内力与内力图

常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4

例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
解：（1）计算外力偶矩。根据公式 P Me 9549 n 可求得各轮上的外力偶矩分别为 MeA=1910（N· m） MeB=955（N· m） MeC= MeD= 477（N· m） （2）由截面法计算各段轴上的扭矩 MxAB=-MeA=-1910（N· m） MxBC=-MeA+MeB=-1910+955=-955 （N· m） MxCD=-MeD=-477 （N· m） （3）根据各段扭矩画出扭矩图。 （4）A、B两轮调换后，扭矩图如图d所示。 显然，后一种布局方案较合理。
1
10KN
1
40KN
2
10KN
3
20KN
3
2
10KN
FN1 40KN
10KN
FN2
FN3 FN 30KN 20KN
20KN
10KN
x
例2 传动轴如图a所示。主动轮A输入功率PA=40kW，从动轮B、C、D输出功率分 别为PB=20kW、PC= PD=10kW，轴的转速n=200r/min。（1）绘制该轴的扭矩图； （2）绘制轮A和轮B调换后（图c）轴的扭矩图；（3）说明轮子的两种布局方案 中哪个更合理。
内力与内力图
一 内力的概念
内力是构件内部各质点间的相互作用力。 材料力学中所说的内力，确切的说是指由 于受到外力作用而引起的内力的变化，即 “附加内力”。所以，若构件不受外力作 用，内力即为零。 材料力学中经常计算的是横截面上的内力， 它实际上是截面上分布内力的合力。 内力计算是强度和刚度计算的基础。
轴力的符号
图1a所示轴力离开截面，即杆件为拉伸变形，轴力为正； 图1b所示轴力指向截面，即杆件为压缩变形，轴力为负。
F
F F 轴力的符号：图F1a所示轴力离开截面， 即杆件为拉伸变形，轴力为正；图 1b所 (b) (a) 图1 示轴力指向截面，即杆件为压缩变形， 轴力为负。
N
N
扭矩的符号
• 图2a中，大拇指离开截面，扭矩为正； • 图2b中，大拇指指向截面，扭矩为负。
（a）
（b） 图2
剪力与弯矩的符号
图3-a中剪力使梁发生左上右下的错动，为正值；图3-b中剪力为负值；
图3-c中弯矩使梁发生上凹下凸的弯曲变形，弯矩为正值；图3-d中弯矩为负值。
（a ）
（b）
（c）
（d）
图3
四 内力图
内力图是指杆件横截面上的内力（轴力、 扭矩、剪力及弯矩）随截面位置变化情况 的图线，根据内力图可以很方便地确定出 危险截面的位置。 通过截面法求得各截面上的内力，即可画 出杆件的内力图。画内力图时，以平行于 杆件轴线的坐标轴表示截面位置，纵坐标 轴表示内力。 例题：例1 例2 例3 例4
例3 悬臂梁受均布载荷作用，载荷集度为q，试建立 其剪力方程与弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）将坐标原点取在梁的左端，建 立剪力方程和弯矩方程。
q x
F Q qx
1 1 2 M qx x qx 2 2
（2）根据剪力方程和弯矩方程，画出剪
力图和弯矩图，如图所示。
ql 2
二 截面法
• 杆件某一截面上的内力其实也可理解为该 截面两侧的两部分杆件之间的相互作用力， 因此，可假想地沿截面将杆件截开，由截 面左侧或右侧一段杆的平衡条件求得该截 面上的内力。基本步骤可概括为十二个字： • “一截为二，弃一留一，平衡求力”。
三 内力符号的规定
• 内力的符号是为了表示杆件变形的不同方向，所以是按照变形 的方向规定的。另外，在这个规定的前提下，无论将杆件截开 后取左侧还是右侧一段计算内力，其符号是相同的。 • 1. 拉伸与压缩：轴力离开截面为正，反之为负。如图1所示。 • 2. 扭转：按右手螺旋法则判定。如图2所示。 • 3. 弯曲： • （1）剪力：使一段梁发生左上右下的错动为正，反之为负。 如图3所示。 • （2）弯矩：使一段梁发生上凹下凸的变形时为正，反之为 负。如图3所示。