北航最优化补考试题(11-12)

北京航空航天大学研究生课程试卷

2011－2012学年第二学期

《最优化理论与算法B》补考试卷

2012年9月20日

姓名:学号：

说明：

•闭卷考试.

•共有6个题目，满分100分；考试时间2小时.

•您的解答务必详细、清晰.

•Good Luck!

题目123456总分

分数

1.(24分)判断下列每个命题的正误，并说明理由.理由可以是1-3行的解释或者反例；理由

不正确的答案不得分.

(a)线性规划标准形的可行集总是有界的.

(b)如果x和λ分别是原始和对偶问题的最优解，则由互补松弛性我们有原对偶变量的乘

积总是零，即x iλi=0对所有i成立.

(c)对偶单纯形法能够检测一个线性规划问题是不可行或者无界的.

(d)在最小费用网络流问题中，链路费用是分数，但是需求和供给量是整数，最优基本

可行解的每个分量是分数.

(e)凸规划的KKT点是全局极小点.

(f)二次规划是凸规划.

(g)半定规划是凸规划.

(h)ℓ1惩罚函数法是非精确惩罚函数法.

(i)二次惩罚函数法中，固定惩罚因子后由该方法得到的近似解是原问题的可行解.

(j)对于线性规划标准形问题，如果最优值是−∞，则可以以某种方式调整右端向量b使得最优值有限.

(k)两阶段法中，第I阶段的辅助问题的对偶从来不会无界.

(l)最速下降法的收敛速率高度依赖于初始点.

x T Gx，牛顿法的收敛速率依赖于矩阵G的条件数.

(m)对于二次函数q(x)=1

2

2.(20分)对于问题

minimize5x1−3x2

subject to2x1−x2+4x3≤4,

x1+x2+2x3≤5,

2x1−x2+x3≥1,

x1≥0,x2≥0,x3≥0.

(a)以1为转轴元,利用一次转轴运算找到一个基本可行解.

(b)从(a)中找到的基本可行解开始，利用单纯形法求解该问题.

(c)对偶问题是什么?

(d)给出对偶问题的解.

3.(10分)考虑问题min

x∈I R n

∥Ax−b∥22，其中A是m×n矩阵，b是m维向量.

(a)写出最优性的必要条件.这也是一个充分条件吗？

(b)最优解唯一吗？理由是什么？

(c)你能给出最优解的一种闭合(解析)形式吗？可以规定任何你所需的假设.

4.(10分)考虑等式约束二次规划

minimize1

2x T Gx+d T x

subject to A T x=b,

其中b∈I R m,A∈I R n×m，且假设A的列a1,···,a m线性无关。设Z∈I R n×(n−m)是由齐次线性方程组A T s=0的基础解系中的向量为列组成的矩阵，x′是方程组A T x=b的特解.

请完成以下问题：

(a)把原问题化成等价的无约束极小化问题；

(b)给出(a)中问题有惟一解的充分条件；在此充分条件下，给出解的显式表达式；此时

原问题的最优解是什么？

5.(16分)考虑问题

minimize−x1x2

subject to x1+2x2−4=0.

(a)计算最优解和Lagrange乘子.

(b)设罚参数为σ，写出该问题的Courant罚函数(二次罚函数).

(c)确定二次罚函数的极小点，由此得到原问题最优解的近似和相应Lagrange乘子的近

似.

6.(20分)考虑等式约束问题

minimize x1+x2subject to x2=x21.

请完成以下问题：

(a)写出该问题的KKT条件，并求出该问题的KKT点；

(b)以x(0)=0,λ(0)=1为初始点，用解方程组的基本牛顿法解(a)中KKT条件所对应的

方程组，迭代一次;

(c)以x(0)=0,λ(0)=1为初始点，用SQP法求解该等式约束优化问题，迭代一次，要求

用求KKT点的方法解其中的二次规划子问题；

(d)将题目中的等式约束条件x2=x21换成x2≥x21，考虑用SQP法求解所得的不等式约束

优化问题，写出以x(0)=0,λ(0)=1为初始点时，需要求解的二次规划子问题.