高中物理必修一教案第六节向心加速度

第五章曲线运动第六节向心加速度
【整体设计】
本节内容是在原有加速度概念的基础上来讨论“匀速圆周运动速度变化快慢”的问题.
向心加速度的方向是本节的学习难点和重点.要化解这个难点，首先要抓住要害，该要害就是“速度变化量”。

对此,可以先介绍直线运动的速度变化量，然后逐渐过渡到曲线运动的速度变化量，并让学生掌握怎样通过作图求得曲线运动的速度变化量,进而最后得出向心加速度的方向。

向心加速度的表达式是本节的另一个重点内容.可以利用书中设计的“做一做：探究向心加速度的表达式”让学生在老师的指导下自己推导得出,使学生在“做一做”中能够品尝到自己探究的成果,体会“成就感”.
在分析匀速圆周运动的加速度方向和大小时，对不同的学生要求不同，这为学生提供了展现思维的舞台，因此，在教学中要注意教材的这种开放性，不要“一刀切”。

这部分内容也可以以小组讨论的方式进行，然后由学生代表阐述自己的推理过程。

教学重点: 1.理解匀速圆周运动中加速度的产生原因
2.掌握向心加速度的确定方法和计算公式.
教学难点: 向心加速度方向的确定和公式的应用
课时安排:1 课时
【三维目标】
知识与技能
1.理解速度变化量和向心加速度的概念.
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.
过程与方法
1.体验向心加速度的导出过程
2.领会推导过程中用到的数学方法.
情感态度与价值观
培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情、乐于学习的品质.
【课前准备】
教具准备：多媒体课件，实物投影仪等.
知识准备：复习以前学过的加速度概念以及曲线运动的有关知识，并做好本节内容的预习.
【教学过程】
[导入新课]
情景导入：
通过前面的学习我们知道在现实生活中,物体都要在一定的外力作用下才能做曲线运动,如下列两图（投影给出）
地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 小球绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
对于图中的地球和小球,它们受到了什么样的外力作用?它们加速度的大小和方向如何确定? 这就是本节我们要讨论的主要内容 复习导入：
前面我们已经学习了曲线运动的有关知识，请完成以下几个问题(投影给出题目,让学生思考后再给出答案)：
1.加速度是表示 的物理量，它等于 的比值.在直线运动中，v 0表示初速度，v t 表示末速度，则速度变化量Δv = .加速度公式a = ，其方向与速度变化量方向 .
答案：速度改变快慢 速度的改变跟发生这一改变所用时间 v t －v 0 t
v v t 0
－ 相同 2.在直线运动中，取初速度v 0方向为正方向，如果速度增大，末速v t 大于初速度v 0，则Δv =v t －v 0 0（填“>”或“<”），其方向与初速度方向 ；如果速度减小，Δv =v t －v 0 0，其方向与初速度方向 .
答案：> 相同 < 相反
3.在圆周运动中，线速度、角速度的关系是 . 答案：v =ωr
对于匀速圆周运动中的加速度又有哪些特点呢?这就是我们这节课要谈论的主要内容. [推进新课]
下面，我们将对圆周运动中的加速度做一般性的谈论. 一、速度变化量
引入：从加速度的定义式t
v
a ∆∆=
可以看出，a 的方向与v ∆相同，那么v ∆的方向又是怎样的呢？ 指导学生阅读教材中的 “速度变化量”部分，引导学生在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量Δv 的图示。

问题：
1、速度的变化量Δv 是矢量还是标量？
2、如果初速度v 1和末速度v 2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv ？ 投影学生所画的图示，点评、总结并强调：(投影给出以下内容) 结论：（1）直线运动中的速度变化量：
如果速度是增加的，它的变化量与初速度方向相同（图1甲）；如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反（图1乙）.
图1
（2）曲线运动中的速度变化量：
物体沿曲线运动时，初末速度v 1和v 2不在同一直线上，速度的变化量Δv 同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A 向B 运动，在A 、B 两点的速度分别为v 1、v 2（图2）.在此过程中速度的变化量如图3所示.
图2 图3
可以这样理解：物体由A运动到B时，速度获得一个增量Δv，因此，v1与Δv的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时，可以以F1、F2为邻边作平行四边形，则F1、F2所夹的对角线就表示合力F.与此类似，以v1和Δv为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就是v1和Δv的矢量和，即v2.如图4所示. 因为AB与CD平行且相等，故可以把v1、Δv、v2放在同一个三角形中，就得到图3所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.
图4
利用课件动态模拟不同情况下的Δv，帮助学生更直观地理解这个物理量.
二、向心加速度
1、向心加速度的方向
投影图5，并给出以下问题，引导学生阅读教材“向心加速度”部分：
图5
问题：
（1）在A、B两点画速度矢量v A和v B时，要注意什么？
（2）将v A 的起点移到B 点时要注意什么？
（3）如何画出质点由A 点运动到B 点时速度的变化量Δv ？ （4）Δv ／Δt 表示的意义是什么？
（5）Δv 与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv 与圆的半径平行？
让学生亲历知识的导出过程，体验成功的乐趣.讨论中要倾听学生的回答，必要时给学是以有益的启发和帮助，引导学生解决疑难，回答学生可能提出的问题.
利用课件动态展示上述加速度方向的得出过程.师生互动，得出 结论：上面的推导不涉及“地球公转”、“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：作匀速圆周运动的物体加速度指向圆心.这个加速度称为向心加速度.
2、向心加速度的大小
引入： 匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢？ （1）公式推导：
指导学生按照书中“做一做”栏目中的提示，在练习本上推导出向心加速度大小的表达式.也就是下面这两个表达式：
2
n v a r
= 2n a r ω=
巡视学生的推导情况，解决学生推导过程中可能遇到的困难，给与帮助，回答学生可能提出的问题. 投影学生推导的过程，和学生一起点评、总结. 推导过程如下（用课件进行动态展示）：
在图5中，因为v A 与OA 垂直，v B 与OB 垂直，且v A =v B ，OA =OB ，所以△OAB 与v A 、v B 、Δv 组成的矢量三角形相似.
用v 表示v A 和v B 的大小，用Δl 表示弦AB 的长度，则有
v v ∆=r
l ∆或Δv =Δl ·r v
用Δt 除上式得t v ∆∆=t l ∆∆·r v
当Δt 趋近于零时，t
v
∆∆表示向心加速度a 的大小，此时弧
对应的圆心角θ很小，弧长和弦长相
等，所以Δl =r θ，代入上式可得a n =t v ∆∆=t
r ∆θ·r v
=v ω
利用v =ωr 可得a n =r
v 2
或a n =r ω2.
（2）对公式的理解：
引导学生思考并完成“思考与讨论”栏目中提出的问题.深化本节课所学的内容.
强调：①在公式y =kx 中，说y 与x 成正比的前提条件是k 为定值.同理，在公式a n =r
v 2
中，当v
为定值时，a n 与r 成反比；在公式a n =r ω2中，当ω为定值时，a n 与r 成正比.因此，这两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾. ②对于大、小齿轮用链条相连时，两轮边缘上的点线速度必相等，即
有v A =v B =v .又a A =A r v 2，a B =B
r v 2
，所以A 、B 两点的向心加速度与半径成反比. 而小齿轮与后轮共轴，因
此两者有共同的角速度，即有ωB =ωC =ω.又a B =r B ω，a C =r C ω，所以B 、C 两点的向心加速度与半径成正比.
（3）、向心加速度的几种表达式
问题：除了上面的a n =r
v 2、a n =r ω2外，向心加速度还有哪些形式呢？
先让学生思考后，给出如下内容： 结论：联系ω=
T
π
2=2πf ，代入a n =r ω2可得： a n =22
π4T
r 和a n =4π2f 2r
至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种. 3、向心加速度的物理意义：（投影给出）
因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量.
三、典例探究
（题目先投影给出，让学生思考后再给出解析内容）
例1、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ） A.它们的方向都沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小 解析：如图所示
地球表面各点的向心加速度方向（同向心力的方向）都在平行赤道的平面内指向地轴.选项B 正确，选项A 错误.在地面上纬度为φ的P 点，做圆周运动的轨道半径r ＝R 0co s φ，其向心加速度为
a n ＝r ω2＝R 0ω2cos φ.
由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D 正确，选项C 错误.
答案： BD
点评：因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．运动，它们．．．．．的转动中心（圆心）都在地轴上，而不是地球球心．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
，向心力只是引力的一部分（另一部分是重力），向
心力指向地轴，所以它们的向心加速度也都指向地轴.
例题2、 如图所示为一皮带传动装置.右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，距小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中皮带不打滑，则（ ）
A.a 点与b 点的线速度大小相等
B.a 点与b 点的角速度大小相等
C.a 点与c 点的线速度大小相等
D.a 点与d 点的向心加速度相等
解析：如皮带不打滑，a 、c 两点的线速度相等，故C 选项正确.又a 、c 两点半径不同，则角速度不同，由v =r ω得ωa =2ωc
同一轮上各点角速度相等，所以B 选项是不正确的.但同一轮上各点线速度不等，即b 、c 两点的线速度不等，所以b 与a 两点的线速度也不相等，A 选项也不正确.向心加速度a =r ω2，得a 、d 两点的向心加速度分别为a a =r ωa 2和a d =4r ωd 2=4r （
2
a ）2
=r ωa 2，所以a a =a d ，选项D 正确. 答案：CD 四、课堂练习
1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ） A.它描述的是线速度方向变化的快慢 B.它描述的是线速度大小变化的快慢 C.它描述的是向心力变化的快慢 D.它描述的是角速度变化的快慢
解析：向心加速度不改变线速度的大小，只改变其方向. 答案：A
2.关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（ ） A.由a =v 2/r 知a 与r 成反比 B.由a =ω2r 知a 与r 成正比 C.由ω=v /r 知ω与r 成反比
D.由ω=2πn 知ω与转速n 成正比
解析：由关系式y =kx 知，y 与x 成正比的前提条件是k 为定值.只有当v 一定时，才有a 与r 成反比；只有当ω一定时，才有a 与r 成正比.
答案：D
3.一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R ，向心加速度为a ，则（ ） A.小球相对于圆心的位移不变
B.小球的线速度为Ra
C.小球在时间t 内通过的路程s =Rt a /
D.小球做圆周运动的周期T =2πa R /
解析：小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变.
由a =R v 2
得v 2=Ra ，所以v =Ra
在时间t 内通过的路程s =vt =t Ra
做圆周运动的周期T =
π
2=
v R π2=Ra R
π2=2πa
R
. 答案：BD
4.由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ ） A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B.它们的线速度之比v 1∶v 2=2∶1
C.它们的向心加速度之比a 1∶a 2=2∶1
D.它们的向心加速度之比a 1∶a 2=4∶1
解析：同在地球上，物体1与物体2的角速度必相等.设物体1的轨道半径为R ，则物体2的轨道半径为
R cos60°.所以
v 1∶v 2=ωR ∶ωR cos60°=2∶1 a 1∶a 2=ω2R ∶ω2R cos60°=2∶1. 答案：BC 5.如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线.由图象可知，甲球运动时，线速度大小 （填“变化”或“不变”、下同），角速度 ；乙球运动时，线速度大小 ，角速度 .
解析：由图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式a =r
v 2
，甲的线速度大小不变；而由
图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式a =ω2r ，说明乙的角速度不变.
答案：不变 变化 变化 不变
6.如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A 是大轮边缘上一点，B 是小轮边缘上一点，C 是大轮上一点，C 到圆心O 1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑.则A 、B 、C 三点的角速度之比
ωA ∶ωB ∶ωC = ，向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C = .
解析：A与B的线速度大小相等，A与C的角速度相等.
答案：1∶3∶1 3∶9∶1
[课堂小结]
让学生概括总结本节的内容.请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容.
投影给出本节小节：
[布置作业]
完成书后“问题与练习”中的题目.
[板书设计]
【活动与探究】
课题：关于电视画面中汽车轮胎的正反问题
过程：在电视画面中我们常常会看到一辆向前奔驰的汽车，它的轮子一会儿在正转，一会儿又在倒转。

假设轮子的辐条如图所示，请解释造成这种现象的原因是什么？并分析什么情况下出现正转现象？什么情况下出现倒转现象？（参考资料：电视画面是每隔1/30秒更迭一帧，人的视觉暂留时间为0.1秒）
【习题讲解】
1.解析：本题主要考查对向心加速度的各种表达式的理解和掌握.
线速度相等时，考虑a =r
v 2
周期相等时，考虑a =22
π4T
r
角速度相等时，乙的线速度小，考虑a =ωv 线速度相等时，甲的角速度大，考虑a =ωv . 答案：A.乙的向心加速度大 B.甲的向心加速度大 C.甲的向心加速度大 D.甲的向心加速度大
方法点拨：向心加速度的这几种常用表达式要会根据已知条件灵活选用. 2.解析：已知周期，由ω=T
π2，代入a =ω2
r 得a =22π4T r .
将已知数据统一成国际单位后代入得
a =223600243.2714.34）
（⨯⨯⨯×3.84×108 m/s 2=2.7×10－3 m/s 2
. 答案：2.7×10－
3 m/s 2 方法点拨：一定要注意统一单位.
3.解析：在相同时间内的路程之比为4∶3，则由v =t
l
∆∆知线速度之比为4∶3；
又已知运动方向改变的角度之比是3∶2，所以角速度之比为3∶2.
利用公式a =v ω可得B A a a =B B A A v v ωω=34·23=12
.
答案：2∶1
4.解析：两轮边缘上各点的线速度必相等，则有v 1=v 2=v . 又因为r 1∶r 2=1∶3，所以
ω1∶ω2=
1
1r ∶22v =3∶1 （1）两轮的转速比等于角速度之比，即有
n 1∶n 2=ω1∶ω2=3∶1.
（2）在同一轮上各点的角速度必相等.由a =ω2r 知，A 点的转动半径为机器皮带轮的一半，故A 点的向心加速度为轮边缘的向心加速度的一半.即
a A =0.05 m/s 2.
（3）电动机皮带轮边缘上点的向心加速度a 1=12
r v
机器皮带轮边缘上点的向心加速度a 2=2
2
r v
所以a 1∶a 2=r 2∶r 1=3∶1 得a 1=3a 2=0.30 m/s 2. 答案：（1）3∶1 （2）0.05 m/s 2 （3）0.30 m/s 2
【设计点评】 思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，本课的设计就特别注重了这一点.另外，多媒体的灵活应用也能很好的帮助学生理解有关概念.典型例题和针对性的演练题目也是本课的重要组成部分，可使学生更深的理解和应用知识。

【备课资料】
如何理解向心加速度的含义
分析：速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向(如坐标轴)之间的夹角来描述.做匀速圆周运动的物体的速度方向(圆周的切线方向)时刻在变化，在Δt 时间内速度方向变化的角度Δφ，等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T 内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度.因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度，即ω=
T
t π
ϕ2=∆∆ 上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢.角速度相等，速度方向变化
的快慢相同.
由向心加速度公式a =ω2
r =r
v 2
=v ω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速
度的大小有关，从a =v ω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积.
例如：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A 、B 、C 三点，它们有相同的角速度ω,但线速度不同，
v A =r A ω,v B =r B ω,v C =r C ω，如图所示.因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等.a A <a B <a C .
又如：A 、B 两个物体分别沿半径为r A 和r B 做圆周运动，r A =2
1r B ，它们的角速度不同，设ωA =2ωB ，因此它们的线速度的关系为v A =2
2v B ，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即a A =a B .但速度方向变化的快慢却不同.
综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率.速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢.
关于向心加速度的深入分析
(1)向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度而不是平均加速度。

在匀速圆周运动中，加速度不是恒定的，这里的向心加速度，是指某时刻或某一位置的瞬时加速度，它等于包含该时刻(或该位置)在内
的一小段时间内的平均加速度的极限值，即t
v a n ∆∆=lim ，公式r v a n 2
=中的速度应为瞬时速度值。

(2)向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。

在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体做圆周运动的实际加速度，而在一般的非匀速圆周运动中，它只是物体实际运动的加速度的一个分加速度，另一个分加速度为切向加速度，如图所示。

可见物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心，只有匀速圆周运动的加速度才一定指向圆心；但向心加速度方向始终沿着半径指向圆心。

’
圆周运动的切向加速度是描述圆周运动的线速度的大小改变快慢的，向心加速度是描述线速度的方向改变快慢的。