叠加法求梁的位移

F
A
D
B
a/2
EI
a
q
EI
C
a
解：
A
q
F
(a) F/2
wB /2 w
DF
直线
wB F/ 2 wB B
FB

FB

F 2
qa
(b)
C
q
A
F
(a) F/2
wwB /2 DF
直线
wB F/ 2 wB B
wB wBb wBbF wBbq
q B右 q Bb q BbF q Bbq

Fa 3 6EI
qB

qC1
[
F (2a)2 16 EI
]

Fa 2 4EI
反对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷反对称，就能采用上述 方法求解。
例 梁的EI已知，求wC和θA
M
M/2
A
C
B →A
C
l
l
l
2
2
2
wC wC1 0
(1)
qA
q A1

(M
/ 2)(l 6EI
/
2)

（向下）
qB
q B1
qB2

Fl 2 2EI
2Fl 2 EI
5Fl 2 2EI
（顺时针）
求C截面的挠度和转角。
F
F
A
C EI
D
B
l
l
l
挠度和转角←挠曲函数←{
弯矩方程 位移条件
(3) A
F
CF Fl
l
qC
qC3
2F l2 2EI
Fll EI
2Fl 2 EI
wC
wC3
B
aaaa
F
F
aa
aa
2a
(1)
(2)
(3)
wB1

wB 2
wB3
Fa 3 3EI

Fa 2 2EI
a
F (2a)3 3EI

11Fa3 6EI
wC

wB1
11Fa 3 6EI
F
F
F
F
A
C
B →C
B→ C
B+ C
B
aaaa
F
F
aa
aa
2a
(1)
(2)
(3)
q B1
q B2
qB3
2F l3 3EI

Fl l 2 2EI

7Fl 3 6EI
切断＋简化
例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面
的挠度和转角以及D截面的挠度。
F=qa
A
EI D
B
C
a
a
a
解：
A
F=qa EI
D
a
a
(a)
qa qa2/2
B
+
B
C
a
(b)
qC qCb qBa (继承)
wC wCb q Ba a (继承和发扬)
qa3 ] a qa3
3EI
6EI
A
F=qa EI
D
qa qa2/2
B
+B
C
a
a
a
(a)
(b)
wD

wDa
wDaF
wDaM

qa (2a)3 48 EI

qa2
/ 2 (2a)2 16 EI
qa4 24 EI
例 梁的EI已知，求wC和θB
F
F
F
F
A
C
B →C
B→ C
B+ C
D qC1 直线
B wC1 qC1 2l
wB1 qB1
对于图(1)：
q B1

qC1

Fl 2 2EI
（顺时针）
wB1 wC1 qC1 2l
Fl 3 3EI
Fl 2 2EI
2l
4
Fl
3
（向下）
3EI
变形的继承和发扬
对图(2)
(2)
A
F
C 曲线
D
直线
B qD1
wD1 qD1 BD
wD

wDa

wDaF

1 2
wB
q B左
qBa

q BaF

wB a
(b)
C
总结
一、对载荷分组叠加
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。
三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁）
四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座，
将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。
五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保
留半跨上的载荷。
源自文库
注意事项
一、不要漏项 二、叠加位移时注意每一项的符号
三、注意载荷的变化
简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半；
简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度
wD wDa
A
F=qa EI
D
qa qa2/2
B
+B
C
a
a
a
(a)
(b)
qC qCb q Ba qCb q BaF q BaM
qa3
qa2a 2

qa3
qa3
6EI 16 EI 3EI 4EI
wC

wCb
q
Ba

a

qa4 8EI
[ qa2a2
16 EI
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法适用的条件： 1）线弹性范围工作; 2）小变形。
简单载荷下梁的挠度和转角见表7-1。
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由 端B截面的挠度和转角。
F
F
A
C EI
D
B
l
l
l
解：
(1) A
F
B
C
D
＋
(2) A
F
B
C
D
叠加法的基本思想
(1) A
F 曲线 wC1 C

Fa 2 2EI

F (2a)2 2EI

3Fa2 2EI
qB
q B1


3Fa 2 2EI
对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷对称，就能采用上 述方法求解。
例 梁的EI已知，求wC、 wD和θB
F
F
A DC
B
F aaaa
→A D C
aa
wC wC1 0
(1)
wD

wD1

F (2a)3 48 EI
Ml 24EI
三角形分布载荷（适用于简支梁）
例 EI已知，求wE和θB
F
A
C DE
B →A
2a a a a
wE

wD1 2
wE2
qB


wD1 2a
qB2
F/2
F
C D +D E B
2a a (1)
aa (2)
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
wB2 qB 2
qB2
q D1

2Fl 2（顺时针） EI
wB 2

wD 2
qD2l

F
(2l)3 3EI

F
(2l)2 2EI
l

14 Fl 3 3EI
（向下）
(1) A (2) A
F
B
C
D
＋
F
B
C
D
wB
wB1 wB2

4Fl 3 3EI
14 Fl 3
3EI

6Fl 3 EI