妙用整体思想求整式的值

“整体思想”帮大忙

在进行整式的加减时，有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答，此时若经过适当变形，利用“整体思想”，可使问题迎刃而解，轻松取胜.

一、整体代入

例1 已知式子6232+-y y 的值为8，那么12

32+-y y 的值是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：本题经过变形，把y y -22

3作为一个整体代入即可求解，简捷准确.应注意审清题意，注意平时多积累，真正理解“整体思想”. 解：由题意可得6232+-y y =8，则2232

=-y y ，即.1232=-y y 所以12

32+-y y =1+1=2.故选（B ）. 二、整体合并

例2 计算：)1()1(15322x x x x x -+-++--.

分析：本题将2

1x x +-当作一个整体，恰好合并为0，在此切实注意符号变化.

解：原式=322)1()1(15x x x x x -+-++--=.153x - 三、整体转化

例 3 当3-=x 时，式子535-++cx bx ax 的值是7，那么当3=x 时，此式子的值是 .

分析：本题利用m 的奇次幂与（m -）的奇次幂互为相反数来求解.注意将cx bx ax ++35作为一个整体来转化求值.

解：当3-=x 时，535-++cx bx ax =7，即cx bx ax ++35=12，所以当3=x 时， 所以cx bx ax ++35=－12，所以535-++cx bx ax =－12－5=－17.

四、整体替换

例4 三角形第一边长为b a 23+，第二边长是第一边长的2倍少1，第三边长是第二边长的3

2，求这个三角形的周长.

分析：由题意可设A=b a 23+，则第二边长为2A －1，第三边长为

2(32A －1），所以周长为A+2A －1+2(3

2A －1）. 解：设A=b a 23+，则这个三角形的周长为：A+2A －1+

2(32A －1）=A+2A －1+34A －3

2 =313A －35，将A=b a 23+代入313A －35，即313A －35=313(b a 23+)－35=13.3

5326-+b a 所以这个三角形的周长为13.35326-+b a

妙用整体思想求整式的值

有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。

一、直接代入

例1、如果5a b +=，那么（a +b ）2－4（a +b ）= ．

解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a 、b 的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间都有（a b +），只要把式中的a b +的值代入到要求的式子中，即可得出结果5．

（a +b ）2－4（a +b ）=52－4×5=5。

二、转化已知式后再代入

例2、已知a 2－a －4=0，求a 2－2(a 2－a+3)－2

1(a 2－a －4)－a 的值. 解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a 2－a ，可以将a 2－a －4=0转化为a 2－a=4，再把a 2－a 的值直接代入所求式即可。

a 2－2(a 2－a+3)－

2

1(a 2－a －4)－a =a 2－a －2(a 2－a+3)－2

1(a 2－a －4) =(a 2－a)－2(a 2－a)－6－2

1(a 2－a)+2 =－23(a 2－a)－4.

所以当a 2－a=4时，原式=－

2

3×4－4=－10. 三、转化所求式后再代入 例3、若236x x -=，则262x x -= ．

解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所求式是已知式的相反数的2倍．我们可作简单的变形：由236x x -=，可得236x x -=-，两边再乘以2，即得262x x -=－12．

例4、2237x x ++的值为8，则2469x x +-= ．

解析：将要求式进行转化，“凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由2469x x +-得22(37)23x x ++-=2×8－23=－7。

本题也可将已知式进行转化，由2237x x ++的值为8，得2231x x +=，两边再乘以2，得246x x +=2，于是2469x x +-=－7。

四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子

例5、已知x 2－x －1＝0，试求代数式－x 3+2x +2008的值.

解析：考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x 2＝x +1，这样由乘法的分配律可将x 3写成x 2x ＝x (x +1)＝x 2+x ，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.

因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1，

所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008

＝－x (x +1)+2x +2008

＝－x 2－x +2x +2008

＝－x 2+x +2008

＝－(x 2－x －1)+2007

＝2007.

练习：

1.已知2230a a +-=，求代数式2361a a +-的值．

2.当x=1时，34ax bx ++的值为0，求当x= －1 时，34ax bx ++的值．