自由电偶极子空间各点的电势-聂中治

自由电偶极子空间各点的电势

摘 要:给出一种用分离变量法求解均匀介质球内外放有点电荷或自由偶极子等类问题电势的新方法。

关键词:电偶极子；分离变量法；拉普拉斯方程；唯一性定理；电势。

Abstract :Give an a kind of the new method that solve static electricity a problem with separation variable the way.

Key words :separate variable the way ;laplace equation ;unique axioms ;potentiality 前言：分离变量法（文献[1]）是求解静电场边值问题的基本方法,由于应用广泛,题型变化多,不容易掌握。尤其对于用分离变量法求均匀介质球内外放有点电荷或自由电偶极子这类问题的电势时,虽然大多教材中的给出了解析,但大多解法相同且不好理解。我在此演示一种求解这类问题的新思路,不仅概念清楚,容易接受,而且较为简便,且得出和题解中完全相同的结果。

以下针对例题说明：

题目： 半径为R 的均匀介质球(电容率为1ε) 中心置一自由电偶极子(其电偶极矩为p) ,球外充满了另一种介质(电容率为2ε) ,求空间各点的电势。

此题比较典型,文献[3]和文献[4]中均有详细求解,其基本思想是:空间各点的电势是由电偶极子的电势和球面上极化电荷所产生电势的叠加,前者可分析得出3

14r r p πε∙，后者满足拉普拉斯方程, 以球心为原点, p 的方向为极轴方向, 建立球坐标系,由对称性可得球内外电势表达式为：

=1φ314r r p πε∙+∑∞=0

)(cos n n n n P r a θ， r ≤R (1) =2φ314r r p πε∙+∑∞=+01

)(cos n n n n P r b θ， r ≥R (2) 根据边值关系,确定系数,可得: θεεπεεεπεθθφcos )2(2_)(4cos ),(321121211r R

p r p r +-+=, r ≤R (3) 221221121212)2(4cos 3cos )2(2_)(4cos ),(r p r p r p r εεπθθεεπεεεπεθθφ+=+-+=

, r ≥R (4)

这便是所求的电势(详细的求解过程可参考文献1)

问题的关键是:对于球内电偶极子产生电势为3

14r r p πε∙，比较容易接受，但是电偶极子在球外电势的贡献为什么也是314r r p πε∙而不是324r

r p πε∙呢，这个一般不好理解，如何寻找一种使人更容易理解又简便正确的方法呢?我经过反复琢磨,终于找到一种行之有效的方法,现在作以下介绍：

分离变量法解静电场问题的依据是唯一性定理. 而唯一性定理告诉我们:给定区域V 中的介质

(均匀分区) ,以及自由电荷分布ρ和σ,及V 边界面S 上的边界条件(φ/ S 或s n

/∂∂φ) ,则V 内的电场E 唯一的确定。

根据题意分析可知,由于球外无自由电荷分布,即ρ = 0 ,所以由唯一性定理可知球外电势满足拉普拉斯方程,即022=∇φ ,且具有轴对称性,所以方程的通解为： ),(cos )(01

2θφn n n n n n P r b r a ∑∞=++

= r ≥R 考虑到r → ∞时,φ2 →0 ,所以an = 0,

),(cos 012θφn

n n n P r b ∑∞

=+= (5) 球内电势φ1 可看做电偶极子的电势与界面束缚电荷σp 的电势φ′的迭加. 而φ′满足拉普拉斯方程022=∇φ,也具有轴对称性,所以方程的通解为 ),(cos )c (01θφn n n n n n P r

d r ∑∞=++=’

所以球内电势的通解形式为 )(cos )c (4),(01311θπεθφn n n n n n P r

d r r pr r ∑∞=+++=, r ≤R (6) 考虑到r = 0 时,φ1 有限,所以dn = 0 )(cos c 4cos )(cos )c (4),(0

3101311θπεθθπεθφn n n n n n n n n n P r r p P r d r r pr r ∑∑∞=∞=++=++= 在r = R 的边界条件为

φ1 = φ2 R

R r r ∂∂=∂∂2111φεφε 把(5) 和(6) 两式分别代入以上两式,然后比较Pn (cos θ) 的系数,可得出

n c = 0 , n b = 0 ( n ≠1)

=1b )2(4_3211εεπε+p , 1c =3

21121)2(4_)(2R p εεπεεε+- 把上式代入(5) 和(6) 式可得所求电势的解为

θεεπεεεπεθθφcos )2(2_)(4cos ),(321121211r R

p r p r +-+=, r ≤R (7) 221221121212)2(4cos 3cos )2(2_)(4cos ),(r p r p r p r εεπθθεεπεεεπεθθφ+=+-+=

, r ≥R (8) 比较(3) 和(7) , (4) 和(8) 可看出两种解法结果完全相同.

利用科学计算与模拟平台对（7），（8）进行作图：（蓝色是球内，红色指的是球外）

源程序：

void demoApp::RenderScene(int sceneIndex)

{

title.Show(83, 0, 55, false);// 在(0,0,0)处显示汉字内容，不可移动

static Point3f p[101][101],p1[101][101],q[3], s[2];

static Color4f color={0.6,1.0,1.0,1},color1={0.2,0.8,0.9,0.8};

Orient direct = {0.0f, 90.0f};

int i,j;

float a,b,c;

double u,n;

s[0].x=0; s[0].y=0; s[0].z=-40;

s[1].x=-80; s[1].y=0; s[1].z=-40;

q[0].x=0; q[0].y=80; q[0].z=-40;

q[1].x=80; q[1].y=0; q[1].z=-40;

q[2].x=0; q[2].y=0; q[2].z=80;

for(i=0;i<101;i++) for(j=0;j<101;j++)

{ a=i*3.141592/100;

b=j*3.141592/50;

u=0.1+15*(pow(4*3.14*V*pow(P_radius,2),-1)*P_omega*cos(a)+P_radius*P_omega*cos(a)* (V-M)/(2*3.14*V*(V+2*M)));

p[i][j].x=u*sin(a)*cos(b);

p[i][j].y=u*sin(a)*sin(b);

p[i][j].z=-40+u*cos(a);

n=0.1+300*P_omega*cos(a)*pow(P_radius,-2)/(4*3.14*(V+2*M));

p1[i][j].x=n*sin(a)*cos(b);

p1[i][j].y=n*sin(a)*sin(b);

p1[i][j].z=-40+n*cos(a);

}

glt::EnableLight();

draw::Arrow3D(s[0], q[0], 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);

draw::Arrow3D(s[1], q[1], 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);

draw::Arrow3D(s[0], q[2], 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);

if(GetCheck(1))

draw::SurfaceWithNormals(101,101, p[0], color);

else

draw::SurfaceWithNormals(101,101, p1[0], cRED);

}

参考文献:

[1] 数学物理方法与特殊函数华中科技大学李元杰编著 2009

[2] 高等数学（第五版）同济大学应用数学系主编

[3] 电动力学题解[M] . 林璇英等.北京:科学出版社,1999.

[4] 电动力学解题指导[M] . 王雪君. 北京:北京师范大学出版社,1998.