贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第5章 概率与概率分布【圣才出品】

第5章　概率与概率分布
一、思考题
1．频率与概率有什么关系？
答：概率是一种现象的固有属性，比如一枚均匀的硬币，随意抛掷的话正面出现的概率就是1/2。

这跟实验是没有关系的。

而频率，就是一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值，它和实验密切相关。

一般来说，随着实验次数的增多，频率会接近于概率。

比如抛掷均匀的硬币10000次，出现正面的频率就会非常接近于概率0.5。

2．独立性与互斥性有什么关系？
答：互斥事件一定是相互依赖（不独立）的，但相互依赖的事件不一定是互斥的。

例如，事件A表示有雨，事件B表示晴天（无雨），事件C表示有风。

显然事件A与B是互斥的，因而也是不独立的；事件A与C显然不互斥，但是看来也是有依赖关系的。

不互斥事件可能是独立的，也可能是不独立的，然而独立事件不可能是互斥的。

关于不互斥事件相互独立的例子，如有一批产品，A表示第一次抽到正品，B表示第二次抽到的也是正品，在有放回抽样时这两个事件就是独立的。

3．根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。

答：服从泊松分布的随机变量有：
（1）在某一公司中每月观察到的事故的次数；
（2）单位时间内到达某一服务柜台（服务站、诊所、超级市场的结账柜台、电话总
机等）请求服务的顾客人数；
（3）保险公司每天收到的死亡声明的个数；
（4）某种仪器每月出现故障的次数。

4．根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。

答：服从正态分布的随机变量：
（1）某地区同年龄组儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量；
（2）某公司年销售量；
（3）在同一条件下产品的质量。

二、练习题
1．写出下列随机试验的样本空间：
（1）记录某班一次统计学测验的平均分数；
（2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数；
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

解：（1）平均分数是范围在0～100之间的一个连续变量，所以平均分数的样本空间Ω=[0，100]。

（2）遇到的绿灯次数是从0开始的任意自然数，所以样本空间Ω=N。

（3）之前生产的产品中可能无次品也可能有任意多个次品，所以样本空间
Ω={10，11，12，13，…}。

2．某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订两种报纸中的一种。

求同时订这两种报纸的住户的百分比。

解：设订日报的集合为A ，订晚报的集合为B ，至少订一种报的集合为A B U ，同时订两种报的集合为A ∩B 。

由于
P （A B U ）= P （A ）+P （B ）—P （A ∩B ）
所以
P （A ∩B ）=P （A ）+P （B ）－P （A U B ）=0.50+0.65－0.85=0.30
3．设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有一个发生的概率是1／3，A 发生且B 不发生的概率是1／9，求B 发生的概率。

解：由已知得：11()()39
P A B P A B ==
U I 由于B 与A B I 为互斥事件，所以((()(()
P B A B P B P A B P B A =+=U I I U 因此
112()()(399
P B P A B P A B =-=-=U I 4．设A 与B 是两个随机事件，已知P （A ）=P （B ）=1/3，P （A |B ）=1/6，求(P A B 。

解：由P （A ）=P （B ）=1/3，P （A |B ）=1/6可得：
____111()()(|)3618
117()()1()1181812()1()13
312()1()133
22177(()()()331818P AB P B P A B P A B P AB P AB P A P A P B P B P AB P A P B P A B ==⨯===-=-
==-=-==-=-==+-=
+-=U U 因此
()7187(|()2312
P AB P A B P B ===5．有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。

在两批种子中各随机取一粒，求：
（1）两粒都发芽的概率。

（2）至少有一粒发芽的概率。

（3）恰有一粒发芽的概率。

解：设甲种子发芽为事件A ，乙种子发芽为事件B 。

由题意知：P （A ）=0.8，P （B ）=0.7。

（1）由于是两批种子，所以两个事件相互独立，则两粒都发芽的概率为：
()()()0.80.70.56
P AB P A P B ==⨯=（2）至少有一粒发芽的概率为：
()()()()0.80.70.560.94
P A B P A P B P AB =+-=+-=U （3）恰有一粒发芽的概率为：
0.8(10.7)0.7(10.8)
0.38
=⨯-+⨯- =6．某厂产品的合格率为96％，合格品中一级品率为75％。

从产品中任取一件为一级品的概率是多少？
解：设产品合格为事件A ，合格品中一级品为事件B 。

由题意知：P （A ）
=0.96，P （B |A ）=0.75。

所以
()()(|)0.960.750.72P AB P A P B A ==⨯=。

7．某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用到10000小时未坏的概率为1/2。

现在有一台这种品牌的电视已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？
解：设前5000小时未坏为事件A ，后5000小时未坏为事件B 。

由题意知：P （A ）=34，P （AB ）=12
，则P （B |A ）=()122()343
P AB P A ==。

8．某厂职工中，小学文化程度的有10％，初中文化程度的有50％，高中及高中以上文化程度的有40％。

25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20％，50％，70％。

从该厂随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？
解：记职工文化程度小学为事件A ，职工文化程度初中为事件B ，职工文化程度高中及高中以上为事件C ，职工年龄25岁以下为事件D 。

由题意知：
P （A ）=0.1，P （B ）=0.5，P （C ）=0.4
P （D |A ）=0.2，P （D |B ）=0.5，P （D |C ）=0.7
则由贝叶斯公式可得：
（1）从该厂随机抽取的一名职工，其年龄不到25岁，具有小学文化程度的概率为：
()(|)
(|)()(|)()(|)()(|)
0.10.220.10.20.50.50.40.755P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C =
++⨯ ==⨯+⨯+⨯（2）具有初中文化程度的概率为：
()(|)
(|)()(|)()(|)()(|)
0.50.550.10.20.50.50.40.711P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =
++⨯ ==⨯+⨯+⨯（3）具有高中及高中上文化程度的概率为：
()(|)
(|)()(|)()(|)()(|)
0.40.7280.10.20.50.50.40.755P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C =
++⨯ ==⨯+⨯+⨯9．某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的
30％，27％，25％，18％。

已知这四个车间产品的次品率分别为0.10，0.05，0.20和0.15，问从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，这件产品是由A ，B 车间生产的概率各为多少？
解：设次品为Z 。

由题意知：
P （A ）=0.3，P （B ）=0.27，P （C ）=0.25，P （D ）=0.18
P （Z |A ）=0.10，P （Z |B ）=0.05，P （Z |C ）=0.20，P （Z |D ）=0.15。