2019高考数学(理)“一本“培养专题突破(课件讲义习题)：专题二 数列：第1部分 专题2 第3讲 等差数列

[方法归纳] 等差比数列基本运算的解题途径 1设基本量：首项 a1 和公差 d公比 q. 2列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 dq的方程组，然后求解，注意整 体代换，以减少运算量.
■对点即时训练·
1．已知数列{an}满足 a1＝15，且 3an＋1＝3an－2.若 ak·ak＋1＜0，则正整数 k 等于( )
a3
2a9
a3
a9＋a3 a1＋a11
(2)2b3＋b9＋b2＋b10＝2b1＋b11＋b1＋b11＝b1＋b11＝b1＋b11＝
11a1＋a11
2
11b1＋b11 S11 2 × 11－3 19
2
＝T11＝4 × 11－3＝41，故选 A．
a7
a7＋a6
(3)数列{an}为等差数列，若a6＜－1，则 a6 ＜0，可得
A．21
B．22
C．23
D．24
2 C [3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－3⇒{an}是等差数列，则
( )( ) 47 2
47 2 45 2
－k －k
an＝ 3 －3n.∵ak＋1·ak＜0，∴ 3 3 3 3 ＜0，
45
47
∴ 2 ＜k＜ 2 ，又∵k∈N*，∴k＝23.]
an＋1 2．已知正项数列{an}满足 an＋2 1－2an2－an＋1an＝0，设 bn＝log2 a1 ，则数列{bn} 的前 n 项和为( )
A．20
B．22
C．24
D．28
(2)(2018·浙江高考)已知 a1，a2，a3，a4 成等比数列，且
a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若 a1＞1，则( )
A．a1＜a3，a2＜a4
B．a1＞a3，a2＜a4
C．a1＜a3，a2＞a4
D．a1＞a3，a2＞a4
(1)B (2)B [(1)设等差数列{an}的公差为 d，∵a1，a2，a6 成等比数列，
2b6
∴tan1－a4·a8＝tan1－a26
7π
2×
( ) 3
7π
－
＝tan1－ 32＝tan 3 ＝－ 3.]
题型 3 等差(比)数列的判断与证明
(对应学生用书第 20 页)
■核心知识储备·
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为同一常数； ②利用中项性质，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
an＝a1qn－1(q≠0)； an＝am·qn－m(q≠0)；
a11－qn a1－anq Sn＝ 1－q ＝ 1－q (q≠1)，Sn＝na1(q＝1)． ■高考考法示例·
【例 1】 (1)(2018·唐山市期末)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 S5＝10，S8＝40，则{an}的公差为( )
2016 全国卷ⅠT15; 2015 全国卷ⅡT4
题型 3：等差(比)数列的判断 2016 全国卷ⅢT17；2014 全国卷ⅠT17；2014 全
与证明
国卷ⅡT17
命题规律
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.以等差(比)数列为载体，考查基本量的运算及相应数列的性质；
2.若以解答题出现在第 17 题第一问，若以客观题考查，难度中等的题目较多，有
(对应学生用书第 20 页)
■核心知识储备·
1．等差、等比数列的性质
等差数列
等比数列
(1)若 m，n，p，q∈N*，且
(1)若 m，n，p，q∈N*，且
m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq；
性
(2)an＝am＋(n－m)d；
(2)an＝amqn－m；
D．201 斤
B [用 a1，a2，…，a8 表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列 a1，a2，…，a8 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为
8×7 996，∴8a1＋ 2 ×17＝996，解得 a1＝65.
∴a8＝65＋7×17＝184.选 B．] 题型 2 等差(比)数列的基本性质
an＋1 ①利用定义，证明 an (n∈N*)为同一常数； ②利用等比中项，即证明 an2＝an－1an＋1(n≥2)．
a1＋a11
a3＋a9
8
差数列前 n 项和公式有：S11＝ 2 ×11＝ 2 ×11＝2×11＝44.]
2．已知数列{an}是等比数列，Sn 为其前 n 项和，若
a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12＝( )
A．40
B．60
C．32
D．50
B [由等比数列的性质可知，数列 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 是等比数列， 即数列 4,8，S9－S6，S12－S9 是等比数列， 因此 S12＝4＋8＋16＋32＝60，选 B．] 3．(2018·沈阳质量检测)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若
2a11－q9 a11－q3 a11－q6 ∴ 1－q ＝ 1－q ＋ 1－q ，
1 即 2q6－q3－1＝0，∴q3＝－2或 q3＝1(舍去)．
3 a8 1
－ ∵a8＝3，∴a5＝q3＝ 2＝－6.] 【教师备选】
(1)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝( )
外，解题时注意设而不求思想的运用．
■对点即时训练·
1．已知等差数列{an}，且 3(a1＋a5)＋2(a6＋a9＋a12)＝48，则数列{an}的前 11 项之 和为( )
A．84
B．68
C．52
D．44
D [由等差数列的性质可得：
3(a1＋a5)＋2(a6＋a9＋a12)＝3×2a3＋2×3a9＝6(a3＋a9)＝48，则 a3＋a9＝8，结合等
∴a2＝a1·a6，即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)，
∴d＝3a1，∴a2＝4a1，所以等比数列 ak1，ak2，ak3，…，的公比
q＝4，∴ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1，
又 ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)， ∴a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0，∴3k4－2＝64， ∴k4＝22，故选 B． (2)构造不等式 ln x≤x－1， 则 a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1， 所以 a4＝a1·q3≤－1.由 a1＞1，得 q＜0. 若 q≤－1，则 ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0. 又 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1＞1， 所以 ln(a1＋a2＋a3)＞0，矛盾． 因此－1＜q＜0. 所以 a1－a3＝a1(1－q2)＞0，a2－a4＝a1q(1－q2)＜0， 所以 a1＞a3，a2＜a4. 故选 B．]
3．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子
做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，
按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分
到的绵是( )
A．174 斤
B．184 斤
C．191 斤
b3＋b9 a1·a6·a11＝3 3，b1＋b6＋b11＝7π，则 tan1－a4·a8＝________.
－ 3 [∵{an}是等比数列，{bn}是等差数列，
且 a1·a6·a11＝3 3，
∴a36＝( 3)3，b1＋b6＋b11＝7π，3b6＝7π，
7π ∴a6＝ 3，b6＝ 3 ，
b3＋b9
(1)A (2)A (3)A [(1)∵a3，a15 是方程 x2－7x＋12＝0 的两根， ∴a3a15＝12，a3＋a15＝7，
∵{an}为等比数列，又 a3，a9，a15 同号，
∴a9＞0，∴a9＝ a3a15＝2 3，
a1a17 a29 ∴ a9 ＝a9＝a9＝2 3.故选 A．
a3＋a15
质
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成 (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成
等差数列
等比数列(q≠－1)
2.关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质
(1)若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd； (2)若项数为 2n－1，则 S 奇＝nan, S 奇－S 偶＝an；
an S2n－1 (3)两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和 Sn、Tn 之间的关系为bn＝T2n－1. ■高考考法示例·
[方法归纳] 等差、等比数列性质问题的求解策略
1．解题关键：抓住项的性质进行求解．
2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期
性等，可利用函数的性质解题．
3．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需进行适当变形．此
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3，S9，S6 成等差数列，且 a8＝3，则 a5 的值
为________．
(1)B (2) －6 [(1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得Error!整理得Error!
解得Error!选 B．
(2)设等比数列{an}的公比为 q. ∵S3，S9，S6 成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，且 q≠1.
A．5
B．6
C．7
D．8
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是
________．
nn－1 (1)D (2)4 [(1)法一：由题意知，Sn＝na1＋ 2 d＝n＋n(n－1) ＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由 Sn＋2－Sn＝36，得(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以 n＝8. 法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得 n＝8.所以 选 D． (2)设公比为 q(q≠0)，∵a2＝1，则由 a8＝a6＋2a4，得 q6＝q4＋2q2，即 q4－q2－2＝0，解得 q2＝2， ∴a6＝a2q4＝4.]
d＜0.∴a6＞0，a7＋a6＜0，a7＜0，∴a1＋a11＝2a6＞0，S11＞0，a1＋a12＝a7＋a6＜0，S1
2＜0，则当 Sn＞0 时，n 的最大值为 11.故选 A．]
【教师备选】
(1)(2018·南充市综合测试一)公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ak1，ak2，ak3，… 构成等比数列{akn}，且 k1＝1，k2＝2，k3＝6，则 k4 为( )
第 3 讲 等差数列、等比数列
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
2018 全国卷ⅠT4；2018 全国卷ⅡT17；
题型 1：等差(比)数列的基本 2018 全国卷ⅢT17；2017 全国卷ⅠT4；
运算
2017 全国卷ⅢT9；2017 全国卷ⅢT14；
2016 全国卷ⅠT3
题型 2：等差(比)数列的基本 性质
时也出现在 T12 或 T16，难度偏大.
题型 1 等差(比)数列的基本运算 (对应学生用书第 19 页)
■核心知识储备·
1．等差数列的通项公式及前 n 项和公式
an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d；
na1＋an
nn－1
Sn＝
2
＝na1＋ 2 d.
2．等比数列的通项公式及前 n 项和公式
a1a17 【例 2】 (1)在等比数列{an}中，a3，a15 是方程 x2－7x＋12＝0 的两根，则 a9 的 值为( )
A．2 3 B．4 C．±2 2 D．±4
(2)(2018·武威市二模)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对于任意
Sn 2n－3
a3＋a15
a3
的自然数 n，都有Tn＝4n－3，则2b3＋b9＋b2＋b10＝( )
19 A．41
17 B．37
7 C．15
20 D．41
a7 (3)在等差数列{an}中，a6＜－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则当 Sn＞0 时， n 的最大值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
A．n
nn－1 B． 2
nn＋1
n＋1n＋2
C． 2
D．
2
C [由 an＋2 1－2an2－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，
an＋1
an＋1
又 an＞0，∴ an ＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2 a1 ＝log22n＝n.
nn＋1 ∴数列{bn}的前 n 项和为 2 ，故选 C．]