自旋关联测量和Bell不等式

四、Bell不等式



Bell指出，基于Einstein的定域性原理可推出与量子力学预 言所矛盾的关于自旋关联测量的不等式，从而可在实验上 验证之。有人认为Bell不等式是二十世纪六十年代至今最 重要的量子力学理论发展。 a) 基本模型：尽管Sx和Sz不能同时测量，但对大量的自 旋1/2粒子，其中一部分具有如下特性：若测Sz，必有 Sz+，若测Sx,必有Sx-（客观实在）。我们称这种粒子类 型为（z+,x-）。自旋单态有各25% 的4种粒子对{粒子1， 粒子2}：{(z+,x-), (z-,x+)}; {(z+,x+), (z-,x-)}; {(z-,x+); (z+,x)}; {(z-,x-), (z+,x+)} 这种分析隐含有一重要假定，即A的测量结果与B测量无 关。因此此模型已将Einstein局域性原理（及隐参数）考 虑在内。
BA
j
B

对QA的测量值
AB
Q trAB ( ABQ) AB QA I B AB i i QA j
ij
AB i i QA I B j
i j
j
AB
j
AB
i QA j
ij
j

AB i
i QA j

五、贝尔定理不成立的几种可能


1）测量并不真正独立（已可排除） 2）瞬时作用（波恩量子势理论：但不符合相对论） 3）波尔正确 三层理论？1)隐参数，2)量子(波粒二象性)，3)宏观（粒 子、波） 贝尔不等式有误区？定域性原理===> Bell不等式？ 实验有漏洞：探测效率不够？


对量子力学描述微观现象的主要不同看法




1）哥本哈根诠释(Bohr, Heisenberg, Pauli)：测不准原理、 互补性原理 互补性原理：波动与粒子描述是两个理想的经典概念，每 一个概念都有一个有限的适用范围。在特定的物理现象的 实验探讨中，辐射和实物均可展现其波动性或粒子性。但 这两种理论描绘中的任何单独一个，都不能对所涉及的现 Fra Baidu bibliotek给出完整的说明。 (早期海森堡：波动力学只不过是一个有用的数学工具 Bohr等：坚持Born的波函数统计诠释，即把微观粒子呈现 的波动性理解为“概率波” 深层次的哲学思想？哥本哈根解释：nothing is real until measured no elemental phenomenon is a real phenomenon until it is a measured phenomenon （不猜 想无法观测验证的“真实过程”）
三、Einstein定域性原理（EPR佯谬）
Einstein等反对以上关于自旋关联测量的解释,认为： Locality Principle: The real factual situation of the system S2 is independent of what is done with the system S1, which is spatially separated from the former. 量子力学理 论是不自洽的（+波函数塌缩）(上述自旋测量就违反了定域 性要求) “If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity. 量子力学对于物理实在的描述是不 完备的 量子力学的几率解释是导致上述怪异结果的原因，在找出 隐参数后或加入其它考虑后可将量子理论完善。


凝聚态物理发现的“基本粒子”

石墨烯（Graphene）：无质量狄拉克费米子的“准粒子” 砷化钽(TaAs)：外尔费米子（无能耗输运/拓扑电子学、量子计算） NbSe2：马约拉纳费米子（1) 在量子计算中可用来形成稳定的比特； 2) 暗物质/中性超对称费米子-马约拉纳费米子。

磷化钼：三重简并费米子。 从数学上来说，费米子有三种：不带质量的外尔费米子、带质量 的狄拉克费米子、粒子与反粒子相同的马约拉纳费米子。 在固体材料的“宇宙”中，亿万个电子通过相互作用形成一 种决定其母体材料性质的“准粒子”，这些准粒子与基本粒 子可能会遵循相同的物理规律。
§3.10 自旋关联测量和Bell不等式
一、经典与量子物理图像的差别


经典：清晰、确定和容易理解 量子：两可的、概率的、测不准的和难以深究的（按直观 经验几乎是不可思议的 真是这样吗？） 例：1）黑体辐射、光电效应、康普顿散射；2）电子的衍 射实验波粒二象性、路径？3）SG实验：磁场方向决定 了电子自旋方向电子自旋方向在测量前无定义(没有确 定的客观实在)？测量影响客观实在？
2）Schrodinger、de Broglie

把物质归结为纯粹波动现象，不赞同Born的诠释 薛定谔猫态
3）爱因斯坦：坚持经典力学中的决定性论（基于其坚定的 客观实在哲学信念） 量子力学是: i）（几率解释）不完备的；ii）（测量导致的 波函数塌缩）不自洽的

早期的争论是思辨性和哲理性的
七、波场统一？

双缝干涉: (R. P. Feynman) A phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in the heart of quantum mechanics. We can not make the mystery go away by “explaining” how it works, we will just tell you how it works. 狄拉克：粒子波只与自身干涉；符合薛定谔的纯粹波动现 象观点；互补性原理也很有帮助。 如何发生？电子不是点粒子，而是场量子。 微观粒子是波场的元激发（量子场论/粒子物理理论）： 粒子作为波的量子 将世界看做由多场而非多点粒子作用组成使所有物理得 到统一
0
0
11 , 10/00
1 2
1 0 A (纯态)；1-1 , 0 0 A
AB

AB
0 0 A (纯态） 0 1 A 1 1 0 (纠缠态)， A 2 0 1 A
（对纠缠态子空间态的测量是不完全测量）
ij
j A i trA ( A Q A )

约化密度矩阵： A AB trB ( AB )

约化密度矩阵基本性质

厄米、迹为1，非负
A ai i

i
2
0

2 一般而言, A A (混合态)，除非是简单直积态 ai ii 对非直积态， AB A B ，称为纠缠态。




对物质世界的认识观点


还原论：真空只是舞台，粒子才是舞台上的主角 演生论：真空参与粒子建构，并决定粒子行为。粒子只是真 空运动模式的物化体现，运动模式的具体规律由真空的序(组 织方式)决定凝聚态物理的核心观念：序决定激发，真空决 定粒子
安德森在1962 年意识到超导体中的一种有能隙的元激发可 以用来解释宇宙中基本粒子的质量起源，希格斯在这基础上 于1964 年提出具有相对论性的理论，并预言希格斯玻色子 的存在。 演生论思想被越来越多的理论物理学家所接受 Frank Wilczek（Physics Today, Jan. 1998,p.11）: 真空是 具有丰富结构的介质，具有定域性和对称性的复杂准材料性 质应该通过研究凝聚态材料研究真空/粒子物理
b）三分量模型

对三非平行单位矢量，a, b, c，用(a-,b+,c+)表示测S•a结 果为“-”、测S•b结果为“+”、测S•c结果为“+”的粒子。 由于总自旋为0，其配对粒子必为(a+,b-,c-)。因此，任一 粒子必为下表中的八种粒子对立之一。这八种粒子组合相 互排斥无交叠。 N3+N4≤ (N2+N4)+(N3+N7) Bell不等式： P(a+,b+)≤ P(a+,c+)+P(c+,b+) P(a+,b+)表示测得 粒子1为a+、同时粒 子2为b+的几率
六、 Element of physical reality？

电子自旋：SG实验自相矛盾的爱因斯坦客观实在. SG实验很好地显示了狄拉克所阐述的量子力学观点：A measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured.

Skyrmion：ᴨ介子场的拓扑孤立子解
自旋量子涡旋（自旋电子学）
八、复合体系的子体系：约化密度矩阵

采用非耦合表象，(A+B)体系的任一纯量子态可表示为

AB
ai i
i
A

B
,
A
a
i i
2
1
AB

AB AB
ai a* j i
i j

二、自旋单态的关联

考虑自旋单态的双电子体系： 00
1 zz zz 2



测电子1的自旋，其向上或下的几率各为50%。但若该自 旋向上(过滤)，则电子2的自旋必向下(态的要求) 若电子对分开过程不受作用，该关联在它们远离时仍成立： A测量粒子1的自旋后可预言B的测量结果；但A若不做测 量，则B的结果则是50%Sz↑或Sz↓ 该关联可进一步表示为： ①若A测Sz，B得50% Sx↑或Sx↓ ②A测Sx,则B的Sx结果与A的结果有100%关联。 ③A不测，则B有Sx↑和Sx↓各50%几率 即B的测量结果依赖于A的测量
AB
AB AB
ai a* j i
i j
A

BA
j
B

A AB trB ( AB )

作业: 3.28

周五：习题课
C）Bell不等式与量子力学的矛盾

对自旋单态,若粒子1为a+(1/2几率),则粒子2为a-, 故 P(a ˆ) ( 1 ) cos 2 [ ( ab ) ] ( 1 ) sin 2.( ab ) ˆ , b
2 2 2 2

Bell不等式（P(a+,b+)≤P(a+,c+)+P(c+,b+)）变为： 上式常不成立，即量子力学与Bell不等式相冲突。 各种几率可测，可用实验验证。 实验证明量子力学是正确的！