3.1.1两角差的余弦公式__优秀课件
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3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ；
2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O
X
两个向量的数量积
a b a b c o s θ 其中θ∈[0，π ]
成立吗?
3. cos (45 ° -30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示?
4. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?
问
如何用任意角α与β 的正弦、余
题
弦来表示cos(α-β)？
探
究
思考：你认为会是
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosα sinαβsinα
5 4 12 3 13 5 135
16 65
目标检测2：
小结
COS ( – ）=COS COS +sinsin
注意：
1。公式中三角符号的顺序 CCSS 2。公式中角的顺序 3。公式中的运算符号
2 • 3 2 •1
2
2
22
6 2 4
.利用差角余弦公式求 cos15 的值
学
以 分析: cos15 cos 45 30
致
cos15 cos60 45
用
思考：你会求sin75 的值吗?
例1.已知
cosα=
-
3 5
α
2
,
求cos
4
α
的值.
例2.已知
sinα=
54，α
பைடு நூலகம்
2
,
C α-β CC SS
纳
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可 以求出cos(α－β)
应用举例
不查表,求cos(–375°)的值. 解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °)
=cos45 °cos30 ° +sin45 °sin30 °
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
cos cos sin sin
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
归
差角的余弦公式
， cosβ=
-
5 13
，
β是第三象限角，求cos(α-β)的值
目标检测1：
1
1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550 2
2
2.cos( 210) cos( 240) sin( 210)sin( 240) 2
思考题：已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
不用计算器，求 cos 375 的值.
解：cos 375 cos 375 cos 360 15 cos15
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 ° -30 °)=cos45 ° -cos30 °
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ；
2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O
X
两个向量的数量积
a b a b c o s θ 其中θ∈[0，π ]
成立吗?
3. cos (45 ° -30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示?
4. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?
问
如何用任意角α与β 的正弦、余
题
弦来表示cos(α-β)？
探
究
思考：你认为会是
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosα sinαβsinα
5 4 12 3 13 5 135
16 65
目标检测2：
小结
COS ( – ）=COS COS +sinsin
注意：
1。公式中三角符号的顺序 CCSS 2。公式中角的顺序 3。公式中的运算符号
2 • 3 2 •1
2
2
22
6 2 4
.利用差角余弦公式求 cos15 的值
学
以 分析: cos15 cos 45 30
致
cos15 cos60 45
用
思考：你会求sin75 的值吗?
例1.已知
cosα=
-
3 5
α
2
,
求cos
4
α
的值.
例2.已知
sinα=
54，α
பைடு நூலகம்
2
,
C α-β CC SS
纳
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可 以求出cos(α－β)
应用举例
不查表,求cos(–375°)的值. 解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °)
=cos45 °cos30 ° +sin45 °sin30 °
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
cos cos sin sin
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
归
差角的余弦公式
， cosβ=
-
5 13
，
β是第三象限角，求cos(α-β)的值
目标检测1：
1
1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550 2
2
2.cos( 210) cos( 240) sin( 210)sin( 240) 2
思考题：已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
不用计算器，求 cos 375 的值.
解：cos 375 cos 375 cos 360 15 cos15
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 ° -30 °)=cos45 ° -cos30 °