高数-导数概念及应用

(2)可导函数的极值点 x0 一定满足 f (x0 )＝0，但当 f (x1)＝0 时，x1 不一定是极值点．如 f(x)＝x3， f (0)＝0， 但 x＝0 不是极值点．
核心导语
3 个必知条件——导数应用中的三个重要结论
(1) f (x)>0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充
导数
知识网络
导数概念 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
核心导语
一、导数概念及运算
1个重要区别——“过某点”与“在某点”的区别
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线” 的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定 在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2项必须防范——导数运算中应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子符号，防 止与乘法公式混淆． (2)含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
核心导语
3种必会方法——求导数的基本方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导． (2)根式形式：先化为分数指数幂、再求导． (3)复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差， 再求导.
内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的
个数为 1 .
第1讲 导数及其应用
考向一 导数的基本运算
例1 求下列函数的导数．
热 点
(1)y＝exlnx；
考 向
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝ x＋xx52＋sinx；
(4)y＝1－1 x＋1＋1 x.
求导求错， 那导数这道 题你就挂 了！！！
(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的
导数法则，减少失误．
(3)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣
法则，记准公式，预防犯运算错误．
第1讲 导数及其应用
[学以致用]
1. 求下列函数的导数．
热 (1)y＝2xlnx；
点
考 向
(2)y＝excosx；
(3)y＝1－x x＋lnx；
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小 值统称为 极值 ．
第1讲 导数及其应用
必
备
[填一填]
考 点
(1)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝ 2 处取得极小值．
(2)函数 y＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a＋b＝ －2.
(3)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f (x)在(a，b)
横坐标为 2 .
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 2 基本初等函数的导数公式
点原函数导函数f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f (x)＝0 f (x)＝nxn－1
f(x)＝sinx
f (x)＝cosx
f(x)＝cosx
f (x)＝－sinx
第1讲 导数及其应用
必
备
考
f(x)＝ax f (x)＝axlna(a>0 且 a≠1)
二、导数应用（一）
1个重要前提——定义域为前提 当确定函数的单调区间，求函数的极大(小)值时，都应首 先考虑定义域，函数的单调区间应是其定义域的子集．
核心导语
2 项必须注意——单调区间的表示和极值的理解 (1) 对 于 含 有 两 个 或 两 个 以 上 的 单 调 增 区 间 ( 或 单 调 减 区 间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“ ∪ ” 连接．
考
点
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负
有如下关系：
如 果 f (x) 0 ， 那 么 函 数 y f (x) 在 这 个 区 间 内 单调递增；
如 果 f (x) 0 ， 那 么 函 数 y f (x) 在 这 个 区 间 内 单调递减；
如 果 f (x) 0 ， 那 么 y f (x) 在 这 个 区 间 内 为常数 ．
导数地位
2.“导数” 是高中数学知识----函数内容的继续。 导数这一章的第一，二节的“导数的概念与运算” 都是以函数作为研究对象，而第三，四节“导数 的应用，定积分与微积分基本定理”又是利用简 捷明快的导数知识研究函数的若干性质。所以， “导数”在研究函数的变化率，或者在解决一些 实际生活中的最值问题时都具有明显的优势。 可以这样说，“导数及其应用” 在高中数学中占 有重要地位，是学生分析和解决数学问题必不可 少的工具，当然也是高考重点考查的内容之一。
2 x 3
sin
x
x 2
cos
x.
2
第1讲 导数及其应用
(4)y＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
热 点
∴
y＝
( 1
2
x
)＝0－21－1－xx2′＝1－2 x2.
考
向
第1讲 导数及其应用
函数求导时注意的几个问题
热 点
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减
考 向
少运算量．
(4) y (xs3i＋nx1)′＝sinx′x3＋x13＋－1si2nxx3＋1′
＝cosxx3＋x3＋1－123x2sinx.
第1讲 导数及其应用
考向二 导数的几何意义
例 2 (1)[江西高考]若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的
热 点
切线经过坐标原点，则 α＝________.
考 向
(2)[课标全国卷]曲线 y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线
方程为________．
第1讲 导数及其应用
[解析] (1)求导得 y αxα－1，切线的斜率 k＝α，由点斜式
得切线方程为 y－2＝α(x－1)．
热
∵切线经过原点(0,0)，∴－2＝α×(－1)，∴α＝2.
点
考 向
(2)因为 y 3lnx＋4，故 y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处
； ；
．
第1讲 导数及其应用
必
备 考
[填一填]
点 (1)y＝3x3＋2x2－3x 的导数 y 9x2＋4x－3.
(2)曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为 y＝2x＋1 .
(3)设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋23上的任意一点，曲线
在 P 点处的切线的倾斜角为 α，则角 α 的取值 范围是 [0，2π)∪[23π，π) .
第1讲 导数及其应用
[解] (1) y＝exlnx＋ex·1x＝ex(1x＋lnx)．
(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
热
点
∴ y 3x2＋12x＋11.
考
向
1
y
x2
x5 x2
sin
x
3
x2
x3
sin x x2
,
y
(
x
3 2
)
(
x3
)
(
x2
sin
x)
3
5
x2
3x2
f (x0 )是函数 f (x)在点 x0 处的函数值．
第1讲 导数及其应用
必 备
考 [填一填]
点
(1)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 1 .
(2)曲线 y＝x3－2x＋1 在点(1,0)处的切线方 程为 y＝x－1 .
(3)直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝lnx(x>0)的一条切线，则切点
向
高
考
密 码
限
时
特 训
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 1 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
点
1.定义
lim f (x0 x) f (x0 )
称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率x0
x
＝ lim x0
y x
为函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的导数，记作
f
( x0
)或
y′|x＝x0，
点
f(x)＝ex
f (x)＝ex
f(x)＝logax f (x)＝xl1na(a>0 且 a≠1)
f(x)＝lnx
f (x)＝1x
第1讲 导数及其应用
必
备 考
[填一填]
1
点
(1)若 y＝ x，则 y 2 x ；
y＝x12，则 y －x23
；
1
y＝log3x，则 y xln3 .
(2)已知 f(x)＝xm，若 f (1) ＝－4，则 m＝ 4 .
第1讲 导数及其应用
必
备 考
2．函数的极大值
点
函数 y＝f(x)在点 x b的函数值 f(b)比它在点 x b附
近的其他点的函数值都 大 ， f (b) 0，而且在点 x b附 近的左侧 f ( x) 0，右侧 f ( x) 0，则点 b 叫做函数
y f (x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的 极大值 ．
点
1.函数的极小值
函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都 小 ， f (a)=0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f ( x) 0，右侧 f ( x) ，0则点 a 叫做函
数 y ＝ f(x) 的 极 小 值 点 ， f(a) 叫 做 函 数 y ＝ f(x) 的 极小值 ．
的切线方程为 y－1＝4(x－1)，化为一般式方程
为 4x－y－3＝0.
第1讲 导数及其应用
必
备 考
[填一填]
1
点
(1)y＝ 2x的导数 y 2x 1 .
(2)y＝ln(1－x)的导数 y x－1 .
(3)y＝e－2x 的导数是 y －2·e－2x .
(4)y＝cos(2x－π6)的导数是 y －2sin(2x－6π) ．
第1讲 导数及其应用
必
备
考点 5 函数的单调性与导数的关系
即
f
(
x0
)
＝
lim
x0
y x
＝
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
.
①函数y=f(x)在点x处的平均变化率是曲线y=f(x)的割线AB的斜率； ②函数y=f(x)在点x处的瞬时变化率是曲线y=f(x)的在这一点切线斜率；
第1讲 导数及其应用
函数图像在某点处
必
的切线斜率等于该
备
考 点
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 3 导数的运算法则
点
若 y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则
(1) f (x) g(x) f (x)±g(x)
(2) f (x) g(x) f (x)g(x)＋f(x) g(x)
(3)
f g
(x) (x)
f (x)g(x) g(x) f (x)
g ( x)2
第1讲 导数及其应用
必
备
考 点
[填一填]
(1)函数 f(x)＝x3－3x2 的单调递减区间是 (0,2) ．
(2)已知 a>0，f(x)＝x3－ax 在[1,2]单调递增，
则 a 的最大值是 3 .
(3)函数 y＝x－lnx 的单调递减区间是 (0,1) .
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 6 函数的极值与导数的关系
2．几何意义
函数在该点处的导
数值
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f (x0 )的几何意义是在曲线
y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度
就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线 方程为 y－f(x0)＝ f (x)(x－．x0)
[想一想] f (x)与 f (x0 )有何区别与联系？ 提示： f (x)是一个函数， f (x0 )是函数值，
分条件．
(2)对于可导函数 f(x)， f (x0 )＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极
值的必要不充分条件．
(3)可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f (x0 )＝0，且在 x0 左侧与右侧 f (x)的符号不同.
核心考点
必 备 考 点
热
点 考
第1讲 导数及其应用（一）
导数及其应用（一）
一 导数地位 二 知识网络 三 核心导语 四 核心考点
导数地位
1.“导数”是高等数学中微积分的初步知识， 也是进一步学习高等数学其它知识，以及其他 自然学科的基础。而导数的几何意义，在体现 了“数形结合”这一高中数学的重要数学思想 的同时，又为我们展现了“无限趋近”，“以 直代曲”的辩证思想，这既是微积分的核心所 在，又是以后研究与曲线有关的问题的基本思 想和方法。所以“导数”是学习和研究近代科 学技术必不可少的工具。
第1讲 导数及其应用
必
备 考
考点 4 复合函数的导数
点 设函数 u＝φ(x)在点 x 处有导数u (x)，函数 y＝f(u)
在点 x 的对应点 u 处有导数 y f (u)，则复合函数
y＝f(φ(x))在点 x 处也有导数 yx fu ux，即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
(4)y＝xs3i＋nx1.
第1讲 导数及其应用
解：(1) y 2xln2lnx＋1x·2x＝2x(ln2lnx＋1x)．
(2) y (excosx)′＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
热
点
考 向
(3) y (1－x x＋lnx)′＝(1x－1＋lnx)′＝－x12＋1x.