位错的应变能

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应变能特点
• 位错存在导致内能升高
• 位错的引入又使晶体熵值增加
• 由F=E内-TS，估算得出，因应变能而引起系统自由能的增加，远大 于熵增加而引起系统自由能的减小
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应变能特点
1）E与b2呈正比，b小则应变能低，位错愈稳定 2）E随R增大而增加，说明位错长程应力场的能量占主导作用，中心区能 量小，可忽略 3 ） 若 取 R=2000|b| ， r0=|b|, ES=0.6Gb2, Em=0.6~0.9Gb2 ， Ee=1.5ES ， Ee>Em>ES，可见在晶体中最易于形成螺型位错 4）两点间直线最短，直线位错比曲线位错能量小，位错总有伸直趋势
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螺型位错应变能
类似方法可求得单位长度刃型位错应变能，式中ν为泊松比， 约为0.33
Gb 2 r Ee ln 1 4 r0
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Gb 2 R ln (1 v cos 2 ) 4 (1 v ) r0
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混合位错的应变能
Gb2 r Em ln 1 (1 v cos2 ) 4 (1 v) r0
zz v( xx yy )
xz zx yz zy 0
xy yx D
x( x 2 y 2 ) (x y )
2 2 2
D Gb/ 2 (1 V )
G为切变模量，v为泊松比
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螺型位错应力场
• 螺型位错周围是简单的纯剪切，应变具有径向对称性 • 大小与离位错中心的距离r成反比。r趋近无穷大，切应力趋于零。实 际上应力场有一定的作用范围，r达到某值时切应力已很低
• 螺型位错的应力场可用位错周围一定尺寸的圆柱体表示
螺位的应力场
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螺型位错应力场
切应力τθz，τzθ亦可用直角坐标表示

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两平行螺型位错间的交互作用（参考）
1.沿着2πr的周向长度上，各点的切应变为γ：γ＝b/2πr
γ＝b/2πr
2.根据虎克定律，螺型位错周围的切应力为τ
τ＝G γ＝Gb/2πr G为材料的切变模量 3.外加切应力在位错线上力为τx τx=τb
S（x,y） （r,θ）
Gb 2 r
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1．两平行螺型位错间的交互作用
柏氏矢量b1、b2同号平行螺型位错，间距r • 第一根位错的切应应力τ1对第二根位错产 生作用，单位位错线的作用力的大小， 力的方向垂直于位错线，且使位错间距 逐渐拉大 • 第二根位错也对第一根位错产生同样大 小的力 • 两根平行的同号螺型位错相互排斥，排 斥力随距离增大而减小 • 两根平行的异号螺型位错相互吸引，直 至异号位错互毁
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刃位错周围应力场的特点
1）应力的大小与r呈反比，与G、b呈正比
2）有正、切应力，同一位置|σxx|>|σyy| y>0, σxx<0，为压应力
y<0, σxx>0，为拉应力 y=0, σxx=σyy=0 ，只有切 应力 y=±x，只有σxx、σzz
刃型位错应力场
采用圆柱坐标表示，则为

rr


D
sin r

zz
2 D
r z
r z
v sin r cos D r rz zr
0
Байду номын сангаас
以上两式，可了解刃位错周围应力场的特点。并可得出坐标系各区中应力分布
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位错的应变能
1.中心区：以位错线为轴，r0（接近b，约10-8cm）为半径的圆柱体区域 此区域内晶格畸变严重，超出弹性应变范围，虎克定律不适用
2.代表位错长程应力场的能量 此部分能量可以采用弹性连续介质模型加以计算 但必须对晶体作如下简化 一，忽略晶体的点阵模型，把晶体视为均匀的连续介质，内部无间隙， 晶体中应力、应变等参量的变化是连续的，不呈任何周期性 二，把晶体看成各向同性，弹性模量不随方向而变化 仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助弹性连续介质模型讨论位错的弹 性性质
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位错的应变能
位错的存在在其点阵周围产生弹性应变与应力，储 存的能量包括：
E e : 位错长程应力场的能量 E 1 1 E : 中心区域应变能 , 为总应变能的 ~ , 忽略 10 15
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刃型位错应力场（位错的弹性行为）
设立刃型位错模型，由弹性理论求得
y( x 2 y 2 ) y(3x2 y2 ) xx D 2 2 2 yy D 2 (x y 2 )2 (x y )
rr zz r z


D
2D
r z
v sin r cos D r rz zr 0
sin r
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位错与位错之间作用力
• 晶体中存在位错，位错周围必定出现应力场
• 应力场对处于其中的其它位错有一个作用力，位 错之间彼此交互作用 • 位错之间彼此交互作用，对位错的运动起牵制或 促进作用
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刃型位错应变能
类似方法可求得单位长度刃型位错应变能，式中ν为泊松比， 约为0.33
Gb r1 Ee ln 4 (1 v) r0
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)θ (00) x y
S（x,y） （r,θ） r
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两平行螺型位错间的交互作用
平行螺位错间的交互作用力
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xz

zx

yz
zy
xy
yx
Gb y 2 x2 y2 Gb x 2 x2 y2 0
特征：1）只有切应力，无正应力 2）τ的大小与r呈反比，与G、b呈正比 3）τ与θ无关，所以切应力是径向对称的
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刃位错的正应力场分布
压缩应力与拉伸应力可分别用滑 移面上、下方的两个圆柱体表示 压缩应力和拉伸应力的大小随离 开位错中心距离的增大而减小
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1．两平行螺型位错间的交互作用
图中坐标原点（0，0）处一螺型位错 b，r(x, y)处一螺位错 b ′
• 螺型位错的应力场是纯剪切应力 • 切应力的方向与柏氏矢量一致，具有径 向对称性，即与螺型位错距离相等的各 个位置都受到相同的切应力 • 与螺型位错距离r的各个位置受到的切 应力大小为
r )θ (00) x y
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混合位错的应变能
混合位错都可分解为一刃型位错和一个螺型位错，设其柏氏 矢量b与位错线交角为θ，则 :
be b sin , bs b cos
EM Ee ES
2 2 2 2 Gb sin R Gb cos R ln ln 4 (1r) r0 4 r0
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2.4 位错的应变能
位错的存在，在其周围的点阵发生不同程度的畸变
能量最低状态时作用力则为零 在描述体系稳定程度或变化趋势时采用能量的概念 说明 在讨论体系的变化途径时则用力的概念
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刃位错 θ=90°，螺位错 θ=0°则变为各自应变能表达式
实际晶体中，r0约为埃的量级（10-10m）；r1约为亚晶尺寸，为10-5~106m，v取1/3
单位长度位错应变能E=KGb2
K值可取为0.5~1.0
螺型位错α取下限0.5，刃型位错则取上限1.0，混合位错取中限 在晶体中最易形成螺型位错，最难形成刃型位错
螺型位错应力场
沿z轴的切应变为 εθz 从圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开 εθz＝b/(2πr) ；τθz＝Gεθz＝Gb/(2πr) G为切变模量
圆柱体只在z方向产生位移，在x、y方向没有位移，所以其余的应力分量 均为0，即 σrr＝σθθ＝σzz＝σrθ＝σθr＝σrz＝σzr＝0
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• 故位错与空位不同，它在热力学上是不稳定的
• 位错能不以热量的形式耗散在晶体中，而是储存在位错中
• 高的位错能量使晶体处于不稳定状态，在降低位错能的驱动力作用 下位错会反应，或与其他缺陷发生交互作用
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刃型位错应力场（位错的弹性行为）
• 由于插入一层半原子面，滑移面上方的原子 间距低于平衡间距，产生晶格的压缩应变， 滑移面下方则发生拉伸应变
• 压缩和拉伸正应变是刃型位错周围主要应变 • 从压缩应变和拉伸应变的逐渐过渡中必然附 加一个切应变，最大的切应变发生在位错的 滑移面上，该面上正应变为零，故为纯剪切 • 刃型位错周围既有正应力，又有切应力，但 正应力是主要的
位错应力场
1. 螺型位错应力场
位错具有一定的应变能，同时在位错的周围 也产生了相应的应力场，使位错与处于其应 力场中的其它点缺陷产生交互作用
圆柱体内引入相当于螺型位 错周围的应力场
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