第五讲 无穷小与无穷大(专升本高数)

x3
当x
时,
1 x2
是比
4 x3
低阶的无穷小.
(2)
lim x2 9 lim(x 3) 6,
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
无穷小量与无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量
3、无穷小量与无穷大量的关系
1. 无穷小量 定义1 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.
例如 lim(1 )2 0 ( 1)2是当n 时的无穷小;
n n
n
lim 1 0 1 是当x 时的无穷小;
x x
x
lim(1 x) 0 1 x是当x 1时的无穷小.
特别地，当C=1时，则与是等价无穷小,记作 .
例 比较下列无穷小的阶数的高低：
(1)
x
时,
无穷小
1 x2
与
4 x3
.
(2) x 3时,无穷小 x2 9与x 3.
(3)x 0时,无穷小 tan2 x与x.
(4)x 0时,无穷小1 cos x与 x2 .
1
2
解
(1)
lim x2 lim x , x 4 x 4
.
lim 3 0. x x
2、无穷大量
y
1
1
y
x
o来自百度文库
x
y
y ex
x o
当x 0时,函数f (x) 1 的绝对值无限制的增大. x
当x 时,函数f (x) ex的绝对值无限制的增大.
定义2
如果当x x0 (或x )时,函数f (x)的绝对值无限增大,
则函数f (x)叫作当x x0 (或x )时的无穷大.
(2) lim 1 0, 当x 时, y 1 为无穷小.
x x 3
x3
(3) (4)
lim 2x 0, 当x 时, y 2x为无穷小.
x
lim cos x 0, 当x k 时, y cos x为无穷小.
xk
2
2
性质1
有限 个 无穷小的代数和仍是无穷小.
•••
例
1
lim(
1
n n 1 n n n 1 n
由于lim( n 1 n)
n
故 lim
1
0
n n 1 n
即lim( n 1 n) 0 n
无穷小量的比较
虽然知道两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，
但是两个无穷小的商，却出现不同的情况。例如：
x1 2x 2
x3 1
0. 1 0. 01 0. 001 … → 0 0. 2 0. 02 0. 002 … → 0 0. 001 0. 000001 0. 000000001 … → 0
例2.用无穷小的性质说明下列函数是无穷小：
(1) y 4x3 2x2 x (x 0);
(2)
y
sin 2x x2
(x
).
解 (1) 当x 0 时,x是无穷小. (推论1、推论2、性质1)
(2)
lim
x
1 x2
0,
sin 2x 1.
( 性质2 )
定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
1 lim . x x0
lim ex .
x
lim lg x .
x0
注意（1）函数是无穷大, 必须指明自变量的变化趋向. （2）无穷大是变量, 不能与很大的数混淆.
3、无穷小与无穷大的关系
定理2
在自变量的同一变化过程中,如果f (x)是无穷大 ,则 1 是无穷小; f (x)
反之,如果f (x)是无穷小,且f (x) 0,则 1 是无穷大. f (x)
x
x
当x 0时,上式左右两端的函数的极限都等于零,即
lim 0 0,
x0
lim x sin 1 0
x0
x
lim x 0.
x0
x sin 1 仍是无穷小. x
性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. (常数是有界） 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小（. 无穷小也是有界）
n
n2
2 n2
3 n2
100 n2
)
解
原式=
lim
n
1
2
3 n2
100
lim
n
5050 n2
0
思考
无限 个 无穷小的代数和仍是无穷小吗？
•••
例
1
lim(
n
n
2
2 n2
3 n2
n 1 n2 )
(n 1)(n 2)
解 原式= lim n
2 n2
lim 1 (1 1)(1 2) 1 .
n 2
n
n2
x1
注意 （1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
（2）无穷小是变量, 不能与很小的数混淆。
(3) 常数中，只有“0”可以看作无穷小.
例1 下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？
(1) y x 2; (2) y 1 ;
(3) y 2x ;
x3 (4) y cos x.
解 (1) lim(x 2) 0, 当x 2时, y x 2为无穷小. x2
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
证 lim( n 1 n) lim ( n 1 n)( n 1 n)
n
n
n1 n
lim (n 1) n lim
lim x3 0, x0 2x
lim
x0
2x x3
,
lim 2x 2. x0 x
定义1 设和都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，
且 0.
(1)如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,记作 ( );
(2)如果lim ,就说是比低阶的无穷小;
(3)如果lim C(C 0),就说与是同阶的无穷小;
反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个
函数的极限。即
lim
x x0
f (x)
A
f (x)
A (是当x
x0时的无穷小).
例 当x 时,将函数f (x) 2x 3 表示成其极限值与一个
x
无穷小之和的形式.
解
f (x) 2x 3 2 3 ,
x
x
f
(
x)
2
3 x