《周期数列》专题

《周期数列》专题

2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

3．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n

a n －1(n ≥2)，则a 5等于(

) A.32 B.53 C.85 D.23

答案 D

解析 a 2＝1＋(－1)2

a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12

， a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5

a 4＝23.

数列的周期性

典例 数列{a n }满足a n ＋1＝1

1－a n

，a 8＝2，则a 1＝ .

答案 12

解析 ∵a n ＋1＝1

1－a n

，

∴a n ＋1＝11－a n ＝

11－11－a n －1

＝1－a n －1

1－a n －1－1

＝1－a n －1

－a n －1＝1－1

a n －1

＝1－1

11－a n －2

＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3，

∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.

∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝1

1－a 1，∴a 1＝12.

跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1， a 1＝35

，则数列的第2 018项为 ．

答案 15

解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15

， a 3＝2×15＝25

， a 4＝2×25＝45

， a 5＝2×45－1＝35

， ∴{a n }为周期数列且T ＝4，

∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15

. (2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1

，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( )

A ．504

B ．588

C ．－588

D ．－504 答案 C

解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1

，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76

，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.

4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2

(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( ) A ．3

B ．2 C.12

D.23

答案 A

解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12

， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23

， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6

＝3， ∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，

∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

5.数列{a n }满足a 1=2,a n+1=,则a 2019= ( )

A .

B .-

C .2

D .-3

5.数列{a n }满足a 1=1,a n =1+

（n >1）,则a 2= ( )

A .1

B .2

C .3

D .4

5.数列{a n }满足a 1=2,a n +1=

,则a 2019= ( ) A .1 B .2

C .3

D .4