微积分第一章 函数 习题及答案

第一章 函数

一、填空

1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。

2、设()1

11>≤⎩⎨

⎧=x x x x f ，则()()x

e f x f +∙1sin = 。 3、7

1

2arcsin

42-+-=

x x y 的定义域为 。 4、()x

x f x f 2

12=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛- ，则()x f = 。 5、()001

<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x x

x x f ，则()[]=x f f 。

6、已知

()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。

7、设函数()x f 满足关系式：()()x

e x

f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2

sin

,cos 1x

x x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。 9、已知()⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3

12103

3132x x x x x x f x

，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。

二、选择

1、函数()x

x f 3=，则()y x f +=（ ）

A 、()()y f x f

B 、()x f 2

C 、()x f

D 、()y f

2、若

()x f 是

（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。

A 、()

3

x f B 、()[]3

x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数

()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x

x f 单调减少，则有（ ）

A 、()()()b f a f b a f +<+

B 、()()()

b

a b f a f b a f ++<

+

C 、()()()b f a f b a f +>+

D 、()()()

b

a b f a f b a f ++>

+

4、设函数()u f 的定义域为10<

5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为（ ） A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数

6、设函数

()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是（ ）

A 、偶函数

B 、无界函数

C 、周期函数

D 、单调函数 7、函数()()2

212sin ---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（ ）

A 、（-1 ，0）

B 、（0 ，1）

C 、（1，2）

D 、（2 ，3）

8、若在（-∞，+∞）内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在（∞，+∞）内（ ）

A 、单调增加

B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算

１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］（a >０），求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。

２、已知()⎩⎨⎧≤<≤≤=+2121012x x x x x ϕ ，求()x ϕ及其定义域。

３、设()⎩⎨

⎧>+≤-=02

2x x x x x g ，()⎩⎨⎧≥-<=0

02

x x x x x f ，求()[]x f g

４、设()x f 是（－a ，a ）上是奇函数，已知0≥x 时，()()()00,==ϕϕx x f ，试求：在（－a ，０）上()=x f ？

四、应用题

１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。 ２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。

３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设()x

c

x bf x af =⎪⎭⎫

⎝⎛+1 ，其中c b a ,,为常数，且b a ≠，试证：()()x f x f -=。 应用实例

生小兔问题

兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？

解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。

乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记n r 为第n 月的小兔对数，则我们发现的规律为

,4,3,,1,11221=+===--n r r r r r n n n (1)

用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。

交通路口的红绿灯模型

问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.

分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.

假设：

（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.

（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.

（3）所有的车辆长度相同，为L 米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D 米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T 秒.

对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿