高中数学 暑假(暑期)练习 集合的概念 101道练习题 有答案

高中数学暑假练习
集合的概念
试卷排列：按知识点
知识点：集合的概念
难度：中等以上
版本：适合各地版本
题型：填空题40多道，
选择题20多道，
解答题20多道，
共101道
有无答案：均有答案或解析
价格：6元，算下来每题6分钱。

页数：69页
1，则实数a 的取值范围是 A
()∞,3 B 、(]3,∞- C 、 [)∞,3 D 、R
【答案】B
【解析】本题考查集合的运算。

在数轴上作出集合A ，由A B R =知集合B 的左端点应在点A 的左
侧，所以3a ≤ 故正确答案为B
2．（本小题满分13分）若集合具有以下性质：①0,1;A A ∈∈②若,x y A ∈，则x y A -∈，且
时，1
A x
∈.则称集合是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题p ：若,x y A ∈，则必有x y A ∙∈； 命题q ：若,x y A ∈，且
，则必有y A x
∈；
【答案】（Ⅰ）有理数集是“好集”. （Ⅱ）.
（Ⅲ）命题
均为真命题..
【解析
】(I) 先假设集合是
“好集”.
因为
，
，所以
3A a B
这与
矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q 也采用同
样的方法,进行推证.
(II)根据好集的定义是“好集”，则0A ∈，然后再根据x,y 的任意性，可证明x y A +∈.
(III)本小题也是先假设p 、q 都是真命题，然后根据好集的定义进行推证..
（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”.
因为，
，所以
. 这与
矛盾 (2)
分
有理数集
是“好集”. 因为
，
,对任意的
，有
，且
时，
1
Q
x
∈.所以有理数集是“好
集”. ………………………………4分 （Ⅱ）因为集合是“好集”，所以
.若，则，即
. 所以，即. …………………………6分
（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下： (7)
分
对任意一个“好集”，任取
， 若中有0或1时，显然
. 下设均不为0，1. 由定义可知：
111,,1x A x x -∈-.所以11
1A x x
-∈-，即
()
1
1A x x ∈-.
所以 . 由（Ⅱ）可得：
，即. 同理可
得. 若
或，则显然
.若
且
，则
.
所以
. 所以
1
2A xy
∈.由（Ⅱ
）可得：11122A xy xy xy
=+∈.
所以
.综上可知，，即命题为真命题.若，且
，则1A
x
∈. 所
以
1y y A
x x
=∈，即命题为真命
题. ……………………………………13分
3．附加题（按满分5分计入总分，若总分超过满分值以满分计算） 如果集合21,A A 满足A A A =⋃21，则称（21,A A ）为集合A 的一种分拆.并规定：当且仅当21A A =时，（21,A A ）与（12,A A ）为集合A 的同一
种分拆.请计算集合{
}3,2,1=A 所有不同的分拆种数有多少种？ 【答案】共有27种不同的分拆. 【解析】
对于集合问题，空集经常被忘记，分类讨论，当1A 有0个元素时，
1A ＝φ时，再分1A 有一个元素，2个元素。

解：当1A ＝φ时，A A =2，此时只有1种分拆；
当1A 为单元素集{}
1，时，{}3,22=A 或{}3,2,1，此时有2种分拆；同理1A 为单元素集{}2或{}3各有2种分拆；
当1A 为双元素集{}2,1时，{}32=A 或}3,1{、}3,2{、}3,2,1{，此时有4种分拆；同理1A 为双元素集{}3,1或{}3,2各有4种分拆；
当1A 为A 时，2A 可取A 的任何子集，此时2A 有8种情况，故有8种分拆.
故一共有27843231=+⨯+⨯+种不同的分拆. 4
．
已知集合
A={}2430,
,11x x x x x B x x x ⎧⎫-+≤==⎨⎬--⎩
⎭
{}
2
0C x ax x b =-+>， 且(),()A B C A B C R =∅=，求, a b 的值。

【答案】b=0
9a-3=0
⎧⎨
⎩
【解析】本试题主要考查了集合的交集，并集的运算综合运用。

利用已知条件先求解A,B,C 集合，然后利用集合的运算表示出a,b 的值。

2R 2x x x
A {x |1x 3}
B :|
|0B {x |0x 1}1x 1x 1x
A B {x |0x 3}
(A B)C ,(A B)C R C C (A B){x |x 0>3}={x |ax +b>0}03ax +b 0b=09a-3=0
=≤≤=⇒≥⇒=≤≤---∴⋃=≤≤⋃⋂=φ⋃⋃=∴=⋃=<-∴-=⎧⎨
⎩或x x 和是方程x 的两根，则
解：
2R 2x x x A {x |1x 3}B :|
|0B {x |0x 1}1x 1x 1x
A B {x |0x 3}
(A B)C ,(A B)C R C C (A B){x |x 0>3}={x |ax +b>0}03ax +b 0b=09a-3=0
=≤≤=⇒≥⇒=≤≤---∴⋃=≤≤⋃⋂=φ⋃⋃=∴=⋃=<-∴-=⎧⎨
⎩或x x 和是方程x 的两根，则
5．设全集}02|},51|{,2=--∈=≤≤∈==x x R x B x N x A R U ，则图中阴影表示的集合为（ ）
A ．{－1}
B ．{2}
C ．{3，4，5}
D ．{3，4}
【答案】A
6．对于集合M 、
N
，定义{},M N x x M x N
-=∈∉且，()
()M N M N N M ⊕=--．设{}23
A tt x x ==-，(){}lg
B x y x ==-，则A B ⊕为
（ ）
A ．904x x ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
-<≤ B ．
9
04x x x ⎧⎫⎪
⎪⎨⎬
⎪⎪⎩
⎭
<-≥或C
．
904x x ⎧⎫⎪
⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
-
<≤
D ．904
x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
->≤或 【答案】B
7．设集合{|
0},{|03},1
x
A x
B x x x =<=<<-那么“x A ∈”是“x B ∈”的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
8．设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是
（ ）
A ．210><<a a 或
B ．210≥<<a a 或
C ．21≤<a
D ．21≤≤a
【答案】C 【解析】
由题q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，可知p 、q 中有且仅有一个为真命题，
i)若p 为真，q 为假，则0,12><<--a a a 且A ∉2，解得21≤<a ； ii) 若q 为真，则0,22><<--a a a ，解得2>a ，可知A ∈1，则p 为真，不符题意.
9．含有三个实数的集合可表示为{a, a
b
,1}，也可表示为{a 2,a+b ,0}，则a 2007 +b 2007 的值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．—1
D ．1± 【答案】C
【解析】100-=⇒=⇒=a b a
b 得a 2007 +b 12007-=
10．设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的
M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是
（ ）
（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 【答案】A 【解析】
当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。

由乘法原理知共有
45533=⨯⨯个映射
11．定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，
{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（ ）
A.16
B.18
C. 20
D.22 【答案】A
【解析】集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，
0804=⨯=z ，集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A.
12．已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫
=+==+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则M N= ( )
A. Φ
B. ()(){}3,0,2,0
C. []3,3-
D.
{}3,2
【答案】C
【解析】由题意得：[][]3333M N R =-=∴-，，， M N=，。

13．设f x x
→：是集合A 到集合B 的映射．若{}3,0,3A =-，
则A B =
（ ）
A ．{0}
B ．{0，3}
C ．{3}
D ．{3-，0}
【答案】B
【解析】设象的集合{0,3},{0,3}C B A B =⊆∴=。

14．设合集a A C a A U U 则集合},4,2{},5,2,1{},5,4,3,2,1{=-==的值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】
532=⇒=-a a
15．若集合121212,,(,)A A A A A A A ⋃=满足则称为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当121221,(,)(,)A A A A A A =时与为集合A 的同一分拆，则集
合123{,,}A a a a =的不同分拆的种数为（ ） A ．27 B ．26 C ．9 D ．8 【答案】A
16．集合{}2,4,6M =的真子集的个数为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】B
【解析】集合M 中有3个元素，则集合M 的真子集有7123=-，故选B 。

17．现定义一种运算;⊗当m 、n 都是正偶数或都是正奇数时，
;m n m n ⊗=+当m n 、中一个为正奇数另一个为正偶数时，,m n mn ⊗=则集合{}(,)|36,,M a b a b a N b N **=⊗=∈
∈中的元素个数是 （ ）
A ．21
B ．26
C ．31
D ．41 【答案】D
【解析】当b a ,都是正偶数或都是正奇数时，由36=⊗b a 得数组
),(b a 分别为)35,1(，)34,2(,)33,3(,…,)2,34(,)1,35(共35组；当b a ,中
一个为正奇数另一个为正偶数时，由36=⊗b a 得数组),(b a 分别为
)36,1(,)1,36(,)12,3(,)3,12(,)9,4(,)4,9(共
6组。

因此集合M 中共有
41635=+个元素。

故选D 。

18．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的取值集合是 ( )
A.{－12，0，13} B .{0,1} C.{－12，1
3} D.{0} 【答案】A
【解析】由题意，B ∈-3，3
1
=m ；B ∈2，2
1-=m ； φ=B ，0=m ，∴实数m 的取值集合是{－12，0，1
3}
19．定义：设A 是非空实数集，若A a ∈∃，使得对于A x ∈∀，都有
)(a x a x ≥≤
则称a 是A 的最大（小）值，若B 是一个不含零的非空实数集，且
0a 是B 的最大值，则（ ）
A 、当00>a 时，0
1
a 是集合{}B x x ∈1的最小值 B 、当00>a 时，
1
a 是集合{}B x x ∈1的最大值 C 、当00<a 时，－0
1
a 是集合{}B x x ∈-1的最小值 D 、当00<a 时，－0
1
a 是集合{}B x x ∈-1的最大值 【答案】D
20．集合2010x x C ⎧⎫≤⎨⎬⎩
⎭
中元素个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】C
21．设全集{}{},|(3)0,|1,U R A x x x B x x ==+<=<-则图中 阴影部分表示的集合为（ ）
A.(1,0)- B ．(3,1)-- C ． [1,0)- D ．(,1)-∞-
【答案】B
22．已知全集U =R ，集合{}212M x x =-≤-≤和{}21, 1.2N x x k k ==-=⋅⋅⋅的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
【答案】B
1题图
23．记集合{}0,1,2,3,4,5,6=T ，3124234,1,2,3,47777⎧⎫
=+++∈=⎨
⎬⎩⎭
i a a a a M a T i ，
将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2011个数是 （ ） A ．234
11017777+++ B ．2341065
7777+++
C ．23411007777+++
D ．23410667777
+++
【答案】B
24．设全集{},{|
0},|13x
U R A x B x x x ==<=<-+，则图中阴影部分表示
的集合为
（A ）}0|{>x x （B ）}13|{-<<-x x （C ）}03|{<<-x x （D ）}1|{-<x x 【答案】B
【解析】本题考查韦恩图,集合的运算,不等式的解法. 由不等式
03
x
x <+得(3)0x x +<，解得30,x -<<所以{}|30,A x x =-<<图中阴影部分表示的集合为{},|1,A B B x x =<-又所以
{}|31.A
B x x =-<<-
故选B
25．
则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．)1,(-∞
B ．（0，1）
C ．),1(+∞
D ．),1[+∞ 【答案】D
【解析】本题考查分式不等式的解法,导数的运算,真子集的含义及分类讨论的思想. 不等式
0(1)()0;1
x a
x x a x -<--<-可化为（1）当1a <时，解得1,(,1a x a <<=则M
（2）当1a =时，不等式为2(1)0;x M -<=∅，则（3）
当1a >时，解得1,(1,);x a M a <<=则
221()1()(1)(1)x x a a f x x x ----'=
=--，由22
1()1
()0(1)(1)
x x a a f x x x ----'==≥--知： 1,;1,(,1)(1);a P a P <=∅≥=-∞+∞时时综上：若M P ⊂，则1a ≥.故选D
26．已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<，
{(,)()}
P x y y f x ==，现给出下列函数：①x y a =②log a y x =③
sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ⋂=，则()f x 所
有可取的函数的编号是 （ ）
A ． ①②③④
B ．①②④
C ．①②
D ．④
【答案】B 【解析】
考点：补集及其运算；交集及其运算． 专题：计算题；数形结合．
分析：利用补集的定义求出∁uM ，由P∩∁uM=P ，得到P ⊆∁uM ，故P
中的函数f （x ）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．
解答：
解：∵∁uM={（x ，y ）||x|+|y|≥a}，0＜a ＜1时，P∩∁uM=P ，∴P={（x ，y ）y=f （x ）}⊆∁uM ，
如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a （-a≤x≤a ）的上方．
①中，x ∈R ，y ＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取． ②中，x ＞0，y=log a x ∈R ，满足||x|+|y|≥a，故②可取．
③中的函数不满足条件，如 x=0，a=π4 时，y=2
，不满足|x|+|y|≥a．
④中x ∈R ，-1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取． 故选B ．
点评：本题考查补集的定义和运算，交集的定义和运算，求出∁uM={（x ，y ）||x|+|y|≥a}，是解题的关键．
27．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，
使得集合{(,)|}x y r A <⊆，则称A 为一个开集.给出
下列集合：
①22
+=；②{(,)|20}
{(,)|1}
x y x y
x y x y
+<；
++≥；③{(,)|6}
x y x y
④
22
{(,)|0(1}
<+<. 其中是开集的是（）x y x y
A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】D
28．已知集合{0,1}
⊆，则a等于
A=,{1,0,3}
=-+，且A B
B a
（A）1
（B）0
（C）2-
（D）3-
【答案】C
【解析】
考点：集合关系中的参数取值问题．
分析：由题设条件A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且A⊆B，根据集合的包含关系知，应有a+3=1，由此解出a的值选出正确选项解：∵集合A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且A⊆B，
∴a+3=1
∴a=-2
故选C
29．设集合A={,,,,}a b c d e ，B A ⊆，已知a ∈B ,且B 中含有3个元素，则集合B 有( )
A ．A 24 个
B ．
C 24 个 C ．A 35 个
D ．C 35 个
【答案】B
【解析】本题考查集合和组合数的基本知识。

由题意知，B 中含有元素a 和,,,b c d e 中的两个。

故选B 。

30．集合3{|40}M x x x =-=,则M 的子集个数为 （ ） A ． 2 B ． 3 C ．
4
D ．8
【答案】D
【解析】本题考查的是集合的子集个数问题。

由条件可知，
{}2,-2,0=M ，所以M 的子集个数为 823=。

应选D 。

31．设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：
①若1,m =则{}1S =；②若1,2
m =-则
114
n ≤≤； ③若1,2n =则
0m ≤≤． 其中正确命题的是（ ）
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③ 【答案】D
【解析】由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x ∈S 时，有x 2∈S 知，符合定义的参数m 的值一定大于等于-1，符合条件的n 的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n ∈S 时，有n 2∈S 即n 2≤n，下面对各个命题进行判断：对于①m=1，m 2=1∈S.
故必有21
n n n ⎧≤⎨≥⎩,可得n=1，S={1}.
②12m =-，214m =∈S,则21
4
n n
n
⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,解之可得1
14n ≤≤. 对于③若12n =，则22121
2
m m m m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎩,
解之可得02m -≤≤.所以正确命题有3
个．
32
．已知{{},sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q
A 、∅
B 、{}0
C 、{}1,0- D
、{- 【答案】C
【解析
】{1,2},[1,1],{1,0}P Q P Q =-=-∴=-.
33．下列说法正确的个数是（ ） ①空集是任何集合的真子集；
②函数1()3x f x +=是指数函数；
③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若A B B =，则A B A =
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 【答案】C 【解析】
试题分析：因为空集不是它本身的真子集，故①错；函数1()3x f x +=是指数型的函数，故②错；例如函数()0f x =()()1,1x ∈-，
()[]()01,1f x x =∈-，…故③正确；当A B B =时，有A B ⊆，所以有A
B A =，故④正确，所以正确答案为C.
考点：1.空集；2.指数函数；3.奇函数、偶函数；4.集合的运算.
34．已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 （ ）
A.M N ⊆
B.N M =
C.{}2,3M N =
D.()1,4M N = 【答案】C 【解析】
试题分析：{}{}142,3N x Z x =∈<<=，{}2,3M N N ∴==，故C 选项正确. 考点：1.集合间的包含关系；2.集合间的基本运算
35．下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A.∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ．
B.∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．
C.∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．
D.∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 【答案】C 【解析】
试题分析：选项A 中，AB 是点的集合，所以AB α⊆，故A 错误； 选项B 中，a 是点的集合，所以a α⊆，a β⊆，故B 错误； 选项C 中，点A 是直线a 上的一点，且直线a 是平面α内，所以
A α∈，故C 正确；
选项D 中，点A 不在直线a 上，但是点A 可以在平面α内，故D 错误； 故答案为: C
考点：1.元素与集合之间的关系；2.集合之间的关系；3.空间中点、线、面的位置关系.
36．对于任意实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数，如
[1.1]1,[ 2.1]3=-=-.定义在R 上的函数()[2][4][8]f x x x x =++，若
{}10),(<<==x x f y y A ，
则A 中元素的最大值与最小值之和为（ ） A ．11 B ．12 C ．14 D ．15 【答案】A 【解析】
试题分析：当8
10<<x 时，0]2[=x ，0]4[=x ，0]8[=x ； 当18
1<<x 时，1]2[=x ，3]4[=x ，7]8[=x ；
∴A 中元素的最大值与最小值之和为11137=++，选A.
考点：集合元素的性质，新定义题型.
37．设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：
①若1,m =则{}1S =；②若1,2
m =-则
114
n ≤≤； ③若1,2n =
则
02
m -
≤≤． 其中正确命题的是 ( )
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③ 【答案】D 【解析】
试题分析：①若1,m =则2211n x n x ≤≤⇒≤≤，根据“当x S ∈时，有
2x S ∈”可得1112≤≤⇒⎩⎨⎧≤≥n n
n n 即1=n ，所以正确；②若1
,2m =-则
⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤≥⇒≤≤-2
202121n x n n x 或⎪⎩
⎪⎨⎧≤
≤<≤41
0214
1
2x n ，根据题意可得
1414
12
≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧
≤≥
n n n n ，所以正确；③若
1
,2
n =
则
02
221212≤≤-⇒≤≤⇒≤
≤m m m x m ，所以正确. 考点：集合的概念
38．已知集合,={|U U R A x y C A ==集合则=（ ） A ．}10|{<≤x x B ．}10|{≥<x x x 或 C ．}1|{≥x x D ．}0|{<x x 【答案】A. 【解析】
试题分析：由11
10,
0,(1)0,0x x x x x
x
--≥≥⇔-≥≠.所以0x <或1x ≥.所以u C A ={01}x x ≤<.本题的解题关键是集合A 里的元素是x 的值，这也是本题易错点.
考点：1.集合的描述法的表示.2.补集的概念.
39．已知集合{}1,2A =，{}10B x mx =-=，若B B A = ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为（ ）
A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭
B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭
C ．11,0,2⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
D ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭
【答案】C 【解析】
试题分析：当0=m 时，∅=B ，B B A =⋂；当0≠m 时，m
x 1
=
，要B B A =⋂，则
11=m 或21
=m
，即1=m 或2=m ，选C. 考点：集合元素的特征，交集的定义.
40．下列说法中，正确的是（ ）
A.任何一个集合必有两个子集
B.若φφ中至少有一个
则B A B A ,,=⋂ C.任何集合必有一个真子集
D.若S 为全集，S B A S B A ===⋂则且, 【答案】D 【解析】
试题分析：∅只有一个子集，它本身，所以不选A ；B 选项只要举个例子如M={1，2},N={3，4},且M ∩N=∅，但M,N 都不是空集，所以不选B ；空集没有真子集，所以不选C ；排除了A,B,C 只能选D.
考点：1.集合的子集，真子集的概念2.集合的交集的概念.
41．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时, m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个 【答案】B 【解析】
试题分析：由于两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时, m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※n =mn 所以{(,)M a b a =※12,,}
b a b **=∈∈N N
中当,a b 都为偶数时有（2,10），（10,2），（4,8），（8,4），（6，6）共5个元素；当,a b 都是奇数时有（1,11），（11,1），（3,9），（9,3），（5,7），（7,5）；共有6个元素；当,a b 为一奇一偶时有（1,12），（12,1），（3,4），（4,3）.综上共有15个元素. 考点：1.新定义的问题.2.因数分解.3.集合的含义.
42．已知M,N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若,I N C M φ=则M
N =（ ）
A.M
B.N
C.I
D.φ 【答案】A 【解析】
试题分析：因为,I N C M φ=所以N M Ü，故M N M =，选A.
考点：1、集合的关系；2、集合的运算.
43．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ）
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1 【答案】C 【解析】
试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-.
考点：集合的特征及集合的基本运算.
44．设集合}1,0,1
M，}
=
{-
a
N=则使M∩N＝N成立的a的值是
{2a
,
（）
A．1 B．0 C．－1 D．1或－1
【答案】C
【解析】
试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1
≠⇒≠≠.
a a a a
又因为M∩N＝N，所以1
a=-.
考点：集合的特征及集合的基本运算.
45．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( ) (A)4 (B)2 (C)0 (D)0或4
【答案】A
【解析】因a=0时,方程ax2+ax+1=0无解,
这时集合A为空集,故排除C、D.
,
当a=4时,方程4x2+4x+1=0只有一个解1
2
这时集合A只有一个元素,故选A.
46．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即[]{}
5
=+∈，0,1,2,3,4
k n k n Z
k=．给出如下四个结论：
①[]20133∈； ②[]22-∈；
③[][][][][]01234Z =∪∪∪∪；
④当且仅当“[]0a b -∈”整数,a b 属于同一“类”． 其中，正确结论的个数为．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C 【解析】
试题分析：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对； ②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3∉[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a-b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”．故④对． ∴正确结论的个数是3．故选C ．. 考点：新定义.
47．已知函数)(x f 是R 上的增函数，)1,3(),1,0(B A -是其图象上的两点，那么
1)1(<+x f 的解集的补集是（
）
A 、）（2,1-
B 、）（4,1
C 、)4[]1,-∞+⋃∞，（
D 、)2[]1,-∞+⋃-∞，（ 【答案】D
试题分析：原函数()f x 经过)1,3(),1,0(B A -，则(1)f x +是由()f x 左移一个单位，则经过(1,1),(2,1)--，而|(1)|f x +经过(1,1),(2,1)
-，所以1)1(<+x f 的解集为(1,2)-，则其补集为)2[]1,-∞+⋃-∞，（.
考点：1函数的单调性；2.补集的应用. 48
．
记
集
合
{}
22(,)|16A x y x y =+≤和集合
{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在
区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．
12π B ．1
12π
- C ．14 D ．24ππ- 【答案】A 【解析】
试题分析：依题意可得1Ω为圆心在原点，半径为4的圆面．2Ω是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域1Ω内
任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为21
44
1242P ππ
⨯⨯==
⨯.故选A.
考点：1.集合的概念.2.概率问题.
49．非负整数a ，b 满足|a －b|+ab=1，记集合M={(a ，b)}，则M 的元素的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】∵a ，b 是非负整数
∴|a －b|≥0的整数，ab ≥0的整数． 又∵|a －b|+ab=1，
∴1－ab=|a －b|≥0的整数． ∴0≤ab ≤1的整数．
取a=0，b=1；a=1，b=0；a=1，b=1皆满足|a －b|+ab=1， ∴集合M={(a ，b)}的元素的个数为3个．
50．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则实数k 的值是 ( )
A.-2
B.-2或-1
C.2或-1
D.±2或-1 【答案】D 【解析】
试题分析：要使得一个集合有且仅有2个子集，则须使集合有且
仅有1个元素.因此方程
2
(2)210k x kx +++=要么有且仅有一个实根，即20,2;k k +==-要
么有且仅有两个相等的实根.由2(2)4(2)0k k ∆=-+=得1k =-或 2.k =所以选D.
考点：集合的子集个数，方程的根与系数关系
51．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足
112a b c
+=，则称a 、
b 、
c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、b 、c 是等差的.若
集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好
集”.若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则 （1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 【解析】
试题分析：因为若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则
112a b c
+=且a + c = 2b ，则2,4a b c b =-=，故满足条件的“好
集”为形如{}2,,4b b b -(b 0)≠的形式，则201442014b -≤≤，解得
503503b -≤≤，且b 0≠，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好
集” P 的个数为1006个，且P 中元素的最大值为2012． 考点：推理.
52．已知等比数列{}n a 的首项为43
，公比为13
-，其前n 项和记为S ，
又设135
21,,,
,
248
2n n
n B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
(),2n N n *
∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则2201S T +≥的最小正整数n 为 ． 【答案】45 【解析】
试题分析：由题意有41
[1()]
13
31()131()3
n n S --==----，对于和T ，我们首先
把n B 中的元素按从小到大顺序排列，当4n ≥时，
12123
715322
16284n
n n n ---<<<<<<，对于n B 中的任一元素21
2
k k -(4)k ≥，比它大的有1k -个，这1k -个元素组成的集合的所有子集有12k -个，把
212k k -加进这些子集形成新的集合，每个都是以21
2
k
k -为最小元素的n B 的子集，而最小元素为
21
2k k -的n B 的子集也只有这些，故在T 中212k k -出现1
2k -次，所以
12
31212371532224222
16284
n n n
n n n T -----=
⨯+⨯++
⨯+⨯+⨯+2123
7
22
2
n n --=
+++ 4+212
n -=(4)n ≥，3n =时，4T =适合上式，2n =时，74T =．当2n =，
22014
S T +≥不成立，当
3
n ≥时，
221121()1()201433n n S T n n +=--+-=--≥，21
2014()3
n n ≥+-，由于
1()13
n
-
<， 2441936=，2452025=，所以45n ≥，最小的n 为45．
考点：子集的个数，数列的和．
53．对于集合1210{,,,}A a a a =⋅⋅⋅，定义集合,110}{i j x a a i j S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若1210,,,a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．
【答案】17 【解析】
试题分析：不妨设1210a a a <<
<，由题意，集合S 中最小项为
1212a a a d +=+，最大项为9101217a a a d +=+，对任意的(117)i i ≤≤，如
果9i ≤，则可取1112()a id a a id +=++1a =+1i a +
S ∈，若1017i ≤≤，可取11110829(9)i a id a d a i d a a -+=+++-=+，显然由
于1017i ≤≤，有289i ≤-≤，即12a id S +∈，所以()17S A =. 考点：集合的元素.
54．若自然数n 使得作加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为________． 【答案】6
【解析】给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A ＝{0,1,2,3}集合A 中的数字和为6. 55．设a ，b 都是非零实数，y ＝a a ＋b b ＋ab
ab
可能取的值组成的集合是________． 【答案】{3，－1} 【解析】分四种情况：
(1)a ＞0且b ＞0；(2)a ＞0且b ＜0；(3)a ＜0且b ＞0；
(4)a ＜0且b ＜0，讨论得y ＝3或y ＝－1.
56．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，
T V Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，有四个命题：①,T V
中至少有一个关于乘法是封闭的；②,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的; ③,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的；④,T V 中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 . 【答案】① 【解析】
试题分析：因为关于乘法封闭的规定是.S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.如果T 代表负数集合，V 代表非负数集合，则T V Z =成立, 且,,,a b c T ∀∈有
;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈.但是ab T ∉.所以T 不是乘法封闭.所以
④不正确. 如果T 代表奇数集合，V 代表偶数集合，则T V Z =成立, 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈.显然,T V 都是乘法封闭的，所以②③都不正确. 若,T V 都不满足乘法封闭，,,,a b c T ∀∈有
abc T
∈.假设1T ∈，若存在ab T ∉，则1a b T ⋅⋅∉与题意矛盾.所以①
正确.故填①
考点：1.集合的概念.2.新定义的概念的理解.3.列举特值解题的思想.
57
．给出下列结论：①函数y =的定义域为3(,)4+∞；
②sin 600︒=
5sin 24y x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于点,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称；④若角的集合,24k A k ππαα⎧
⎫==
+∈Z ⎨⎬⎩
⎭,,4B k k πβαπ⎧⎫
==±∈Z ⎨⎬⎩⎭
,则A B =；⑤函数tanx y =的最小正周期是π,对称轴方程为直线
()2
k x k π
=
∈Z .其中正确结论的序号是 _______. 【答案】③④⑤ 【解析】
试题分析：对于①，由0.53log (43)0043114
x x x ->⇒<-<⇒<<，故函数
的
定
义
域
应
当
为
3
(,1)4
；
对
于②，
s
i n
6
0s
i n
(
6
01
8
0360)s i n
(
2
︒=︒
+︒+︒
=︒
+︒=-︒=；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当8
x π
=-时，5sin()sin 04
4
y π
π
π=-+
==，符合，所以③正确；对于④，角的集合A 、B 都表示终边落在y x =±上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，tanx y =的图像是由tan y x =变化而来（保持x 轴上方的图像不变，而把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知， tanx y =的周期为π，且对称轴为()2
k x k Z π
=
∈；综上可知，③④⑤正确. 考点：1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.
58．设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x ∈(－
2,0)∪(2,4)，则实数a ＝ 。

【答案】1 【解析】
试题分析：31x a -<-<-，∴13a x a +<<+或31a x a -<<-，∵不等式的解集是
()()2,02,4-，12,34a a +=+=，32,10a a -=--=应同时成立，解得
1a =，故答案为1a =．
考点：绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．
59．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是 ． 【答案】17a -<< 【解析】略
60．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -； （2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -； （3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
【答案】答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等． 【解析】略
61．设集合*{|52,,100}n M m m n n N m ==+∈<且，则集合M 中所有元素的和为 ▲ . 【答案】231
62．已知集合，且，则实数的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
22
{|20}11-21+0, 1.A x x x a A a a B
=-+>∉∴⨯≤≤Q ，且把x=1代入不等式不成立，即也即故答案选
63
．
设
全
集
{}
(,),U x y x y R =∈，集合
A={(,)|sin cos 20,x y x y R ααα+-=∈} ，则在直角平面上集合U C A 内所有元素的对应点构成的图形的面积等于__ ___． 【答案】4π
64．集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,422
11的元素个数有 个.
【答案】2
65．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是_________ 【答案】),4(+∞
66．若规定E={}1,210...a a a 的子集{}1
2
...,n
k k k a a a 为E 的第k 个子集，其
中k=1
2
11
222n k k k
--++
+ ，则
（1）{}1,3,a a 是E 的第____个子集； （2）E 的第211个子集是_______ 【答案】5，
67．若规定{}1021,,,a a a E =的子集{}n
i i i a a a ,,,2
1
为E 的第k 个子集，
其中1112222
1
---+++=n
i i i k ，则E 的第211个子集是______________
【答案】{}87521,,,,a a a a a
68． 给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i
＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 . 【答案】
69．非空集合M 关于运算⊕满足：（1）对任意的a ，M b ∈，都有
M
b a ∈⊕；（2）存在M e ∈，使得对一切M a ∈，都有a a e e a =⊕=⊕，
则称M 关于运算⊕为“理想集”。

现给出下列集合与运算：
①M ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②M ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；
③M ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；
其中M 关于运算⊕为“理想集”的是 。

（只需填出相应的序号） 【答案】①④
70．已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9a b ∈，log a u b =，则u 的不同取值个数为_________. 【答案】54 【解析】
试题分析：要保证u 的取值不同，则有2a =时，b 可取
{}1,2,3,4,5,6,7,8,9共
9种；当3a =时，b 可取{}2,4,5,6,7,8共6种情况；当4a =时，b 可取{}2,3,5,6,7,8共6种情况；当5a =时，b 可取{}2,3,4,6,7,8,9共7种情况；当6a =时，b 可取{}2,3,4,5,7,8,9共7种情况；当7a =时，b 可取{}2,3,4,5,6,8,9共7种情况；当8a =时，b 可取{}2,3,5,6,7,9共6种情况；当9a =时，b 可取{}2,4,5,6,7,8共6种情况；所以u 的不同取值个数为9667776654+++++++=. 考点：分类加法计数原理.
71．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,
,}n A a a a =，12{,,
,}n B b b b =，12{,,
,}n C c c c =，若
A 、
B 、
C 中的元素满足条件：12n c c c <<
<，
k k k a b c +=，k =
1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.
（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）
（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .
【答案】（1）7、9、11中任一个；（2）{6,10,11,12}. 【解析】
试题分析：（1）由题意，{1,,3,4,5,6}M x =分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，
设12{,}A a a =、12{,}B b b =、12{,}C c c =，其中121212
a a
b b
c c 、、、、、是
{1,,3,4,5,6}M x =中的元素,
且互不相等.由定义可知111a b c +=、222a b c +=，12c c <,又它们都是正整数，所以2c 是M 中最大的元 素
.又
121122
c c a b a b +=+++，所以
1211
(13456)(19)22
c c x x +=
+++++=+，又M 中元素为正整数， 故x 为正奇数.又由集合元素的互异性，x 最小可为7，由k k k
a b c +=，
因为5+6=11可知x 最大可为11，
否则就不存在两个数的和等于x 了.所以x 的一个可能值为7、9、11中任一个；（2）因为M 有12个元素，
所以集合C 有4个元素，设1234{,,,}C c c c c =，易知M 中元素之和为78，所以1234++=39c c c c +，其中
1234c c c c <<<，4c 为M 中最大元素，所以4=12c ，23c c 、最大可分别
取10、11，所以1c 最小可等于
39-12-11-10=6，即16c ≥.所以集合C 的所有可能的集合有：①
{6,10,11,12}②{7,9,11,12}③{8,9,10,12}
共三种，计算可知，元素乘积最小的集合为第①种——{6,10,11,12}. 考点：新概念的理解、集合的含义
72．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为 ．
【答案】3 【解析】
试题分析：因为201354023=⨯+，所以[]20133∈，①正确；因为
25(1)3-=⨯-+，所以[]23-∈，②不正确；显然③正确；若整数,a b 属
于同一“类”，则[]1212(5)(5)5()0a b n k n k n n -=+-+=-∈
，反之，[]0a b -∈，则12125()(5)(5)a b n n n k n k -=-=+-+，即整数,a b 属于同一
“类”，所以④正确，故正确的结论有3个. 考点：新情境问题.
73．已知集合{}n a a a A ,,,21 =,其中)(),2,1(A l n n i R a i >≤≤∈表示和
)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数.
（Ⅰ）若集合{}16,8,4,2=A ,则________)(=A l ； （Ⅱ）当108=n 时，)(A l 的最小值为____________. 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）213. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，故有6个不同值.所以()6l A =；（Ⅱ）当108=n 时，将集合A 中元素按从小到大顺序重新排列，得123108{,,,,}A a a a a =，且
123108a a a a <<<
<.依题意，和)1(n j i a a j i ≤<≤+可以组成12a a +、
13a a +、14a a +...、1108a a +、23a a +、...、2108a a +、34a a +、 (31)
08a a +、……、107108a a +共5778个.且易知12a a +<13a a +<14a a +<…<1108a a +；
2108a a +<34a a +<…<3108a a +；
……106107106108107108a a a a a a +<+<+.当只要i j m n +=+，就有i j m n a a a a +=+时，和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同
值的个数最少，因为12a a +为这些值中的最小值，107108a a +为这些值中的最大值.所以()107108(12)1213l A =+-++=.故)(A l 的最小值为213.
考点：新概念的理解
74．集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】
试题分析：先把集合B 化简，{}|B x x a =<，由B A ⊆得A 中x 最大值不大于a ，即1a ≤． 考点：子集的定义．
75．现有含三个元素的集合，既可以表示为,,1a
a b ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
，也可表示为
{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________． 【答案】－1
【解析】由已知得a b
＝0及a≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.
76．已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =⋅⋅⋅≥∈.如果A 中元素()11,2,3,,a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合⎪⎪⎩
⎭是“复活集”
； ②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >； ③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”； ④若*i a R ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.
其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【解析】 易判断①是正确的；
②不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12a a ，是一元二次方程
2x tx t 0-+=的两个根，由0∆>，可得t 0t 4<>或，故②错；
③不妨设123n A a a a a <<<⋯<中，由12n 12n n a a a a a a na ⋯=++⋯+<，得
121n a a a -⋅⋅⋅n <，当
n 2=时，即有11a 2a 1<∴=，，于是2221a a a +=，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确;当n 3=时，12a a 3<，故只能12a 1a 2==，，求得3a 3=，于是“复活集”A 只有一个，为
{123}n 4≥，，．当时，由121n a a a -⋅⋅⋅()123n 1≥⨯⨯⨯⋯⨯-，
即有()n n 1!>-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()n n 1!>-，事实上，
()()()()2
2n 1!n 1n 2n 3n 2n 22n 2-≥--=-+=--+>
，矛盾，∴当n 4≥时不存在复活集A ，故④正确．答案为①③④ 考点：新定义，集合的概念，集合的关系，阶乘.
77．（2013•重庆）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并．
【答案】（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}中有3个数（1，2，3）与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46．
（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}．
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集
合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并： A 3={，，，，}，B 3={，，，，}．
最后，集合C═{|m ∈I 14，k ∈I 14，且k≠1，4，9 }中的数
的分母都是无理数，
它与P n 中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A 1∪A 2∪A 3∪C，B=B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A∪B=P 14．综上可得，n 的最大值为14．
78．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a
A a
+∈-。

（1）若2a =，求出A 中其它所有元素；
（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。

【答案】（1）A 中元素为11
2,3,,23
--（2）113,2,,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩
⎭
（3）A 中的元素为4的倍数
【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a ∈A ，则
11+-a
a
∈A ，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使
111
,,11++---a a a a a
三式均有意义时，对a 的限制，而不能得到满分． （1）由已知中若a ∈A ，则 11+-a
a
∈A ，1A 3∈由a=2∈A ，可得 1A 3∈，
再由
2∈A ，进而得到A 中的所有元素；。