数学建模车灯问题课件
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而此时线光源所消耗的功率 p=kL
④ 求反射光的强度 为了便于分析，我们将 图一抽象出来，并旋转一 定角度后得右图。 D—线光源上任一点 N—对应于D点的反射点 G—法线与中轴线的交点
对于线光源上的任意一点 D （设坐标为 （ t ， 0.015 ， 0 ）），假设从它发出的光 线经旋转抛物面上的点N反射后，可以射 到B点上。下面利用向量来推导旋转抛物 面上满足此条件的所有反射点N的坐标。
①将入射光方向向量X’及其法线方向向量Y均转化为 单位向量（如图四所示）； ②取入射光方向向量X’的反方向向量X； ③ 由几何关系可知： X Z 2Y cos
我们采用在小区域采集离散点的方法，使用 Mathematic 软件，通过改变微小△ l, 得到线光源 上当前 D 点对应的反射点（即 N 点）的数目。以 此作为此微小区域 [l,l+ △l]内各点所对应的N点 数目。
t的取值 到B的反射光的条数 到C的反射光的条数 t的取值 到B的反射光的条数 到C的反射光的条数
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0.0048
0.0050
4
4
4
4
-0.0048
-0.0050
0
0
0
0
ni k ni k l ei cos dl cos 2 2 l 4 r 4 r m m ni k l ni kL E反 ei cos cos 2 2 4m r i 1 i 1 4 r
可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的 点光源在B点所对应的照度值不同。但注意到 所有的差别太小，因此在实际计算中，我们对 作近似处理，令它为一个常数：
r 252 1.32 =25.034(米)
于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为
kL kL E直 cos cos 2 S 4 r
① 光源功率与照度的关系 如果光源的发光强度为 I，光源与被照面的距离是 r，光线方向与被照面法线的夹角为 。那么， 这个面上的照度就是 I E 2 cos
r
可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照 度跟光源的发光强度成正比，跟表面法线与光线方 向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距 离的平方成反比。
0.0002
0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
2
2 2 6 5
2
2 2 2 2
-0.0002
-0.0004 -0.0006 -0.0008 -0.0010
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0.0012
0.0014 0.0016 0.0018
5
5 5 5
2
2 4 6
-0.0012
-0.0014 -0.0016 -0.0018
通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下 关系式：
4 I
r
联立 E I2 cos
得 E 4 r 2 cos
对于功率线密度为 k 瓦／米，发光效率为 流明／瓦 的线光源，在距它 r 米的物体表面，照度为
光源功率为 即可推出
p kL
kL E cos 2 4 r
l l
于是我们可以得到 至此，我们已分别求得了
如果把整个线光源划成个相等的微小区间，则由 上述分析，第个微小区间的点发出的光线经抛物 面反射，如果能恰好射到B点（或者C点），那么 在B点的照度为
至此，我们已分别求得了E直 E反 于是我们可以得到
ni kL kL E E直 E反 ( ) cos 2 2 4 r 4m r
(2)
P E cos 2 4 r
② 微元法将线光源转化为点光源 对于线光源来说，我们利用微元法的 思想，将其分为若干小段（△l），每 一段可视为一个点光源，各自独立向四 周辐射光能。而在测试屏上的任意一受 光点的照度等于各点光源在此处的照度 代数和。这样我们就把对线光源的讨论 转化成了对点光源的讨论。
⑤求得长度的优化解
通过条件，建立线光源长度的优化模型：
min p kL EB EB直 EB反 2 E0 s.t E E E E C 0 C反 C直
代入照度额定值(1勒克斯)、高压毛细汞灯和 卤素灯的参数，得到以下结果：
发光效 率 （流明/ 瓦） 功率线 密度 （瓦/毫 米） 线光源 的长度 （毫米 ）
设反射点N的坐标为（x，y，z），由上文的证明 可知，在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对 称轴相交，且交点G的坐标为（0，y+c，0）。又已 知点B的坐标为（-1.3，25.015，0），点D的坐标 为（t，0.015，0）。经过分析，知道N点必须满 足以下三个条件：
1）NG是∠BND的角平分线，即： ∠BNG= ∠DNG cos ∠BNG =cos ∠DNG
BN GN GN DN BN GN GN DN
( x 1.3, y 25.015, z) ( x, c, z) ( x 1.3)2 ( y 25.015)2 z2 x2 c2 z2
（3）
( x, c, z) ( x t, y 0.015, z) x2 c2 z 2 ( x t)2 ( y 0.015)2 z 2
分析:
由于该线光源照射到测试屏上，有
两种途径：直射和反射。因此我们 在考虑某点的光强时，必须同时考 虑两种情况。 现在我们还需解决的几个关键问题 是如何度量光强，光强的额定值为 多少，如何建立起功率与光强的关 系。
假设
1、 光在反射时及整个传播过程中，能量均无 损耗。 2、 只计此线光源的长度，其体积忽略不计。
但实际上我们并不关心N点的具体坐标值，而看重的 是线光源上每一点能发出多少光线经抛物面反射后照 到B或C点。由于光源发出的光能否反射受灯反射面几 何尺寸大小的限制，并且B、C点的位置相对灯而言是 处在斜前方，所以，N点的位置并不具有对称性。对于 线光源上不同的点，与其对应的N点数目也不同。但在 线光源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N点 数目相同。即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物 面反射后恰好照射到B点（或C点）。
然后代入
x 0 z 0
得到交点坐标为 （0，y0+c，0）
，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
将开口半径及深度等数据代入（1）式，得出焦 距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入,y=0.015,推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
建立模型
（1）计算线光源长度 首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点， 所用方法及运算过程完全类似。
表 中 为 点 光 源 的 坐 标 。
0.0028 0.0030
t x
0.0032
0.0034 0.0036 0.0038 0.0040 0.0042 0.0044 0.0046
4
4 4 4 4 4 4 4
5
5 6 5 5 5 5 5
-0.0032
-0.0034 -0.0036 -0.0038 -0.0040 -0.0042 -0.0044 -0.0046
材料
B点照度 （勒克 斯）
C点照度 （勒克 斯）
高压毛 细汞灯
卤素灯
50
30
30
20
2.0121
2.1267
1.3677
1.5122
4． 2
7． 9
（2） 反射光亮区的绘制
首先我们称光能照射到的区域为亮区。我们以 常用的高压毛细汞灯为例（即 = 4.2mm），来 绘制出测试屏上反射光的亮区。
亮区图的绘制步骤：
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏， 屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。 在屏上过A点引出一条与地面相平行的 直线，在该直线A点的同侧取B点和C点， 使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不 小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只 须考虑一次反射）。
我们需要解决的是： （1） 满足该设计规范的条件下，计算 线光源长度，使线光源的功率最小。 （2） 得到的线光源长度，在有标尺的 坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。
③ 求直射光的强度 线光源上任一点光源D直射到测试屏上B点 处有且只有一条光线。因为D发出的光是以 球面波的形式向空间传播的，设该点到B点 的半径为r，则在B点处的波面面积为
S 4 r
2
据（2）式，可得任意一点光源直射到B点时 该点的照度为：
k l k l e直 cos cos 2 S 4 r
线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上 一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。我 们通过如下方式产生线光源反射光的亮区：
1） 在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源; 2） 在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点； 3） 对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光 的方向向量及其法线方向向量； 4） 通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射 光方向向量； 5） 通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光 的解析式，进而求出反射光在测试屏上的投影坐标， 并在此处描点。 其中，由入射光方向向量及其法线方向向量计算反射 光方向向量具体过程如下：
词汇:
1、线光源——宽度与其长度相比小得多
的发光体。 2、光通量 ——光源在单位时间内辐射出 的光能，用国际规定的眼（对光适应的 眼）的灵敏度来估定。 3、发光效率——光源每消耗1瓦特功率可 辐射出的光通量，又叫光效。 4、照度——单位面积所接受的光通量， 单位为勒克斯。
分析:
首先解决本问题的一个难点：由 于问题讨论的主要对象是线光源， 而线光源处理起来不太容易，因此 想到用微元法将线光源划分为若干 小段（微元），每一段可视为一个 点光源。这样就将线光源的问题转 化为了点光源的叠加问题。
3、 此线光源均匀分布，各点同性。且任意一 点向整个空间各个方向均匀辐射能量。
假设
4、 光强额定值为1勒克斯 5、 不考虑光的干涉、衍射等现象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 6、 光强在某点叠加时，可直接取其 代数和。 7、 只考虑一次反射。
变量定义（符号）
c
E
p
焦准距 （m ） 线光源的功率 （W ） 光通量 （lm ——流明 ） 发光效率 （lm/W ） 照度 （lx(lm/m2) ——勒克斯
主讲：黄先玖
MCM2002年A题
车灯线光源的优化设计
问题 ：
汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，
其对称轴水平地指向正前方，并已知其 开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。 经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的 水平方向上，对称地放置一定长度的均 匀分布的线光源。要求在某一设计规范 标准下确定线光源的长度。该设计规范 可简单描述如下：
（ lx=1 lm/m2） ）
E0 k
L
照度额定值 （ lx(lm/m2) ） 发光功率线密度 （W/m ） 线光源长度 （m ）
模型的建立
首先建立如图坐标系：
结论:在旋转抛物面上，每个反射点 的法线都与对称轴相交。 证明:从上图，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线
(1)
2 x 2cy z0
c 0
绕轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为 2 2
z x 2cy
设(x0,y0,z0)为此抛物面上任意一点，求得过此点 的切面方程为 2x0 x x0 2c y y0 2z0 z z0 0
进而得法线方程为 联立对称轴方程
x x0 y y0 z z0 x0 c z0
0
0 0 0
0
0 0 0
t的取值
到B的反射光的条 数
到C的反射光的条 数
t的取值
到B的反射光的条 数
到C的反射光的条 数
0.0022
0.0024 0.0026
4
4 4 4 4
6
5 5 6 6
-0.0022
-0.0024 -0.0026 -0.0028 -0.0030
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
2）点G、B、N、D四点共面，所以：
BN DN GN 0
x 1.3 x x t y 25.015 z c y 0.015 z 0 z
（4）
3）点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：
x z 2cy
2 2
（5）
联立方程（3）、（4）、（5），即可求解出与线光 源上一点D对应的所有的反射点N。
④ 求反射光的强度 为了便于分析，我们将 图一抽象出来，并旋转一 定角度后得右图。 D—线光源上任一点 N—对应于D点的反射点 G—法线与中轴线的交点
对于线光源上的任意一点 D （设坐标为 （ t ， 0.015 ， 0 ）），假设从它发出的光 线经旋转抛物面上的点N反射后，可以射 到B点上。下面利用向量来推导旋转抛物 面上满足此条件的所有反射点N的坐标。
①将入射光方向向量X’及其法线方向向量Y均转化为 单位向量（如图四所示）； ②取入射光方向向量X’的反方向向量X； ③ 由几何关系可知： X Z 2Y cos
我们采用在小区域采集离散点的方法，使用 Mathematic 软件，通过改变微小△ l, 得到线光源 上当前 D 点对应的反射点（即 N 点）的数目。以 此作为此微小区域 [l,l+ △l]内各点所对应的N点 数目。
t的取值 到B的反射光的条数 到C的反射光的条数 t的取值 到B的反射光的条数 到C的反射光的条数
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0.0048
0.0050
4
4
4
4
-0.0048
-0.0050
0
0
0
0
ni k ni k l ei cos dl cos 2 2 l 4 r 4 r m m ni k l ni kL E反 ei cos cos 2 2 4m r i 1 i 1 4 r
可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的 点光源在B点所对应的照度值不同。但注意到 所有的差别太小，因此在实际计算中，我们对 作近似处理，令它为一个常数：
r 252 1.32 =25.034(米)
于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为
kL kL E直 cos cos 2 S 4 r
① 光源功率与照度的关系 如果光源的发光强度为 I，光源与被照面的距离是 r，光线方向与被照面法线的夹角为 。那么， 这个面上的照度就是 I E 2 cos
r
可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照 度跟光源的发光强度成正比，跟表面法线与光线方 向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距 离的平方成反比。
0.0002
0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
2
2 2 6 5
2
2 2 2 2
-0.0002
-0.0004 -0.0006 -0.0008 -0.0010
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0.0012
0.0014 0.0016 0.0018
5
5 5 5
2
2 4 6
-0.0012
-0.0014 -0.0016 -0.0018
通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下 关系式：
4 I
r
联立 E I2 cos
得 E 4 r 2 cos
对于功率线密度为 k 瓦／米，发光效率为 流明／瓦 的线光源，在距它 r 米的物体表面，照度为
光源功率为 即可推出
p kL
kL E cos 2 4 r
l l
于是我们可以得到 至此，我们已分别求得了
如果把整个线光源划成个相等的微小区间，则由 上述分析，第个微小区间的点发出的光线经抛物 面反射，如果能恰好射到B点（或者C点），那么 在B点的照度为
至此，我们已分别求得了E直 E反 于是我们可以得到
ni kL kL E E直 E反 ( ) cos 2 2 4 r 4m r
(2)
P E cos 2 4 r
② 微元法将线光源转化为点光源 对于线光源来说，我们利用微元法的 思想，将其分为若干小段（△l），每 一段可视为一个点光源，各自独立向四 周辐射光能。而在测试屏上的任意一受 光点的照度等于各点光源在此处的照度 代数和。这样我们就把对线光源的讨论 转化成了对点光源的讨论。
⑤求得长度的优化解
通过条件，建立线光源长度的优化模型：
min p kL EB EB直 EB反 2 E0 s.t E E E E C 0 C反 C直
代入照度额定值(1勒克斯)、高压毛细汞灯和 卤素灯的参数，得到以下结果：
发光效 率 （流明/ 瓦） 功率线 密度 （瓦/毫 米） 线光源 的长度 （毫米 ）
设反射点N的坐标为（x，y，z），由上文的证明 可知，在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对 称轴相交，且交点G的坐标为（0，y+c，0）。又已 知点B的坐标为（-1.3，25.015，0），点D的坐标 为（t，0.015，0）。经过分析，知道N点必须满 足以下三个条件：
1）NG是∠BND的角平分线，即： ∠BNG= ∠DNG cos ∠BNG =cos ∠DNG
BN GN GN DN BN GN GN DN
( x 1.3, y 25.015, z) ( x, c, z) ( x 1.3)2 ( y 25.015)2 z2 x2 c2 z2
（3）
( x, c, z) ( x t, y 0.015, z) x2 c2 z 2 ( x t)2 ( y 0.015)2 z 2
分析:
由于该线光源照射到测试屏上，有
两种途径：直射和反射。因此我们 在考虑某点的光强时，必须同时考 虑两种情况。 现在我们还需解决的几个关键问题 是如何度量光强，光强的额定值为 多少，如何建立起功率与光强的关 系。
假设
1、 光在反射时及整个传播过程中，能量均无 损耗。 2、 只计此线光源的长度，其体积忽略不计。
但实际上我们并不关心N点的具体坐标值，而看重的 是线光源上每一点能发出多少光线经抛物面反射后照 到B或C点。由于光源发出的光能否反射受灯反射面几 何尺寸大小的限制，并且B、C点的位置相对灯而言是 处在斜前方，所以，N点的位置并不具有对称性。对于 线光源上不同的点，与其对应的N点数目也不同。但在 线光源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N点 数目相同。即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物 面反射后恰好照射到B点（或C点）。
然后代入
x 0 z 0
得到交点坐标为 （0，y0+c，0）
，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
将开口半径及深度等数据代入（1）式，得出焦 距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入,y=0.015,推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
建立模型
（1）计算线光源长度 首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点， 所用方法及运算过程完全类似。
表 中 为 点 光 源 的 坐 标 。
0.0028 0.0030
t x
0.0032
0.0034 0.0036 0.0038 0.0040 0.0042 0.0044 0.0046
4
4 4 4 4 4 4 4
5
5 6 5 5 5 5 5
-0.0032
-0.0034 -0.0036 -0.0038 -0.0040 -0.0042 -0.0044 -0.0046
材料
B点照度 （勒克 斯）
C点照度 （勒克 斯）
高压毛 细汞灯
卤素灯
50
30
30
20
2.0121
2.1267
1.3677
1.5122
4． 2
7． 9
（2） 反射光亮区的绘制
首先我们称光能照射到的区域为亮区。我们以 常用的高压毛细汞灯为例（即 = 4.2mm），来 绘制出测试屏上反射光的亮区。
亮区图的绘制步骤：
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏， 屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。 在屏上过A点引出一条与地面相平行的 直线，在该直线A点的同侧取B点和C点， 使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不 小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只 须考虑一次反射）。
我们需要解决的是： （1） 满足该设计规范的条件下，计算 线光源长度，使线光源的功率最小。 （2） 得到的线光源长度，在有标尺的 坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。
③ 求直射光的强度 线光源上任一点光源D直射到测试屏上B点 处有且只有一条光线。因为D发出的光是以 球面波的形式向空间传播的，设该点到B点 的半径为r，则在B点处的波面面积为
S 4 r
2
据（2）式，可得任意一点光源直射到B点时 该点的照度为：
k l k l e直 cos cos 2 S 4 r
线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上 一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。我 们通过如下方式产生线光源反射光的亮区：
1） 在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源; 2） 在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点； 3） 对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光 的方向向量及其法线方向向量； 4） 通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射 光方向向量； 5） 通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光 的解析式，进而求出反射光在测试屏上的投影坐标， 并在此处描点。 其中，由入射光方向向量及其法线方向向量计算反射 光方向向量具体过程如下：
词汇:
1、线光源——宽度与其长度相比小得多
的发光体。 2、光通量 ——光源在单位时间内辐射出 的光能，用国际规定的眼（对光适应的 眼）的灵敏度来估定。 3、发光效率——光源每消耗1瓦特功率可 辐射出的光通量，又叫光效。 4、照度——单位面积所接受的光通量， 单位为勒克斯。
分析:
首先解决本问题的一个难点：由 于问题讨论的主要对象是线光源， 而线光源处理起来不太容易，因此 想到用微元法将线光源划分为若干 小段（微元），每一段可视为一个 点光源。这样就将线光源的问题转 化为了点光源的叠加问题。
3、 此线光源均匀分布，各点同性。且任意一 点向整个空间各个方向均匀辐射能量。
假设
4、 光强额定值为1勒克斯 5、 不考虑光的干涉、衍射等现象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 6、 光强在某点叠加时，可直接取其 代数和。 7、 只考虑一次反射。
变量定义（符号）
c
E
p
焦准距 （m ） 线光源的功率 （W ） 光通量 （lm ——流明 ） 发光效率 （lm/W ） 照度 （lx(lm/m2) ——勒克斯
主讲：黄先玖
MCM2002年A题
车灯线光源的优化设计
问题 ：
汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，
其对称轴水平地指向正前方，并已知其 开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。 经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的 水平方向上，对称地放置一定长度的均 匀分布的线光源。要求在某一设计规范 标准下确定线光源的长度。该设计规范 可简单描述如下：
（ lx=1 lm/m2） ）
E0 k
L
照度额定值 （ lx(lm/m2) ） 发光功率线密度 （W/m ） 线光源长度 （m ）
模型的建立
首先建立如图坐标系：
结论:在旋转抛物面上，每个反射点 的法线都与对称轴相交。 证明:从上图，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线
(1)
2 x 2cy z0
c 0
绕轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为 2 2
z x 2cy
设(x0,y0,z0)为此抛物面上任意一点，求得过此点 的切面方程为 2x0 x x0 2c y y0 2z0 z z0 0
进而得法线方程为 联立对称轴方程
x x0 y y0 z z0 x0 c z0
0
0 0 0
0
0 0 0
t的取值
到B的反射光的条 数
到C的反射光的条 数
t的取值
到B的反射光的条 数
到C的反射光的条 数
0.0022
0.0024 0.0026
4
4 4 4 4
6
5 5 6 6
-0.0022
-0.0024 -0.0026 -0.0028 -0.0030
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
2）点G、B、N、D四点共面，所以：
BN DN GN 0
x 1.3 x x t y 25.015 z c y 0.015 z 0 z
（4）
3）点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：
x z 2cy
2 2
（5）
联立方程（3）、（4）、（5），即可求解出与线光 源上一点D对应的所有的反射点N。