弹塑性力学-06旋转圆盘

应力分量： 应力分量：
r2 σ r = (1 − 2 )σ s b 1 + 3µ r 2 σ θ = (1 − )σ s 2 3+ µ b
b
2. 弹塑性状态
ω > ωe
线为以半径为 r p的圆 , 此时角速度为 ω p :
弹性区与塑性区的分界
在塑性区 : σ θ ≥ σ r > 0
平衡方程： 平衡方程：
位移分量： 位移分量：
1− µ u = rεθ = ρω 2 r[(3 + µ )b 2 − (1 + µ )r 2 ] 8E
4．空心圆盘： ．空心圆盘：
内、外半径为a、 b ，厚度为 h（h 远大于 b ）的空心圆盘 外半径为 、 （ 内孔表面与外边界为自由边界。 内孔表面与外边界为自由边界。 r=a 处与 r=b 处，无面力： 无面力：
由平衡方程： 由平衡方程：
d (rσ r ) − σ θ + ρω 2 r 2 = 0 dr
取：
ϕ (r ) = rσ r
称为应力函数。 ϕ(r) 称为应力函数。
dϕ σθ = + ρω 2 r 2 dr
代入协调方程得： 代入协调方程得：
d 2ϕ dϕ 2 r +r − ϕ + ( 3 + µ ) ρω 2 r 2 = 0 dr dr 2
a
b
h
应力分量： 应力分量： 3+ µ a 2b 2 2 2 2 σr = ρω ( b + a − 2 − r 2 )
8
r 3+ µ a 2b 2 1 + 3µ 2 r ) σθ = ρω 2 ( b 2 + a 2 + 2 − 8 3+ µ r
σ
r = a : σ θ max =
σθ σr
ω
3+ µ 1− µ 2 a ) ρω 2 (b2 + 4 3+ µ
1 3σ s ωl = b ρ
应力分量为： 应力分量为：
r2 σ r = σ s (1 − 2 ) b σθ = σ s
塑性极限角速度与弹性极限角速度之比为： 塑性极限角速度与弹性极限角速度之比为：
ωl 3(3 + µ ) = 8 ωe
超速工序： 超速工序：0→ωp →0 →ωe↑
µ = 1 3 1.118 µ = 1 2 1.146
σ r = σ s − ρω p 2 r 2 σθ = σ s
( 0 ≤ r ≤ rp ) 1 3
弹性区内的应力分量： 弹性区内的应力分量： σ = C + C 2 − 3 + µ ρω 2 r 2 1 r p 8 r2 C 2 1 + 3µ σ θ = C1 − 2 − ρω p 2 r 2 8 r 边界条件： 边界条件：
f r = ρω r
2
ω
r
平衡方程： 平衡方程：
θ
dσ r σ r − σ θ 2 + + ρω r = 0 dr r
h b
弹性本构方程： 弹性本构方程：
εr =
εθ =
1 (σ r − µσ θ ) E
1 (σ θ − µσ r ) E
εz = −
µ
E
(σ r + σ θ )
几何方程： 几何方程：
( rp ≤ r ≤ b)
塑性区： 塑性区： 平面应力状态： 平面应力状态： σz=0 体积不可压缩： 体积不可压缩：εz= -（εr+εθ） （ 形变理论：（ 形变理论：（εr-εz）：（εθ-εz）=σr：σθ 连续条件： 连续条件：r=rp时：u连续 连续
位移分量： 位移分量：
u=
σ sr
σr
r =b =
0
r = rp : (σ r )e = (σ r ) p
解得： 解得：
C1 = σ s +
(σ θ )e = (σ θ ) p
1 + 3µ ρω p 2 r p 2 12 1 + 3µ C2 = − ρω p 2 r p 2 24 24b 2σ s 2 ωp = 4 2 ρ [(1 + 3 µ )r p − 2(1 + 3 µ )b 2 r p + 3( 3 + µ )b 4 ]
σθ
r o h b
ω
r
σ θ
σr
3+ µ r = 0 : σ r = σθ = ρω 2b 2 8
b
屈服条件： 屈服条件：
3+ µ M or T : σ r = σ θ = ρω 2b 2 = σ s 8
弹性极限角速度： 弹性极限角速度：
8σ s 1 ωe = b ρ (3 + µ )
σ σs σr o σθ
2 2
σ σs σr
o rp b
塑性区的应力分量： 塑性区的应力分量：
σθ
1 σ r = σ s − ρω p 2 r 2 3 σθ = σ s ( 0 ≤ r ≤ rp )
r
3. 塑性极限状态 当塑性区扩大到外边界时，进入塑性极限状态，此时 当塑性区扩大到外边界时，进入塑性极限状态，此时rp=b， ， 角速度达到塑性极限角速度 ωl ：
T :σθ = σ s
dσ r σ r − σ θ + + ρω 2 r = 0 dr r
d ( rσ r ) 2 = σ s − ρω p r 2 dr
C3 1 2 2 σ r = σ s − ρω p r + 3 r
实心圆盘： 为有限值： 实心圆盘：r =0 时，σr 为有限值：C3 = 0 塑性区的应力分量为： 塑性区的应力分量为：
4. 位移分量： 位移分量：
µ=1/2，εij=e ij
弹性区： 弹性区： u = rε = 1 (σ − µσ ) r θ E θ
4 2 σ 3 rp rp r s 5 5 2 2 − − u = − ρω p r E 2 48 r 32 32 r
u2b = E (σ θ 2 − µσ r 2 )
b b b u1b = (σ θ 1 − µσ r 1 ) E
2
套装处轴和圆盘的边界条件（径向压力相等）： 套装处轴和圆盘的边界条件（径向压力相等）：
σ rb1 = σ rb2
δ=
b b (σ θ 2 − σ θb1 ) E
为保证套装的可靠性，套装应力不能为零。 为保证套装的可靠性，套装应力不能为零。 工程上把套装应力为零所对应的角速度称为松脱角速度， 工程上把套装应力为零所对应的角速度称为松脱角速度， 表示。 用 ω* 表示。 当达到松脱角速度时， 处的套装压力为零，则有： 当达到松脱角速度时，在 r=b 处的套装压力为零，则有：
第六章
旋转圆盘的分析
§ 6－1 等速旋转圆盘的分析 § 6－2 变速旋转圆盘的分析 § 6－3 等速旋转圆轴的分析
§ 6－1 等速旋转圆盘的分析 －
一、弹性分析 1. 基本方程 等厚旋转圆盘以等角速度ω绕其中心轴转动， 等厚旋转圆盘以等角速度ω绕其中心轴转动，若材料的 密度为ρ 则径向离心力（即径向体力分量） 密度为ρ，则径向离心力（即径向体力分量）为：
(ul )r = b = 3.5 (ue )r = b
三、工程中的等强度旋转圆盘 工程中的等强度旋转圆盘
等强度条件： 等强度条件： σ r = σθ = σ = const 的函数. 设旋转圆盘的厚度 h 为 r 的函数 取微元体考虑平衡条件 平衡方程： 平衡方程：
半径为 b ，厚度为 h（h 远小于 b ）的实心圆盘 （ 设外边界为自由边界。 设外边界为自由边界。 r=0 处，σr 与 σθ 为有限值：C2 = 0 为有限值： r=b 处，无面力： 无面力：
σr
r =b
= Fr = 0
ω
r
3+ µ C1 = ρω 2b 2 8 3+ µ σr = ρω 2 (b 2 − r 2 ) 8 3+ µ 1 + 3µ 2 2 2 r ) σθ = ρω (b − 8 3+ µ
2 圆盘与实心轴套装： 圆盘与实心轴套装： ω * = a
Eδ ρb(3 + µ )
二、弹塑性分析（理想弹塑性材料） 弹塑性分析（理想弹塑性材料） 弹塑性分析
1. 弹性极限状态：（半径为 b 的实心圆盘） 弹性极限状态：（半径为 的实心圆盘） ：（
3+ µ σr = ρω 2 ( b 2 − r 2 ) 8 3+ µ 1 + 3µ 2 r ) σθ = ρω 2 ( b 2 − 8 3+ µ
*b σθ1
1 c2 = ρω * 2 b 2 [( 3 + µ ) 2 + (1 − µ )] 4 b
1 a2 = ρω * 2 b 2 [( 3 + µ ) 2 + (1 − µ )] 4 b
ω* =
2 b Eδ a2 − c2 ρ b( 3 + µ ) b2
* σθ b 2
松脱角速度为： 松脱角速度为：
位移分量： 位移分量：
3+ µ a 2b 2 1 − µ 2 2 u= r ] ρω 2 r[(1 − µ )( b 2 + a 2 ) + (1 + µ ) 2 − 8E 3+ µ r
5．圆盘与轴的套装问题： ．圆盘与轴的套装问题：
内外半径为b 的圆盘（ ） 内外半径为 、a 的圆盘（2）与内外半径为 c、b 的轴 （1）套装，套装前的过盈量为 δ ，轴在套装处的径向 ）套装， 位移为： 圆盘在套装处的径向位移为： 位移为：u1b；圆盘在套装处的径向位移为：u2b；套装 的几何条件： 的几何条件： δ = u2b − u1b 1 b b b
2E
1+
5 2 ρω 2 r p 2 p
3σ s
ρω 2 r 2 p 1+ 3σ s
−
3 2
( r p ≥ r ≥ 0)
径向位移与角速度的关系： 径向位移与角速度的关系：
ω ωl ωe
ur=b o ue ul
在外边界处，塑性极限状态与弹性极限状态位移之比： 在外边界处，塑性极限状态与弹性极限状态位移之比：
εr =
du dr
εθ =
u r
边界条件： 边界条件：
σr
Sσ
= Fr
u Su = u
2．解答： ．解答：
由几何方程得应变协调方程： 由几何方程得应变协调方程： 将本构方程代入上式得： 将本构方程代入上式得：
dε θ εθ − ε r + r =0 dr
dσ θ dσ r )=0 (1 + µ )(σ θ − σ r ) + r ( -µ dr dθ
r
θ
r
ab
o a b h
a
b
r = ab : σ r max =
3+ µ ρω 2 (b2 − a 2 ) 8
应变分量： 应变分量：
3+ µ a 2 b 2 3(1 − µ 2 ) 2 r ] εr = ρω 2 [(1 − µ )(b 2 + a 2 ) − (1 + µ ) 2 − 8E r 3+ µ 3+ µ a 2b 2 1 − µ 2 2 2 2 2 r ] εθ = ρω [(1 − µ )(b + a ) + (1 + µ ) 2 − 8E r 3+ µ
C2 3 + µ σ r = C1 + 2 − ρω 2 r 2 8 r C 2 1 + 3µ σ θ = C1 − 2 − ρω 2 r 2 8 r 3+ µ C1 = ρω 2 (b 2 + a 2 )
8 3+ µ C2 = − ρω 2 b 2 a 2 8
σr
r =a
= σr
r
r =b
=0
Leabharlann Baidu
ω
θ
θ
h b
3+ µ σr = ρω 2 (b 2 − r 2 ) 8 应力分量： 应力分量： 3+ µ 1 + 3µ 2 2 2 r ) σθ = ρω (b − 8 3+ µ
ω
r
σ θ σr
o h b
σθ
r b
r = 0 : σ r = σθ =
3+ µ ρω 2b 2 8
1− µ ρω 2 [(3 + µ )b 2 − 3(1 + µ )r 2 ] 应变分量： 应变分量： ε r = 8E 1− µ εθ = ρω 2 [(3 + µ )b 2 − (1 + µ )r 2 ] 8E
弹性区内的应力分量： 弹性区内的应力分量：
3 + µ 1 + 3µ rp 4 1 + 3µ rp 2 ( ) − ( ) + σ r = σ s − ρω p r [ 8 24 r 12 r
2 2
1 + 3µ 1 + 3µ r p 4 1 + 3µ r p 2 ( ) − ( ) σ θ = σ s − ρω p r [ − 8 24 r 12 r
解得： 解得：
ϕ = C1r +
C2 3 + µ − ρω 2 r 2 r 8
C2 3 + µ σ r = C1 + 2 − ρω 2 r 2 8 r
σ θ = C1 −
C 2 1 + 3µ ρω 2 r 2 − 8 r2
σ r = C1 +
3. 实心圆盘： 实心圆盘：
C2 3 + µ − ρω 2 r 2 8 r2 C 2 1 + 3µ σ θ = C1 − 2 − ρω 2 r 2 8 r