内力与内力图
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常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷(即q=0),则剪力图为水平直线,弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时,弯矩图为向右上方倾斜的 直线,剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜,剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷,则剪力图为斜直线,弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下,则剪力图为向右下方 倾斜的直线,弯矩图为开口向下的抛物线,抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上,剪力图有突变,变化值等于该集 中力的大小,弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上,剪力图无变化,弯矩图上有突 变,变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中,将弯矩方程对x求一阶导数,得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数,得
dF Q dx
q
也就是说,弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程;剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中,而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义,以上关系表明:弯矩图上某点的切线的斜率,等于对 应截面上的剪力;剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律,还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示,试画出其剪力图和弯矩图。
解:(1)根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解:(1)用截面法求内力。 沿截面1-1截开,由左侧一段的平衡,有 FN1+10=0 所以 FN1=-10(kN) 沿截面2-2截开,由左侧一段的平衡,有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30(kN) 沿截面3-3截开,由右侧一段的平衡,有 -FN3+20=0 所以 FN3=20( kN ) (2)根据计算结果作出轴力图。 (3)讨论:由以上计算过程可以看出,将 平衡方程中的外力都移至等号右端,则有 FN=ΣFie 也就是说,横截面上的轴力,等于其左侧 (或右侧)一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系,有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
解:(1)计算外力偶矩。根据公式 P Me 9549 n 可求得各轮上的外力偶矩分别为 MeA=1910(N· m) MeB=955(N· m) MeC= MeD= 477(N· m) (2)由截面法计算各段轴上的扭矩 MxAB=-MeA=-1910(N· m) MxBC=-MeA+MeB=-1910+955=-955 (N· m) MxCD=-MeD=-477 (N· m) (3)根据各段扭矩画出扭矩图。 (4)A、B两轮调换后,扭矩图如图d所示。 显然,后一种布局方案较合理。
1
10KN
1
40KN
2
10KN
3
20KN
3
2
10KN
FN1 40KN
10KN
FN2
FN3 FN 30KN 20KN
20KN
10KN
x
例2 传动轴如图a所示。主动轮A输入功率PA=40kW,从动轮B、C、D输出功率分 别为PB=20kW、PC= PD=10kW,轴的转速n=200r/min。(1)绘制该轴的扭矩图; (2)绘制轮A和轮B调换后(图c)轴的扭矩图;(3)说明轮子的两种布局方案 中哪个更合理。
内力与内力图
一 内力的概念
内力是构件内部各质点间的相互作用力。 材料力学中所说的内力,确切的说是指由 于受到外力作用而引起的内力的变化,即 “附加内力”。所以,若构件不受外力作 用,内力即为零。 材料力学中经常计算的是横截面上的内力, 它实际上是截面上分布内力的合力。 内力计算是强度和刚度计算的基础。
轴力的符号
图1a所示轴力离开截面,即杆件为拉伸变形,轴力为正; 图1b所示轴力指向截面,即杆件为压缩变形,轴力为负。
F
F F 轴力的符号:图F1a所示轴力离开截面, 即杆件为拉伸变形,轴力为正;图 1b所 (b) (a) 图1 示轴力指向截面,即杆件为压缩变形, 轴力为负。
N
N
扭矩的符号
• 图2a中,大拇指离开截面,扭矩为正; • 图2b中,大拇指指向截面,扭矩为负。
(a)
(b) 图2
剪力与弯矩的符号
图3-a中剪力使梁发生左上右下的错动,为正值;图3-b中剪力为负值;
图3-c中弯矩使梁发生上凹下凸的弯曲变形,弯矩为正值;图3-d中弯矩为负值。
(a )
(b)
(c)
(d)
图3
四 内力图
内力图是指杆件横截面上的内力(轴力、 扭矩、剪力及弯矩)随截面位置变化情况 的图线,根据内力图可以很方便地确定出 危险截面的位置。 通过截面法求得各截面上的内力,即可画 出杆件的内力图。画内力图时,以平行于 杆件轴线的坐标轴表示截面位置,纵坐标 轴表示内力。 例题:例1 例2 例3 例4
例3 悬臂梁受均布载荷作用,载荷集度为q,试建立 其剪力方程与弯矩方程,并画出剪力图和弯矩图。
解:(1)将坐标原点取在梁的左端,建 立剪力方程和弯矩方程。
q x
F Q qx
1 1 2 M qx x qx 2 2
(2)根据剪力方程和弯矩方程,画出剪
力图和弯矩图,如图所示。
ql 2
二 截面法
• 杆件某一截面上的内力其实也可理解为该 截面两侧的两部分杆件之间的相互作用力, 因此,可假想地沿截面将杆件截开,由截 面左侧或右侧一段杆的平衡条件求得该截 面上的内力。基本步骤可概括为十二个字: • “一截为二,弃一留一,平衡求力”。
三 内力符号的规定
• 内力的符号是为了表示杆件变形的不同方向,所以是按照变形 的方向规定的。另外,在这个规定的前提下,无论将杆件截开 后取左侧还是右侧一段计算内力,其符号是相同的。 • 1. 拉伸与压缩:轴力离开截面为正,反之为负。如图1所示。 • 2. 扭转:按右手螺旋法则判定。如图2所示。 • 3. 弯曲: • (1)剪力:使一段梁发生左上右下的错动为正,反之为负。 如图3所示。 • (2)弯矩:使一段梁发生上凹下凸的变形时为正,反之为 负。如图3所示。