时间序列分析

16
二次一阶差分表示为，
xt = xt - xt -1 = (xt - xt -1) – (xt-1 xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt –2，
或
xt = (1- L ) 2 xt = (1 – 2L + L 2 ) xt = xt –2 xt-1+ xt–2 k阶差分可表示为
2014-5-31
22
AR(p) 过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，
xt = 1 xt-1 + ut
保持其平稳性的条件是特征方程
(1 - 1 L) = 0
根的绝对值必须大于1，满足|1/1| 1，也就是 ： | 1| < 1
2014-5-31
23
2、 移动平均过程(Moving Average model,MA) 如果一个线性随机过程可用下式表达 xt = ut + 1 ut –1 + 2 ut -2 + … + q ut – q = (1 + 1L + 2 L2 + … + q Lq) ut = L) ut 其中 1, 2, …, q 是回归参数，ut 为白噪声过程，则上式称 为 q 阶移动平均过程， 记为 MA(q) 。 之所以称 “移动平均” ， 是因为 xt 是由 q +1 个 ut 和 ut 滞后项的加权和构造而成。 “移 动”指 t 的变化， “平均”指加权和。
某河流一年的水位值，{x1, x2, „, xT-1, xT,}， 可以看作一个随机过程。 每一年的水位纪录则是 一个时间序列，{x11, x21,ຫໍສະໝຸດ Baidu„, xT-11, xT1}。而在 每年中同一时刻（如 t = 2 时）的水位纪录是不 相同的。
例如，要记录某市日电力消耗量，则每日的电力
消耗量就是一个随机变量，于是得到一个日电力
3 2
4 DJPY 2
1 0 -1
-2 0
-2 -3 20 40 60 80 white noise 100 120 140 160 180 200
-4 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由白噪声过程产生的时间序列
日元对美元汇率的收益率序列
19
3200 2800 2400 2000 1600 1200 800 2003 2004 2005 sp 2006
确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的 过程。例如，真空中的自由落体运动过程，电容
器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。
2014-5-31
7
非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间
t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事
物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的
结果是不相同的。
例如，对河流水位的测量。其中每一时刻的水 位值都是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作 为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。 这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才 能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同 的。
随机过程与时间序列的关系图示如下
随机过程 : {x1 , x2 , …, xT-1 , xT,} xT1 } xT2 } xTn}
第 1 次观测： {x11 , 第 2 次观测： {x12 , 第 n 次观测： {x1 n,
x2 1 , …, xT-1 1 , x2 2 , …, xT-1 2 , x2 n, …, xT-1 n,
程是平稳的；如果若干个或全部根取值在单位 圆之内，则该过程是强非平稳的。 除此之外还有第三种情形，即特征方程的 若干根取值恰好在单位圆上(根的值等于1)。 这种根称为单位根，这种过程也是非平稳的。 下面介绍这种重要的非平稳随机过程。
(L) xt = (L) ut
其中 (L) 和 (L) 分别表示 L 的 p, q 阶特征多项式。
AR( p) ARMA( p,0) MA(q) ARMA(0, q)
4、单整自回归移动平均过程
以上介绍了三种平稳的随机过程。对于 ARMA过程（包括AR过程），如果特征方程
(L) = 0 的全部根取值在单位圆之外，则该过
xt - xt -k = k xt = (1- Lk ) xt = xt – Lk xt
k阶差分常用于季节性数据的差分
17
例如，要记录某市日电力消耗量，则每日的电力消耗量就 是一个随机变量，于是得到一个日电力消耗量关于天数 t 的函 数。而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程 {xt }, t = 1, 2, … 365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机 过程是离散型随机过程。 而一年的日电力消耗量的实际观测值 序列就是一个时间序列。 自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。 如工业生 产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程， 某地 100 年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程 等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如 一个国家的年 GDP 序列，年投资序列，年进出口序列等。
2014-5-31 8
随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称
为随机过程，用{x，tT}表示，随机过程简记 为 {xt} 或 xt 。随机过程也常简称为过程。 随机过程一般分为两类。一类是离散型的， 一类是连续型的。如果一个随机过程{xt}对任意 的tT 都是一个连续型随机变量，则称此随机过 程为连续型随机过程。如果一个随机过程{xt}对
的全部根的绝对值必须大于1。
25
自回归与移动平均过程的关系 ① 一个平稳的 AR(p)过程 (1 - 1L - 2L2 -… - pLp ) xt = ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程， xt = (1 - 1L - 2L2 -… - pLp )-1 u t = L)-1 ut ② 一个可逆的 MA(p)过程 xt = (1 + 1L + 2 L2 + … + q Lq ) ut = L) ut 可转换成一个无限阶的自回归过程， (1 + 1L + 2 L2 + … + q Lq)-1 xt = L) -1 xt = ut ③对于 AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是 L) = 0 的根（绝 对值）必须大于 1。不必考虑可逆性问题。 ④对于 MA(q)过程，只需考虑可逆性问题，条件是 L) = 0 的根 （绝对值）必须大于 1，不必考虑平稳性问题。
时间序列模型
2014-5-31
1
时间序列模型
一、 随机过程、时间序列 二、 时间序列模型的分类 三、 自相关函数 四、 偏自相关函数 五、时间序列模型的建立与预测
用什么方法去分析我国外商直接投资的变化趋势 和国内生产总值的变化趋势.
大部分同学都使用了时间变量或者虚拟变量作
为被解释变量来分析外商直接投资的变化趋势。也
消耗量关于天数t的函数。而这些以年为单位的
函数族构成了一个随机过程 {xt}, t = 1, 2, … 365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这 个随机过程是离散型随机过程。而一年的日电力 消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。
14
自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳. 如工业生产中对液面、压力、温度的控制过 程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资 料，单位时间内路口通过的车辆数过程等。但经 济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的 。如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进
就是说采用回归分析的方法来分析外商直接投资和
国内生产总值的变化趋势.
2014-5-31
3
回归分析方法主要是以经济理论为基础,根据几个 变量之间的因果关系,建立回归模型来分析变量之
间的关系,以达到分析的目的.
回归分析方法既可以分析横截面数据,也可以分析
时间序列数据.
2014-5-31
4
时间序列分析方法由美国学者博克思 Box-Jenkins 和 英国学者詹金斯 (G. M. JENKINS) 首先提出。它适用于 各种领域的时间序列分析。 时间序列模型不同于一般的经济计量模型的两 个特点是： ⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据，而是 依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间 序列的变化。 ⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序 列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成 平稳的时间序列，再考虑建模问题。
20
二、 时间序列模型的分类
1、自回归过程(Auto-regressive model,AR) 如果一个随机过程可表达为 xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + … + p xt-p + ut , 其中i, i = 1, … p 是自回归参数，ut 是白噪声过程，则称 xt 为 p 阶自回归过程，用 AR(p)表示。xt 是由它的 p 个滞后变量 的加权和以及 ut 相加而成。 若用滞后算子表示 (1- 1L - 2 L2 - …- p Lp ) xt = L) xt = ut 其中 L) = 1- 1L - 2 L2 - …- p Lp 称为特征多项式或自回归 算子。
任意的tT 都是一个离散型随机变量，则称此随
机过程为离散型随机过程。
9
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；
2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数；
符合三个条件的过程称为平稳的随机过程. 非平稳序列
出口序列等。
15
3.差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减
的运算叫差分。首先给出差分符号。对于时间序
列x t ，一阶差分可表示为
x t - x t -1 = x t = (1- L) x t = x t - L x t
其中 称为一阶差分算子。L 称为滞后算子， 其定义是Ln x t = xt- n 。
注意： （1）由定义知任何一个q 阶移动平均过 程都是由q + 1个白噪声变量的加权和组成， 所以任何一个移动平均过程都是平稳的。
（2）与移动平均过程相联系的一个重要概念是 可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特 征方程。
L) = (1 + 1 L+ 2 L2 + … + q Lq)= 0
与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对 于自回归过程AR(p)，如果其特征方程
L) = 1- 1 L - 2 L2 - …- p L p
= (1 – G1 L) (1 – G2 L) ... (1 – Gp L) = 0
的所有根的绝对值都大于1，则称AR(p)是一个平 稳的随机过程。
有趋势的序列：线性的，非线性的 有趋势、季节性和周期性的复合型序列
10
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
随机序列{xt}对任何xt和xt+k都与t不相关，且均 值为零，方差为有限常数
Ext 0
2 r0 x
rk 0( k 0)
正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布
2.时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，也用{x t }或 x t 表示。 与随机过程相对应，时间序列分类如下， 连续型* （心电图，水位纪录仪，温度纪录仪） 时间序列 从相同的时间间隔点上取自连续变化的 序列（人口序列） 离散型 一定时间间隔内的累集值 （年粮食产量， 进出口额序列） 时间序列中的元素称为观测值。
一、 随机过程、时间序列
为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过 程？时间序列不是无源之水。它是由相应随机 过程产生的。只有从随机过程的角度认识了它 的一般规律,对时间序列的分析才会有指导意义 ,对时间序列的认识才会更深刻。
自然界中事物变化的过程可以分成两类。 一类是确定型过程，一类是非确定型过程。
3、自回归移动平均过程 由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移 动平均过程，记为 ARMA(p, q), 其中 p, q 分别表示自回归和移动平 均部分的最大阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式是 xt = 1xt-1 + 2xt-2 +…+ p xt-p + ut + 1ut-1 + 2 ut-2 + ...+ q ut-q 即 (1 - 1L - 2 L2 -… - p Lp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ … + q Lq ) ut 或