微积分第一章 函数 习题及答案

第一章 函数
一、填空
1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。

2、设()1
11>≤⎩⎨
⎧=x x x x f ，则()()x
e f x f +∙1sin = 。

3、7
1
2arcsin
42-+-=
x x y 的定义域为 。

4、()x
x f x f 2
12=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛- ，则()x f = 。

5、()001
<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x x
x x f ，则()[]=x f f 。

6、已知
()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。

7、设函数()x f 满足关系式：()()x
e x
f x f 3121=--+，则函数()x f = 。

8、已知()[]()2
sin
,cos 1x
x x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。

9、已知()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3
12103
3132x x x x x x f x
，则其反函数()x f 1-= 。

10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。

二、选择
1、函数()x
x f 3=，则()y x f +=（ ）
A 、()()y f x f
B 、()x f 2
C 、()x f
D 、()y f
2、若
()x f 是
（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。

A 、()
3
x f B 、()[]3
x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数
()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x
x f 单调减少，则有（ ）
A 、()()()b f a f b a f +<+
B 、()()()
b
a b f a f b a f ++<
+
C 、()()()b f a f b a f +>+
D 、()()()
b
a b f a f b a f ++>
+
4、设函数()u f 的定义域为10<<u ，则()x f ln 的定义域为（ ） A 、（0 ，1） B 、（1 ，a ） C 、（0 ，e ） D 、（1 ，e ）
5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为（ ） A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数
6、设函数
()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是（ ）
A 、偶函数
B 、无界函数
C 、周期函数
D 、单调函数 7、函数()()2
212sin ---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（ ）
A 、（-1 ，0）
B 、（0 ，1）
C 、（1，2）
D 、（2 ，3）
8、若在（-∞，+∞）内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在（∞，+∞）内（ ）
A 、单调增加
B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算
１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］（a >０），求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。

２、已知()⎩⎨⎧≤<≤≤=+2121012x x x x x ϕ ，求()x ϕ及其定义域。

３、设()⎩⎨
⎧>+≤-=02
2x x x x x g ，()⎩⎨⎧≥-<=0
02
x x x x x f ，求()[]x f g
４、设()x f 是（－a ，a ）上是奇函数，已知0≥x 时，()()()00,==ϕϕx x f ，试求：在（－a ，０）上()=x f ？
四、应用题
１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。

２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。

３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设()x
c
x bf x af =⎪⎭⎫
⎝⎛+1 ，其中c b a ,,为常数，且b a ≠，试证：()()x f x f -=。

应用实例
生小兔问题
兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？
解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。

如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。

乎有些繁和苯，且容易出错。

有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。

若记n r 为第n 月的小兔对数，则我们发现的规律为
,4,3,,1,11221=+===--n r r r r r n n n (1)
用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。

交通路口的红绿灯模型
问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.
分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。

通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.
假设：
（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.
（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.
（3）所有的车辆长度相同，为L 米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D 米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T 秒.
对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿
灯又转为红灯时仍不能通过路口.
我们用X 轴表示车辆行驶的道路.原点O 表示交通灯的位置，X 轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮为起始时刻.
于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式
2/)(21at t S =来描述它，其中)(1t S 为t 时刻汽车在X 轴上的位置，a 是汽车起动时的加
速度.对于灯前的第n 辆车，则有公式2/)()0()(20t t a S t S n n -+=，其中)0(n S 是起动前汽车的位置，0t 是该车起动的时刻。

由假设（3）~（5）可知，))(1()0(D L n S n +--=，
T n t n )1(-=.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为 *v 米/秒.并假设绿
灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的时间是n n t a v t +=/**.
由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是
⎪⎩⎪
⎨⎧≤-++<≤-+<≤=t t t t v a v S t t t t t a S t t S t S n n
n n n n n n *0*2**20,)(2/)0(,2/)()0(0,
)0()(
对于模型的参数值，我们取L =5米 ，D =2米 ，T =1秒.在城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米/时，它折合1.11*=v 米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。

这时可以算出加速度应为2.6米/秒2
，保守一些取汽车的加速度为a =米/秒2
. 5.5/*=a v 秒.
根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示
绿灯亮至15秒汽车的位置
从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米。

而第九辆车还距交通灯9.1米不能通过.
经济市场中商品交换模型
1. 市场
个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。

一个简单的交换经济就这样形成.假定有n 个贸易者群},,2,1{n N =，用n ,,2,1 表示.有m 种商品，
m ,,2,1 作为下标.每个贸易者i 带进市场的商品用),,,(2
1i m i i i ϖϖϖϖ =来表示，这里
i j ϖ是贸易者i 拥有商品j 的初始数量.我们假定每个贸易者i 具有实值效用函数i u ，以表示
他的偏好.值)(x u i 是对所有能实现的商品分配),,,(21m x x x x =定义的，当且仅当
)()(y u x u i i >时，贸易者i 较向量y 更喜欢向量x .还可假定函数i u 具有某些性质，如连续
性和凸性，即对任意的10≤≤λ，)()1()())1((y u x u y x u i i i λλλλ-+≥-+成立.
考虑一个贸易者联盟N S ⊂. S 中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守恒律
∑∑∈∈=s
i i
s
i i x ϖ
这里),,,(21i
m i i i x x x x =描述了i 的商品分布。

假定群体效用是它的成员效用的和。

则联盟
的目标是选择i x ，使群体的总效用最大，即决定i x ，使 )(max )(i s
i i x u S v ∑∈=
任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值)(S v .
2 咖啡早茶
假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人1带两个单位的咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成
)3,2,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,2(321===ϖϖϖ
假设局中人的效用函数是
},,{)(,},min{)(,),min{)(4313312421x x x x u x x x u x x x u ===
这里)(x u i 给出了工人i 所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用x 表示.
对}3,2,1{=N 的不同子集S ，可计算联盟的值)(S v .例如，如果局中人1病了，不能来工作，这对联盟}3,2{最有好处。

导出的特征函数是
0})3,2({})2,1({})3({})2({})1({=====v v v v v , 2})3,1({=v , 3})3,2,1({=v
分配集是 }0,,;3:),,{(321321321≥=++=u u u u u u u u u A 核心是 }2:),,{(31321≥+∈=u u A u u u C
哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果),,(
u u u u =位于核心中的分配x .这些集合表
方桌为什么总可以放平稳
问题 将一只四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地？
在下列假设条件下，答案是肯定的：（1）地面为连续曲面.（2）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的脚是足够长的.（3）只要有一点接触地面，就应视为已经着地，即将与地面的接触看成几何上的点接触.
现在，我们来证明这一结论. 先作如下设想：设方桌的俯视图如下图，四条腿分别在
C B A 、、
取对角线AC 初始所在的直线为x 轴，BD 所在的直线为y 轴. 当方桌绕中心O 转动时，对角线AC 与初始位置的夹角记为θ.
记C A 、两腿到地面的距离之和为)(θf ，D B 、两腿到地面距离之和为)(θg ，当地面是连续曲面时，g f 、均为θ的连续函数. 又根据（2），腿是足够长的，故三条腿总能同时着地，所以0)()(=θθg f 必成立. 现不妨设0)0(=f （即初始时刻C A 、两腿着地），而0)0(>g （否则已四腿着地）.于是，方桌问题归化为以下的数学问题：
已知)(θf 和)(θg 是θ的连续函数，0)0(=f ，0)0(>g ，且对任意θ有
0)()(=θθg f ，求证存在某一θ，使得0)()(00==θθg f .
证明 当2
π
θ=
时，AC 与BD 互换了位置，故0)2
(,0)2(=>π
πg f .取
}00,0)(|sup{0<≤==ξξθθf ，显然2
0π
θ<
. 因为f 连续，由上确界定义必有
0)(0=θf ，且对任意0>ε，又有0)(0>+εθf . 这样，由0)()(=θθg f 又可推得 0)(0=+εθg ，再根据g 的连续性及ε的任意性即可得出0)(0=θg ， 证毕.
答案
一、填空 １、()x ψ
２、x sin ３［－３，－２］⋃［２，4］ ４、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-
x x 1232
５、x ６()21arcsin x -
７、()112--+-
x x
e e
８、()212x -
９、
()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤--=-11
3231log 183131x x x x
x x x f
１０、
x w w v v u u y arcsin ,,cos ,lg 3====
二、选择
１、Ａ ２、Ｃ ３、Ａ ４、Ｄ ５、Ｄ ６、Ｂ ７、Ａ ８、Ｂ 三、计算 １、解：()u f y = 的定义域为[]a 3,0，0>a ，即：a u 30≤≤
∴（１）
、a x a a a x 230≤≤-⇒≤+≤ （２）、a x a a a x 32
3
3320≤≤⇒
≤-≤
∴
Ｄ
()[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋂-=a a a a a a g 2,2
33,2
32,
２、解：令1+=x u ，∴ 1-=u x
∴ ()()()⎩⎨
⎧≤-<-≤-≤-=2
11121
1012u u u u u ϕ ，
∴ ()()()⎩⎨
⎧≤<-≤≤-=3
2122
112x x x x x ϕ
∴ ()x ϕ的定义域为[](][]3,13,22,1=⋃
３、解： ()⎩
⎨⎧>+≤-=020
2u u u u u g
令()x f u
=
∴
()[]()()()()⎩⎨
⎧>+≤-=0
2
02x f x f x f x f x f g ，
()00≥⇔≤x x f
此时：
()x x f -=；()00<⇔>x x f ，此时：()2x x f =
∴ ()[]⎩⎨⎧<+≥+=0
2
022
x x x x x f g
４、解：设
()()()⎩
⎨⎧<≥=00x x x x x f ψϕ
，由于
()x f 是奇函数，∴
对任意x 有
()()x f x f -=-
当0>x 时，0<-x ，∴ ()()x x f -=-ψ，而()()x x f ϕ=
∴ ()()x x ϕψ-=- ，
0>x
，即：()()x x --=ϕψ
，0<x
∴
在（－a ，０）上，
()()x x f --=ϕ
四、应用题
１、解：设购买量为x 单位，则成本函数()x x C 60=，收益函数()⎩⎨
⎧>+≤=200
1000
95200100x x x x
x R
利润函数()()()⎩⎨
⎧>+≤=-=200
1000
3520040x x x x x C x R x L
２、解：设电视机的市场需求量为Ｑ台，单位价格为p 元，线性函数为：
Ｑ＝bp a -，()0,>b a
代入，
当
p ＝５００元时，Ｑ＝２０００，得Ｑ＝2000500=-b a （１） 当p ＝４５０时，Ｑ＝２４００，得 Ｑ＝2400450=-b a （２）
由（１）（２）得6000=a
，8=b
∴过且过所求需求函数为：p Q 86000-=
３、解：设每天生产该商品x 件，则每天成本为()200015+=x x C （元）
， 每天收入()x x R
20=，为了每天不亏本，则()()x C x R ≥，即：20001520+≥x x
得400≥x （件）
，即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品４００件。

五、把x 换成
x 1，代入()x
c x bf x af =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1 （１）
得()cx x bf x af =+⎪⎭
⎫
⎝⎛1 （２）
b a ≠ ，由（１）
（２）得())(122bcx x
ac
b a x f --=
∴ ()()x f bcx x
ac
b a bcx x a
c b a x f =--=+---
=-)(1)(12
222。