指数方程和对数方程的主要类型

指数方程和对数方程的主要类型

在中学知识范畴内，我们主要解决一些简单类型的指数方程和对数方程。解方程的基本思路是实现同解变形，即将方程转化为方程b a x =或b x a =log 的形式或简单代数方程，从而获解。但由于解方程过程中往往不都是同解变形，因此要注意验根。

一．指数方程的主要类型

1．b a x = ()0,1,0>≠>b a a 型。

此类方程的解为b x a log =。

2．()()()1,1,0,≠≠>=b a b a b a x f x f 型。 此类方程可变形为()()0,1==⎟⎠⎞⎜⎝⎛x f b a x f 。

例1．解方程x x 4912=−。 解：由题意可得9292=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛x ，9log 229=x ，故9log 2129=x 。 3．()()()1,0≠>=a a a a x g x f 型。此类方程的解可由()()x g x f =求得。

例2．解方程()521010152−=

⋅x x x 。 解：4

11,115,1010,101010115105=−===−−x x x x x x x 。 4．()1,002≠>=++a a C Ba Aa x x 型。可令x a y =（即换元），便得到关于y 的一元二次方程02=++C By Ay ，由此求得y ，从而易得x 的值。

例3．设关于x 的方程()056391=−+−+k k k x x 在[]2,0内有解，求k 的取值范围。

解：令x t 3=，由[]2,0∈x ，得[]9,1∈t 。原方程可化为()05632=−+−k kt kt ， 即4152330633022+⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−=+−=t t t k ，[]9,1∈t 。当23=t 时，8max =k ；当9=t 时，21min =k 。

故要使原方程有解，必须

821≤≤k 。 5．()b a b a b a Cb b Ba Aa x x x x ≠≠>=++,1,,0,022型。此类方程可称之“关于x a ，x b 的齐

二次型”，可先变形为02=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝⎛C b a B b a A x x ，再换元求解。 例4．解方程x x x 62

549⋅=+。 解：方程即为022*******=⋅+⋅⋅−⋅x x x x ，即022352322=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛x x 。令x

y ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=23，方程可化为02522=+−y y ，解得21,221=

=y y ，从而可得2log 231=x ，2log 3

22=x 。 二．对数方程的主要类型 1．()1,00log log 2

≠>=++a a C x B x A a a 型。令x y a log =（即换元）

，便得到关于y 的一元二次方程02=++C By Ay ，由此求得y ，从而易得x 的值，需验根。

例5．解方程()2313log 13log 133=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛

−⋅−−x x 。 解：方程即为()()

21331log 13log 33=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−x x 。令()13log 3−=x t ，则方程可化为()021=−−t t ，解得1,221−==t t 。于是由()213log 3=−x 得103=x ，10log 3=x 。由()113log 3−=−x 得343=x ，34log 3=x 。故原方程的解为10log 31=x ，3

4log 32=x 。 2．()()()1,0log log ≠>=a a x g x f a a 型。此类方程与条件方程()()()()⎪⎩

⎪⎨⎧=>>x g x f x g x f 00，同解。

例6．已知关于x 的方程()()1lg 2lg +=x kx 有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围。

解：显然，x 需满足()⎪⎩

⎪⎨⎧=+>+>kx x x kx 21010，即()⎩⎨⎧=+−+−>01212x k x x 。 （1） 若上述方程有两个相等实根，则必有0=Δ，即()0422

=−−k ，0=∴k 或4=k 。

若0=k ，则实根1−=x ，舍去。若4=k ，则实根1=x ，符合题意。

（2） 若上述方程有两个不等实根1x ，2x ，则必有11−>x ，12−≤x 。

考虑函数()()122

+−+=x k x x f ，只需()01<−f ，得0

注意：此类对数方程形式简单，但综合性很强，往往要归为对一元二次方程根的讨论。解题时需注意三点：

（1） 根据定义域，列出条件方程，一般总可以省略其中的一个条件；

（2） 如果转化为一次方程，问题比较简单，只要得到的x 满足取值范围即可；如果转化为二次方程，

那么

若0<Δ，方程无解；

若0=Δ，所得的x 值如果在取值范围内，则有一解，如不在取值范围内，则无解；

若0>Δ，所得的两个x 值如果均在取值范围内，则有两解；如果恰有一个在取值范围内，则有一解；如果均不在取值范围内，则无解；

（3） 对数方程常常归结为对一元二次方程根的讨论，而讨论的方法，一般有求根公式，韦达定理及运用二次函数图象三种。