y有一个解. ( )3.选择与填空1) 下列方程组中,是二元一次方程组的是()A.228423119...23754624x y x y a b x B C D x y b c y x xy2) 下列各式,属于二元一次方程的个数有()①xy+2x -y=7;②4x+1=x -y ;③1x+y=5;④x=y ;⑤x 2-y 2=2⑥6x -2y ⑦x+y+z=1⑧y (y -1)=2y 2-y 2+xA .1B .2C .3D .43)方程y=1-x 与3x+2y=5的公共解是()A .3333...2422x x x x B C D yyyy4) 若二元一次方程123y x有正整数解,则x 的取值应为( ) A.正奇数B.正偶数C.正奇数或正偶数D.05) 若方程组ayx a y x 13313的解满足y x >0,则a 的取值范围是( )A.a <-1B.a <1C.a >-1D.a >16) 若33125m n xy是二元一次方程,则m=_________,n=___________.7)二元一次方程x+y=5的正整数解有______________.8)二元一次方程x+y=5的非负整数解有______________.9)已知2316x mxyy x ny是方程组的解,则m=_________,n=_________.10)如果(a -2)x+(b+1)y=13是关于x ,y 的二元一次方程,则a ,b 满足_______________.11) 当y=-3时,二元一次方程3x+5y=-3和3y -2ax=a+2(关于x ,y 的方程)有相同的解,则a=__________.12)二元一次方程组437(1)3x ykx k y的解x ,y 的值相等,则k=__________.13)用加减消元法解方程组31421x y xy ,由①×2—②得 .14)定义运算“※”,规定x ※y =a 2x +by ,其中a 、b 为常数,且1※2=5,2※1=6,则2※3=_________.15)已知关于x ,y 的方程组ayxa y x 34321323其中1≤a ≤3,给出下列结论:①5152yx是方程组的解;②当a =2时,35xy;③当a =1时,方程组的解也是方程x –y =a 的解;④若x ≤1 , 则y 的取值范围是25y ≥.其中正确的是___________.(填序号)3.解二元一次方程211)3211x y x y37422)4x y xy13)230.20.3 1.4x yx y 7244)442x y y x5)方程组42235x y k x y的解x 与y 的值相等,求k 的值.6)在代数式21ax bx 中,当2x 和x =6时,代数式的值分别为5和7,求a 、b 的值.7)二元一次方程组213321x y x my的解也是二元一次方程417x y 的解,求m 的值.8)若方程组27x y a xy与3278x y cx y有相同的解,求a 、b 的值.9)已知22(325)(538)0x y x y ,求2x y 的值.10)已知2320x y z 且3531x y z,求x y z 的值.11)小明、小杰两人解关于x 、y 的方程组278ax by cx y,小明正确的解出32x y,小杰把c 抄错,解得22x y,求a 、b 、c 的值,并求出小杰抄错的c 的值.12)已知x ,y 是有理数,且(│x │-1)2+(2y+1)2=0,则x -y 的值是多少?13)已知关于x 、y 的二元一次方程组myxm y x 22362的解满足二元一次方程453y x ,求m 的值.3、二元一次方程组的实际应用步骤:列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、设、列、解、验、答”7步,即:1) 审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知量和未知量;2) 找:找出能够表示题意两个相等关系;3) 设:根据等量关系设出未知数;4) 列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;5) 解:解这个方程组,求出两个未知数的值;6) 检验:一是检验解的结果对不对,二是检验解的结果是否符合实际意义.7) 答:写出答案.这7步是列方程解应用题的万能步骤,包括以后学习到的运用分式方程、无理方程解应用题都是这7个步骤常考题型:1)、数字问题一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.分析:设这个两位数十位上的数为x ,个位上的数为y ,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示:解方程组109101027x y x y yx x y 得14x y,因此所求的两位数是14.点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x ,或只设十位上的数为x ,那将很难或根本就想象不出关于x 的方程.一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.2)、利润问题一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x 元,进价为y 元,则打九折时的卖出价为0.9x 元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折时的卖出价为0.8x 元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.解方程组0.920%0.810x y y xy,解得200150x y,因此,此商品定价为200元.点评:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法,一是:利润=卖出价-进价;二是:利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.3)配套问题某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?分析:要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1.因此,设安排x 人生产螺栓,y 人生产螺母,则十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数x y 10x+y 10x+y=x+y+9 新两位数yx10y+x10y+x=10x+y+27每天可生产螺栓25x 个,螺母20y 个,依题意,得120502201x y x y ,解之,得20100x y.故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母.点评:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即ab甲产品数乙产品数;(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:abc甲产品数乙产品数丙产品数.4)、行程问题在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站,A 到B 的距离为120千米,B 到C 的距离也是120千米.分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去,结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时,则3120120x y xy,整理,得40120x y xy,解得8040x y,因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.5)、货运问题某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?分析:“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x 吨,乙种货物装y 吨,则300621200x y x y,整理,得3003600x y xy,解得150150x y ,因此,甲、乙两重货物应各装150吨.点评:由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.6)、工程问题某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产25套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?分析:设订做的工作服是x 套,要求的期限是y 天,依题意,得41505200125y xy x ,解得337518x y.点评:工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1”表示总工作量.习题巩固2.1) 小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了20支中性笔和2盒笔芯,用了56元;小丽买了2支中性笔和3盒笔芯,仅用了28元.设每支中性笔x 元和每盒笔芯y 元,根据题意所列方程组正确的是() A.22056,2328x y xyB.20256,2328x y xyC.20228,2356x y x y D.2228,20356x y x y2) 某电器商场销售A ,B 两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元. 商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器,可获利润76元;销售6台A 型号和3台B 型号计算器,可获利润120元.求商场销售A,B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格-进货价格)3) 某超市为促销,决定对A,B两种商品进行打折出售.打折前,买6件A商品和3件B商品需要54元,买3件A商品和4件B商品需要32元;打折后,买50件A商品和40件B商品仅需364元,打折前需要多少钱?4) 20.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.5) 某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元;若购买A种奖品5件和B 种奖品3件,共需95元. 求A、B两种奖品单价各是多少元?6) 某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间,大宿舍每间可住8人,小宿舍每间可住6人.该校360名住宿生恰好住满....这50间宿舍.(1)求大、小宿舍各有多少间?(2)如果大间每天每人50元,小间每天每人80元,那么该校要住3天共需多少元.7) 如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的13,另一根露出水面的长度是它的15,两根铁棒的长度之和为220cm,则此时木桶中水的深度是多少?两根铁棒长度分别为多少?8) 某加工厂投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共需资金26万元,而投资兴建1条全自动生产线和3条半自动生产线共需资金28万元.(I)求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元?(II)据预测,2016年每条全自动生产线的毛利润为26万元,每条半自动生产线的毛利润为16万元.这一年,该加工厂共投资兴建10条生产线,若想获得不少于120万元的纯利润...,则2016年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线?(纯利润=毛利润-成本)9) 某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳的单价的2倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.⑴两种跳绳的单价各是多少元?⑵若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问:学校有几种购买方案?。
专题05一次方程组【解析版】
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专题05一次方程组一.选择题(共16小题)1.(2022•株洲)对于二元一次方程组y=x―1①x+2y=7②,将①式代入②式,消去y可以得到( )A.x+2x﹣1=7B.x+2x﹣2=7C.x+x﹣1=7D.x+2x+2=7【分析】将①式代入②式,得x+2(x﹣1)=7,去括号即可.【解析】y=x―1①x+2y=7②,将①式代入②式,得x+2(x﹣1)=7,∴x+2x﹣2=7,故选:B.【点评】本题考查了解二元一次方程组,掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键.2.(2022•扬州)《孙子算经》是我国古代经典数学名著,其中有一道“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何?”学了方程(组)后,我们可以非常顺捷地解决这个问题.如果设鸡有x只,兔有y只,那么可列方程组为( )A.x+y=35,4x+4y=94B.x+y=35,4x+2y=94C.x+y=94,2x+4y=35D.x+y=35,2x+4y=94【分析】关系式为:鸡的只数+兔的只数=35;2×鸡的只数+4×兔的只数=94,把相关数值代入即可求解.【解析】设鸡有x只,兔有y只,可列方程组为:x+y=352x+4y=94.故选:D.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系.3.(2022•宁波)我国古代数学名著《九章算术》中记载:“粟米之法:粟率五十;粝米三十.今有米在十斗桶中,不知其数.满中添粟而春之,得米七斗.问故米几何?”意思为:50斗谷子能出30斗米,即出米率为35.今有米在容量为10斗的桶中,但不知道数量是多少.再向桶中加满谷子,再舂成米,共得米7斗.问原来有米多少斗?如果设原来有米x斗,向桶中加谷子y斗,那么可列方程组为( )A .x +y =10x +35y =7B y =10x +y =7C .x +7=7x +53y =10D y =7x +y =10【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子=10,原来的米+桶中的谷子舂成米=7即可得出答案.【解析】根据题意得:x +y =10x +35y =7,故选:A .【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找到等量关系:原来的米+向桶中加的谷子=10,原来的米+桶中的谷子舂成米=7是解题的关键.4.(2022•舟山)上学期某班的学生都是双人桌,其中14男生与女生同桌,这些女生占全班女生的15,本学期该班新转入4个男生后,男女生刚好一样多.设上学期该班有男生x 人,女生y 人,根据题意可得方程组为( )A 4=y=y5B 4=y=y4C 4=y =y5D 4=y=y4【分析】根据14男生与女生同桌,这些女生占全班女生的15,可以得到14x =15y ,根据本学期该班新转入4个男生后,男女生刚好一样多,可得x +4=y ,从而可以列出相应的方程组,本题得以解决.【解析】由题意可得,4=yx =15y ,故选:A .【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.5.(2022•达州)中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(‘两’为我国古代货币单位):马二匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x 两,牛每头y 两,根据题意可列方程组为( )A .4x +6y =382x +5y =48B .4x +6y =482x +5y =38C.4x+6y=485x+2y=38D.4y+6x=48 2y+5x=38【分析】直接利用“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马二匹、牛五头,共价三十八两”,分别得出方程得出答案.【解析】设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为:4x+6y=482x+5y=38.故选:B.【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用,正确得出等式是解题关键.6.(2022•成都)中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目:九百九十九文钱,甜果苦果买一千,四文钱买苦果七,十一文钱九个甜,甜苦两果各几个?其大意是:用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果,其中四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个.问:苦、甜果各有几个?设苦果有x 个,甜果有y个,则可列方程组为( )Ay=1000,x+119y=999By=1000,x+911y=999C.x+y=1000,7x+9y=999D.x+y=1000,4x+11y=999【分析】利用总价=单价×数量,结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【解析】∵共买了一千个苦果和甜果,∴x+y=1000;∵共花费九百九十九文钱,且四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个,∴47x+119y=999.y=1000x+119y=999.故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.7.(2022•湘潭)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神,湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个,若桌子腿数与凳子腿数的和为40条,则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有x张桌子,有y条凳子,根据题意所列方程组正确的是( )A.x+y=404x+3y=12B.x+y=12 4x+3y=40C.x+y=403x+4y=12D.x+y=12 3x+4y=40【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个,且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【解析】∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个,∴x+y=12;又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条,且每张桌子有4条腿,每条凳子有3条腿,∴4x+3y=40.∴列出的方程组为x+y=124x+3y=40.故选:B.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.8.(2022•“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果一间客房住9人,那么就空出一间客房,若设该店有客房x间,房客y人,则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )A.7x―7=y9(x―1)=y B.7x+7=y 9(x―1)=yC.7x+7=y9x―1=y D.7x―7=y 9x―1=y【分析】设该店有客房x间,房客y人;根据“一房七客多七客,一房九客一房空”得出方程组即可.【解析】设该店有客房x间,房客y人;根据题意得:7x+7=y9(x―1)=y,故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据题意得出方程组是解决问题的关键.9.(2022•武汉)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方,则x与y的和是( )A.9B.10C.11D.12【分析】由题意:每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,表示出最中间的数和最右下角的数,列出二元一次方程组,解方程组即可.【解析】∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,∴最左下角的数为:6+20﹣22=4,∴最中间的数为:x+6﹣4=x+2,或x+6+20﹣22﹣y=x﹣y+4,最右下角的数为:6+20﹣(x+2)=24﹣x,或x+6﹣y=x﹣y+6,∴x+2=x―y+4 24―x=x―y+6,解得:x=10 y=2,∴x+y=12,故选:D.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.10.(2022•眉山)我国古代数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊三,直金十二两.问牛、羊各直金几何?”题目大意是:5头牛、2只羊共19两银子;2头牛、3只羊共12两银子,每头牛、每只羊各多少两银子?设1头牛x两银子,1只羊y两银子,则可列方程组为( )A.5x+2y=192x+3y=12B.5x+2y=12 2x+3y=19C.2x+5y=193x+2y=12D.2x+5y=12 3x+2y=19【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子;2头牛、3只羊共12两银子”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【解析】∵5头牛,2只羊共19两银子,∴5x+2y=19;∵2头牛,3只羊共12两银子,∴2x+3y=12.∴可列方程组为5x+2y=192x+3y=12.故选:A.【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.11.(2022•嘉兴)“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,只负了2场,共得17分.那么该队胜了几场,平了几场?设该队胜了x场,平了y场,根据题意可列方程组为( )A.x+y=73x+y=17B.x+y=9 3x+y=17C.x+y=7x+3y=17D.x+y=9 x+3y=17【分析】由题意:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,只负了2场,共得17分.列出二元一次方程组即可.【解析】根据题意得:x+y=9―2 3x+y=17,即x+y=73x+y=17,故选:A.【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.12.(2022•随州)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何追及之.”意思是:“跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里,慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?”若设快马x天可以追上慢马,则可列方程为( )A.150(12+x)=240x B.240(12+x)=150xC.150(x﹣12)=240x D.240(x﹣12)=150x【分析】设快马x天可以追上慢马,根据路程=速度×时间,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.【解析】设快马x天可以追上慢马,依题意,得:150(x+12)=240x.故选:A .【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.13.(2022•苏州)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是其最高的代数成就.《九章算术》中有这样一个问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”译文:“相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人只走60步.若走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上?(注:步为长度单位)”设走路快的人要走x 步才能追上,根据题意可列出的方程是( )A .x =100―60100xB .x =100+60100xC .10060x =100+xD .10060x =100﹣x【分析】设走路快的人要走x 步才能追上,由走路快的人走x 步所用时间内比走路慢的人多行100步,即可得出关于x 的一元一次方程,此题得解.【解析】设走路快的人要走x 步才能追上,则走路慢的人走x100×60,依题意,得:x100×60+100=x .故选:B .【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.14.(2022•武威)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中记载了一道有趣的题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”大意是:今有野鸭从南海起飞,7天到北海;大雁从北海起飞,9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞,问经过多少天相遇?设经过x 天相遇,根据题意可列方程为( )A .(17+19)x =1B .(17―19)x =1C .(9﹣7)x =1D .(9+7)x =1【分析】设总路程为1,野鸭每天飞17,大雁每天飞19,当相遇的时候,根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案.【解析】设经过x 天相遇,根据题意得:17x +19x =1,∴(17+19)x=1,故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,本题的本质是相遇问题,根据等量关系:野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键.15.(2022•滨州)在物理学中,导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系:I=UR,去分母得IR=U,那么其变形的依据是( )A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2【分析】根据等式的基本性质,对原式进行分析即可.【解析】将等式I=UR,去分母得IR=U,实质上是在等式的两边同时乘R,用到的是等式的基本性质2.故选:B.【点评】本题主要考查了等式的基本性质,等式性质:1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立;2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母,等式仍成立.16.(2022•南充)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡有x只,可列方程为( )A.4x+2(94﹣x)=35B.4x+2(35﹣x)=94C.2x+4(94﹣x)=35D.2x+4(35﹣x)=94【分析】由上有三十五头且鸡有x只,可得出兔有(35﹣x)只,利用足的数量=2×鸡的只数+4×兔的只数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.【解析】∵上有三十五头,且鸡有x只,∴兔有(35﹣x)只.依题意得:2x+4(35﹣x)=94.故选:D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)17.(2022•随州)已知二元一次方程组x+2y=42x+y=5,则x﹣y的值为 1 .【分析】将第一个方程化为x=4﹣2y,并代入第二个方程中,可得2(4﹣2y)+y=5,解得y=1,将y=1代入第一个方程中,可得x=2,即可求解.【解析】解法一:由x+2y=4可得:x=4﹣2y,代入第二个方程中,可得:2(4﹣2y)+y=5,解得:y=1,将y=1代入第一个方程中,可得x+2×1=4,解得:x=2,∴x﹣y=2﹣1=1,故答案为:1;解法二:∵x+2y=4①2x+y=5②,由②﹣①可得:x﹣y=1,故答案为:1.【点评】本题考查解二元一次方程组,解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法.18.(2022•重庆)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7,需香樟数量之比为4:3:9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 35 .【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量,根据甲乙两山红枫数量关系,得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量(只含一个字母),进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式,从而求得香樟和红枫的单价之间关系,进一步求得结果.【解析】根据题意,如表格所设:香樟数量红枫数量总量甲4x5y﹣4x5y乙3x6y﹣3x6y丙9x7y﹣9x7y ∵甲、乙两山需红枫数量之比为2:3,∴5y―4x6y―3x=23,∴y=2x,故数量可如下表:香樟数量红枫数量总量甲4x6x10x 乙3x9x12x 丙9x5x14x 所以香樟的总量是16x,红枫的总量是20x,设香樟的单价为a,红枫的单价为b,由题意得,[16x•(1﹣6.25%)]•[a•(1﹣20%)]+20x•[b•(1+25%)]=16x•a+20x•b,∴12a+25b=16a+20b,∴4a=5b,设a=5k,b=4k,∴12a25b=12×5k25×4k=35,故答案为:3 5.【点评】本题考查了用字母表示数,根据相等关系列方程进行化简等知识,解决问题的关键是设需要的量,列出关系式,进行数据处理.19.(2022•乐山)如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”.如图所示,“优美矩形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为 5 .【分析】设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x,利用矩形的周长计算公式,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可求出x的值,再将其代入5x中即可求出结论.【解析】设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x,依题意得:(3x+5x+5x)×2=26,解得:x=1,∴5x=5×1=5,即正方形d的边长为5.故答案为:5.【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.20.(2022•绍兴)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之.”其题意为:“良马每天行240里,劣马每天行150里,劣马先行12天,良马要几天追上劣马?”答:良马追上劣马需要的天数是 20 .【分析】设良马x天追上劣马,根据良马追上劣马所走路程相同可得:240x=150(x+12),即可解得良马20天追上劣马.【解析】设良马x天追上劣马,根据题意得:240x=150(x+12),解得x=20,答:良马20天追上劣马;故答案为:20.【点评】本题考查一元一次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列出方程.三.解答题(共9小题)21.(2022•广元)为推进“书香社区”建设,某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元?(2)为了支持“书香社区”建设,助推科技发展,商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变):购买科技类图书超过40本但不超过50本时,每增加1本,单价降低1元;超过50本时,均按购买50本时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本,其中科技类图书不少于30本,但不超过60本.按此优惠,社区至少要准备多少购书款?【分析】(1)设科技类图书的单价为x元,文学类图书的单价为y元,根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设科技类图书的购买数量为m本,购买这两种图书的总金额为w元,则文学类图书的购买数量为(100﹣m)本,分30≤m≤40,40<m≤50及50<m≤60三种情况考虑,利用总价=单价×数量,即可得出w 关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征(或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征),可求出w的取值范围,取其最小值即可得出结论.【解析】(1)设科技类图书的单价为x元,文学类图书的单价为y元,依题意得:2x+3y=1544x+5y=282,解得:x=38 y=26.答:科技类图书的单价为38元,文学类图书的单价为26元.(2)设科技类图书的购买数量为m本,购买这两种图书的总金额为w元,则文学类图书的购买数量为(100﹣m)本.①当30≤m≤40时,w=38m+26(100﹣m)=12m+2600,∵12>0,∴w随m的增大而增大,∴2960≤w≤3080;②当40<m≤50时,w=[38﹣(m﹣40)]m+26(100﹣m)=﹣(m﹣26)2+3276,∵﹣1<0,∴当m>26时,w随m的增大而减小,∴2700≤w<3080;③当50<m≤60时,w=[38﹣(50﹣40)]m+26(100﹣m)=2m+2600,∵2>0,∴w随m的增大而增大,∴2700<w≤2720.综上,当30≤m≤60时,w的最小值为2700.答:社区至少要准备2700元购书款.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)分30≤m≤40,40<m≤50及50<m≤60三种情况,找出w关于m的函数关系式.22.(2022•娄底)“绿水青山就是金山银山”,科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克?【分析】(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg,由题意:一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.列出二元一次方程组,解方程组即可;(2)由(1)的结果列式计算即可.【解析】(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg,由题意得:x+y=62x=2y―4,解得:x=40 y=22,答:一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg;(2)50000×40=2000000(mg)=2kg,答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.23.(2022•台州)解方程组:x+2y=4x+3y=5.【分析】通过加减消元法消去x求出y的值,代入第一个方程求出x的值即可得出答案.【解析】x+2y=4①x+3y=5②,②﹣①得:y=1,把y=1代入①得:x=2,∴原方程组的解为x=2 y=1.【点评】本题考查了解二元一次方程组,解二元一次方程组的基本思路是消元,把二元方程转化为一元方程是解题的关键.24.(2022•怀化)去年防汛期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元?(2)为支持今年防汛工作,该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为:若一次购买不超过5套,则每套打九折;若一次购买超过5套,则前5套打九折,超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套,购买费用为W元,请写出W 关于a的函数关系式.(3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套?【分析】(1)设每件雨衣x元,则每双雨鞋(x﹣5)元,根据购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双)列出方程并解答;(2)根据题意求出a的取值范围,并求出w与a的关系式解答即可;(3)根据题意列出不等式并解答.【解析】(1)设每件雨衣x元,则每双雨鞋(x﹣5)元,根据题意,得400x=350x―5,解得x=40,经检验x=40是所列方程的根,并符合题意.所以x﹣5=35,答:每件雨衣40元,则每双雨鞋35元;(2)由题意知,一套雨衣雨鞋的单价为:(40+35)×(1﹣20%)=60(元),当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时,费用为w=0.9x60a=54a;当购买a套雨衣和雨鞋a>5时,费用为w=0.9×60×5+(a﹣5)×60×0.8=48a+30,∴W关于a的函数关系式为:w=54a(a≤5)48a+30(a>5);(3)由题意得:48a+30≤320,解得a≤61 24,答:最多可购买6套.【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的数量关系是解决问题的关键.25.(2022•泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶,第一次购进了A种茶30盒,B种茶20盒,共花费6000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒,B种茶15盒,共花费5100元.求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格.【分析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒,B种茶的价格为y元/盒,利用总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.【解析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒,B种茶的价格为y元/盒,依题意得:30x+20y=600020×(1+20%)x+15×(1+20%)y=5100,解得:x=100 y=150.答:第一次购进A种茶的价格为100元/盒,B种茶的价格为150元/盒.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.26.(2022•连云港)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”其大意是:今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱.问人数、物品价格各是多少?请你求出以上问题中的人数和物品价格.【分析】设有x个人,物品的价格为y钱,由题意:每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱.列出二元一次方程组,解方程组即可.【解析】设有x个人,物品的价格为y钱,由题意得:y=8x―3 y=7x+4,解得:x=7y=53,答:有7个人,物品的价格为53钱.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.27.(2022•安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.注:进出口总额=进口额+出口额.(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020x y5202021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y (2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元?【分析】(1)根据题意和表格中的数据,可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额;(2)根据题意和题目中的数据,可以列出相应的方程组,然后求解即可.【解析】(1)由表格可得,2021年进出口总额为:1.25x+1.3y,故答案为:1.25x+1.3y;(2)由题意可得,x+y=5201.25x+1.3y=520+140,解得x=320 y=200,∴1.25x=400,1.3y=260,答:2021年进口额是400亿元,出口额是260亿元.【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程组.28.(2022•重庆)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.【分析】(1)设乙骑行的速度为x千米/时,则甲骑行的速度为1.2x千米/时,利用路程=速度×时间,结合甲追上乙时二者的行驶路程相等,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可求出乙骑行的速度,再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度;(2)设乙骑行的速度为y千米/时,则甲骑行的速度为1.2y千米/时,利用时间=路程÷速度,结合乙比甲多用20分钟,即可得出关于y的分式方程,解之经检验后即可求出乙骑行的速度,再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度.【解析】(1)设乙骑行的速度为x千米/时,则甲骑行的速度为1.2x千米/时,依题意得:12×1.2x=2+12x,解得:x=20,∴1.2x=1.2×20=24.答:甲骑行的速度为24千米/时.(2)设乙骑行的速度为y千米/时,则甲骑行的速度为1.2y千米/时,依题意得:30y―301.2y=2060,。
专题03 一次不等式(组)与方程组 压轴题(七大题型)(原卷版)
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专题03一次不等式(组)与方程组压轴题(七大题型)6.(问题提出)1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少?(阅读理解)为了解决这个问题,我们先从最简单的情况入手.a 的几何意义是点到原点的距离.那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离.个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究a -我们先看a 表示的点可能的3种情况,如图所示:(1)如图①,a 在1的左边,从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于(2)如图②,a 在1和2之间(包括在1,2上),可以看出a 到1和2的距离之和等于(3)如图③,a 在2的右边,从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于所以a 到1和2的距离之和最小值是1.(问题解决)(1)36a a -+-的几何意义是.请你结合数轴探究:36a a -+-的最小值是.(2)请你结合图④探究:123a a a -+-+-的最小值是,此时a 为.(3)123456a a a a a a -+-+-+-+-+-的最小值为.(4)1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为.(拓展应用)(5)如图⑤,已知a 到-1,2的距离之和小于4,请写出a 的范围为题型3:新定义题型7.阅读下列材料:我们给出如下定义:数轴上给定不重合两点A ,B ,若数轴上存在一点M ,使得点M 到点B 的距离,则称点M 为点A 与点B 的“雅中点”.-,0,2,3.5四个数中,连动数有______ (1)在 2.5321x y k+=+⎧两种板材.如图所示,(单位:cm)(1)列出方程(组),求出图1中a与b的值.(2)在试生产阶段,若将30张标准板材用裁法一裁剪,4张标准板材用裁法二裁剪,再将得到的板材做侧面和底面,做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒.①两种裁法共产生A型板材张,B型板材张;②设做成的竖式无盖礼品盒x个,横式无盖礼品盒的y个,根据题意完成表格:礼品盒板材竖式无盖(个)横式无盖(个)x yA型(张)4x3y B型(张)x。
中考数学复习----一次方程(组)应用典型例题与考点归纳
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中考数学复习----一次方程(组)应用典型例题与考点归纳典型例题讲解1.(2022·山东泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶,第一次购进了A 种茶30盒,B 种茶20盒,共花费6000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A 种茶20盒,B 种茶15盒,共花费5100元.求第一次购进的A 、B 两种茶每盒的价格.【答案】A 种茶每盒100元,B 种茶每盒150元【分析】设第一次购进A 种茶每盒x 元,B 种茶每盒y 元,根据第一次购进了A 种茶30盒,B 种茶20盒,共花费6000元;第二次购进时,两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A 种茶20盒,B 种茶15盒,共花费5100元列出方程组求解即可.【详解】解:设第一次购进A 种茶每盒x 元,B 种茶每盒y 元,根据题意,得30206000,1.220 1.2155100.x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩解,得100,150.x y =⎧⎨=⎩∴A 种茶每盒100元,B 种茶每盒150元.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,正确设出未知数列出方程组求解是解题的关键.2.(2022·湖南常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家,匀速行驶需要4小时,某天,他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨,立即将车速减少了20千米/小时,到达奶奶家时共用了5小时,问小强家到他奶奶家的距离是多少千米?【答案】240千米【分析】平常速度行驶了12的路程用时为2小时,后续减速后用了3小时,用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可.【详解】解:设小强家到他奶奶家的距离是x 千米,则平时每小时行驶4x 千米,减速后每小时行驶204x ⎛⎫− ⎪⎝⎭千米,由题可知:遇到暴雨前用时2小时,遇到暴雨后用时5-2=3小时, 则可得:232044x x x ⎛⎫⨯+−= ⎪⎝⎭,解得:240x =, 答:小强家到他奶奶家的距离是240千米.【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题,直接设未知数法,找到准确的等量关系,列出方程正确求解是解题的关键.3.(2021·重庆中考真题)重庆小面是重庆美食的名片之一,深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面).已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元,4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份,“生食”小面2500份,为回馈广大食客,该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低3a%4.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同,“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a ,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a .求a 的值. 【答案】(1)每份“堂食”小面价格是7元,“生食”小面的价格是5元.(2)a 的值为8.【分析】(1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x 、y 元,根据题意列出二元一次方程组,解方程组即可;(2)根据题意列出一元二次方程,解方程即可.【详解】解:(1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x 、y 元,根据题意列方程组得,3231433x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得,75x y =⎧⎨=⎩, 答:每份“堂食”小面价格是7元,“生食”小面的价格是5元.(2)根据题意得,535450072500(1%)5(1%)(4500725005)(1%)2411a a a ⨯++⨯−=⨯+⨯+, 解得,10a =(舍去),28a =,答:a 的值为8.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用,解题关键是找准题目中的等量关系,列出方程,熟练运用相关知识解方程.4.(2020•安徽)某超市有线上和线下两种销售方式.与2019年4月份相比,该超市2020年4月份销售总额增长10%,其中线上销售额增长43%,线下销售额增长4%.(1)设2019年4月份的销售总额为a 元,线上销售额为x 元,请用含a ,x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果);(2)求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值.【分析】(1)由线下销售额的增长率,即可用含a ,x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额;(2)根据2020年4月份的销售总额=线上销售额+线下销售额,即可得出关于x 的一元一次方程,解之即可得出x 的值(用含a 的代数式表示),再将其代入1.43x 1.1a 中即可求出结论. 【解析】(1)∵与2019年4月份相比,该超市2020年4月份线下销售额增长4%,∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04(a ﹣x )元.故答案为:1.04(a ﹣x ).(2)依题意,得:1.1a =1.43x+1.04(a ﹣x ),解得:x =213,∴1.43x1.1a =1.43⋅213a1.1a =0.22a1.1a =0.2.答:2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2.5.(2020•江西)放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯,2本笔记本需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元.(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格;(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品,请通过运算说明.【分析】(1)设笔记本的单价为x 元,单独购买一支笔芯的价格为y 元,根据“小贤要买3支笔芯,2本笔记本需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元”,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)先求两人带的总钱数,再求出两人合在一起买文具所需费用,由二者的差大于2个小工艺品所需钱数,可找出:他们合在一起购买,才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品.【解析】(1)设笔记本的单价为x 元,单独购买一支笔芯的价格为y 元,依题意,得:{2x +3y =19x +7y =26, 解得:{x =5y =3. 答:笔记本的单价为5元,单独购买一支笔芯的价格为3元.(2)小贤和小艺带的总钱数为19+2+26=47(元).两人合在一起购买所需费用为5×(2+1)+(3﹣0.5)×10=40(元).∵47﹣40=7(元),3×2=6(元),7>6,∴他们合在一起购买,才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品.6.(2020•重庆)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种,提高产量,某农业科技小组对A ,B 两个小麦品种进行种植对比实验研究.去年A ,B 两个品种各种植了10亩.收获后A ,B 两个品种的售价均为2.4元/kg ,且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ,A ,B 两个品种全部售出后总收入为21600元.(1)请求出A ,B 两个品种去年平均亩产量分别是多少?(2)今年,科技小组加大了小麦种植的科研力度,在A ,B 种植亩数不变的情况下,预计A ,B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B 品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%,而A 品种的售价不变.A ,B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%.求a 的值.【分析】(1)设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克;根据题意列方程组即可得到结论;(2)根据题意列方程即可得到结论.【解析】(1)设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克;根据题意得,{y −x =10010×2.4(x +y)=21600, 解得:{x =400y =500, 答:A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克;(2)2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)=21600(1+209a%), 解得:a =10,答:a 的值为10. 一次方(组)程应用考点归纳1.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题;(2)设出未知数;(3)列出含未知数的等式——方程;(4)解方程(组);(5)检验结果;(6)作答(不要忽略未知数的单位名称).2.一次方程(组)常见的应用题型(1)销售打折问题:利润=售价-成本价;利润率=利润成本×100%;售价=标价×折扣;销售额=售价×数量.(2)储蓄利息问题:利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数);贷款利息=贷款额×利率×期数.(3)工程问题:工作量=工作效率×工作时间.(4)行程问题:路程=速度×时间.(5)相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程.(6)追及问题(同地不同时出发):前者走的路程=追者走的路程.(7)追及问题(同时不同地出发):前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.(8)水中航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度.。