数列求和的基本方法和技巧

①－②得
（错位相减）
再利用等比数列的(1求? x和)S公n ?式1 ?得2x：?1
? 1
x ?
n?1
x
?
(2n
? 1)xn
Hale Waihona Puke Baidu
S ? 2020/n4/5
(2n ? 1)xn?1
? (2n ? 1)xn (1 ? x)2
?
(1 ?
x)
12
变式训练 4 已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝ 2Sn (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项 an； (2)求数列{na n}的前 n 项和 Tn.
6 23
,???,
2n 2n
,?前?? n项的和
解：由题可知， {
2n 2n
} 的通项是等差数列 {2n} 的通项与等比数列{
1 2n }的通项之积
设 Sn
?
2 2
?
4 22
?
6 23
? ????
2n 2n
………………………………… ①
1 2 Sn
?
2 22
?
4 23
?
6 24
? ????
2n 2 n?1
17
1、求数列a n ?
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1 ?
1 2 )Sn
?
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ???? 2
2 22 23 24
2n
?
2n 2 n?1
?
2?
1 2n?1
?
2n 2 n?1
∴
Sn
?
4?
n? 2 2 n?1
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8
已知数列an
?
(n
? 1) ?
( 9 )n 10
,
求{a
?
n2
?
1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6
⑤ 13 ? 23 ? 33 ?
? n3 ?
?n(n ? 1)?2 ?? 2 ??
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3
例1：求和：
1. 4 ? 6 ? 8 ? ……+（2n+2）
2.
1?
1? 2
1 22
?
1 23
?K
?
1 2n
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4
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
16
(2) Tn ＝ a1＋ 2a2＋ 3a3＋…＋ na n ，
当 n＝1 时，T1＝1；
当 n≥2 时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，
①
3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，
②
①－②得：－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1 ＝ 2＋ 2·3(11－－33n －2)－ 2n·3n －1＝－ 1＋(1－2n)·3n－ 1.
解 (1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴SSn＋n 1＝3. 又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为 1，公比为 3 的等 比数列，Sn＝3n－1 (n∈N*)． 当 n≥2 时，an＝2Sn－1＝2·3n－2， ∴a n＝?????12，·3nn－＝2，1n，≥2.
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∴
Tn＝12＋???n
－
1 2
??3n
?
－1
(n≥2)．
又∵T1 也满足上式，故 Tn＝12＋???n－12???3n－1 (n∈N*)．
点评 本题在求前 n 项和时，要注意通项公式中分 n＝1 和
n≥2 构成分段函数，因此求和时也要分类讨论求和，并检验
n＝1 是否满足前 n 项和公式．
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?? 9 ??2 ?10?
?
?? 9 ??3 ?10?
?
......?
?? 9 ??n ?10?
?
?n? 1???? 9 ??n?1
?10?
化简整理得 :
Sn
?
99? 10?n ? 11???? 9 ??n?1
?10?
11 2020/4/5
2020/4/151
[例3] 求和 ： Sn ? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7 x3 ? ???? (2n ? 1) xn?1
既{a nbn} 型
等差
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等比
6
2．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 { an} 的前n项和为Sn，an＝n·2 n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
＋n·2n
①等差数列的前 n项和公式：Sn
?
n(a1 ? 2
an )
?
na1
?
n(n ? 1) d 2
②等比数列的前 n项和公式 ③ 1? 2 ? 3 ? ? n ? 1 n(n ? 1)
2
Sn
?
? ? ? ??
na1 (q
a1(1? 1?
? q q
1) n)
?
a1 ? anq 1? q
(q
?
1)
④ 12 ? 22 ? 32 ?
………①
解：由题可知，{(2n ? 1)xn?1 } 的通项是等差
数列{2n －1} 的通项与等比数列xn{?1 } 的通项
之积xSn ? 1x ? 3x2 ? 5x3 ? 7 x4 ? ???? (2n ? 1)xn
设
…
…… ② （(1 ?设x)S制n ?错1? 位2x ?）2x2 ? 2x3 ? 2x4 ? ???? 2xn?1 ? (2n ? 1)xn
n
}的前n项和Sn
.
9 2020/4/5
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解：第一步，写出该数列求和的展开等式
Sn
?
2???9 ??? ?10?
3???9 ??2 ?10?
?
4???9 ??3 ?10?
?.....?.
n???9 ??n?1 ?10?
?
?n?1????9 ??n
?10?
第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 9
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1
? 数列是高中代数的重要内容，又是学习高 等数学的基础. 在高考占有重要的地位. 数列 求和是数列的重要内容之一，除了等差数
列和等比数列有求和公式外，大部分数列
的求和都需要一定的技巧. 下面谈谈数列求 和的基本方法和技巧.
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2
一.公式法：即直接用求和公式，求数列的前n和S n
10
9 10
Sn
?
2??? 9 ??2 ?3??? 9 ??3 ? 4??? 9 ??4 ?...?n??? 9 ??n ??n?1???? 9 ??n?1
?10? ?10? ?10?
?10?
?10?
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2020/41/50
第三步，两式进行错位相减得：
1 10Sn
?
2??? 9 ??? ?10?
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n+1②
2?1－2n? ① －②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝ 1－2 －n·2n+1
＝2n+1－2－n ·2n+1
∴Sn＝(n －1)·2n+1＋ 2
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[例4] 求数列
2 2
,
4 22
,