解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结(学生用)

解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结
一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。

它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49
，求点M 的轨迹方程。

习题：1.（2011新课标全国理）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0-A ，B 点在直线3-=y 上，M 点满足,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。

2.（2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1-A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积等于3
1-
，求动点P 的轨迹方程。

3.（2012四川理）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且
2MBA MAB
∠=∠，设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；
y x
B A O M
4.(2012年江西)已知三点()0,0O ，()1,2-A ，()1,2B ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++ ，求曲线C 的方程；
二．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求出待定方程中的常数，即可得到轨迹方程
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。

变式：1.方程222(1)(1)|2|x y x y -+-=++表示的曲线是 （ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．线段
D ．抛物线
2.一动圆与已知圆1Q ：()1322=++y x 外切，与圆2Q ：()813-2
2=+y x 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。

三、代入法：代入法又称转移法或相关点发，即如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，而点Q 与点P 之间的坐标又可以建立某种关系，则借助点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：
①某个动点P 在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点M 随P 的变化而变化；
③在变化过程中P 和M 满足一定的规律
例3.（2011年陕西卷）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且45
MD PD =
，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
变式：1.在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P
在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
2.已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线22
1169
x y -=上的动点，求12F F P ∆的重心G 的轨迹方程。

3.抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。

4．已知(1,0),(1,4)
A B -，在平面上动点Q 满足4QA QB ⋅= ，点P 是点Q 关于直线2(4)y x =-的对称点，求动点P 的轨迹方程。

四、参数法：若动点P 的坐标()y x ,中的y x ,分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，最后消去参数，就可以得到轨迹方程。

注：用参数法求轨迹方程要注意合理选择参数，作参数的量通常是直线斜率、动点的坐标。

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例4：已知直线l 过()0,1M ，与抛物线y x 22
=交于B A ,两点，O 为坐标原点，点P 在y 轴的右侧，且满足OB OA OP 2
121+=
，求P 点的轨迹C 的方程。

1．设点A 和B 为抛物线2
4(0)y px p =>上原点O 以外的两个动点，且OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程。

五、交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去得到轨迹方程，可以说是参数法的一种变形。

例 5.（2012年辽宁理） 如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，
D 四点。

求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
变式：1.（2010广东理）已知双曲线2
212
x y -=的左、右顶点分别为21,A A ，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直
线P A 1与Q A 2交点的轨迹E 的方程
2．已知MN 是椭圆122
22=+b
y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两个端点，求直线MA 和NB 的交点P 的轨迹方程。

总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明,x y 的取值范围。

2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。