数值流形方法

Ti x, y Di
i 1
n
定义在物理覆盖Ui上的覆盖位移函数ui(x,y),vi(x,y)可以是常量、线性的、 高阶多项式或局域级数，用权函数wi(x,y)连接在一起。
wi x, y 0
wi x, y 0
xU j
2012/9/27
( x, y ) U i ( x, y ) U i
平衡方程的建立
利用最小势能原理，建立系统的平衡方程。
ui ( x, y ) 1 0 x 0 vi ( x, y ) 0 1 0 x
y 0
0 y
x2 0
0 x2
y2 0
0 y2
xy 0
K11 K 21 K n1
K12 K 22 Kn2
K1n D1 F1 D F K2n 2 2 K nn Dn Fn
2012/9/27 数值流形方法 2
由数学网格和物理网格生成的有限覆盖
流形——来源于拓扑流形和微分流形，是把许多 个别的重叠的区域连接在一起，去覆盖全部材料 体，总体形状可用局部覆盖所定义的函数来计算。 数值流形与微分流形的区别 微分流形的总体函数是高度可微分的，完全可被 定义而与覆盖无关； 数值流形的总体函数是在覆盖基础上定义的，只 分段微分，在接触交面上几乎都不连续。
2012/9/27 数值流形方法 3
数学覆盖和物理网格
数学覆盖 由用户选择，由占整个材料体的许多有限重叠覆 盖组成，如常规的网格、规则的格子、有限元的 网格等。数学覆盖只定义解的精度。 物理网格 作为实际的材料边界，定义其积分区域。包括材 料体的边界、裂缝、块体和不同材料区域的交界 面，不变化的水面也是物理网格的一部分。 物理网格代表材料条件，不能人为地选择。
8
DDA块体的一般覆盖系统
在DDA中，材料体是 许多简单的个别块体， 每块都是一个数学覆盖， 且各个数学覆盖是一个 物理覆盖。 数学覆盖和物理网格 是一样的，所有覆盖都 不重叠，所以DDA是流 形方法的完全不连续情 况。
有限覆盖的覆盖函数和权函数
覆盖位移函数是对各个物理覆盖独立定义的。 物理覆盖Ui上的覆盖函数ui(x)可以是常数、线性、高阶多项式或局部 级数。 这些覆盖函数用权函数wi(x)联系起来。
18
Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
q
一阶函数
Te ( r ) x,Байду номын сангаасy De ( r )
r 1
ui ( x, y ) 1 0 x 0 vi ( x, y ) 0 1 0 x
y 0
wi x 0
wi x 0
xU j
x Ui x Ui
w j x 1
权函数的含义是加权平均，它对所有含x的物理覆盖Ui取每个覆盖函 数ui(x)的百分数。
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2012/9/27
数值流形方法
总体函数
流形方法中，覆盖函数独立地建立在单个物理覆盖上， 然后将局部位移函数用权函数加权连接在一起，形成总体 位移函数。 覆盖函数可以是常数、线性函数、非线性函数等； 权函数可以是线性函数，也可为非线性函数。由它们的 不同组合可得到不同的总体位移函数。
t T x, y t
ij
t1,2 j x, y 1, 2 j 1 x, y 2,2 j 1 x, y t2,2 j x, y
——
位移矩阵
w j x, y 1
D d
ij
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d i , 2 j 1 i ,2 j
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数值流形方法
数值流形方法
Numerical Manifold Method(NMM)
NMM是一种新的数值计算方法，它统一解决有限元、 DDA和解析法的计算问题，能同时处理连续和非连 续问题，具有广泛的应用前景。
数值流形方法是利用现代数学——“流形”的有限 覆盖技术建立起来的一种最新数值方法。 有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成，可以处 理连续问题和非连续问题。 有限元在流形方法中只有一个单一的物理覆盖，它 覆盖了全部数学覆盖。 DDA在流形方法中，则有许多物理覆盖，它们各自 覆盖一部分数学覆盖。 有限元和DDA在数值流形方法中只是两个特例。
Te ( r ) x, y De ( r )
q r 1
单元e的整体位移函数
在每个单元中，权函数有一个解析表达式，它是常量或是 可微分的单元函数。因此，单元e中的总体位移函数通常有 解析表达式。 覆盖函数常常被表示为级数，级数的每项系数是未知数dij
( x, y ) e
ui ( x, y ) m f ij ( x, y ) vi ( x, y ) j 1 0
总体位移函数
ui x, y n m ux, y n wi x, y Tij x, y Dij v x, y i 1 vi x, y i 1 j 1
ui x, y vi x, y
( x, y ) U i ( x, y ) U i
1
12 21
2132
2131
V1
12
12 2132
112 2
112 2 31
1131
2 2 31
31
11
V3
部两 分个 定或 义更 为多 单的 元物 理 覆 盖 的 共 同
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11
12 22
2 3 4 5 6 7
21
31
32
41
51
61
71
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数值流形方法
数值流形方法
22
D( e) D( e) 是在时间 设 D( e ) 0 0 是在时间步起始时的单元位移， 步终了时的位移， 是时间步长。
w ( x, y ) f ( x, y ) T ( x, y ) 0
i ij ij

0 wi ( x, y ) fij ( x, y )
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数值流形方法
3
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一般覆盖可能的位移函数
二阶函数
d i1 d i2 di 3 di 4 di5 0 di 6 xy d i 7 di8 di 9 d i10 d i11 d i12
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0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) di ,2 j
数值流形方法
荷载矩阵的组成
荷载矩阵F由初应力矩阵、点荷载矩阵、体荷载矩阵、速 度矩阵及接触矩阵等组成。 初应力矩阵： {Fe ( r ) }
一般覆盖的惯性矩阵和速度矩阵
令 (u(x,y,t) v(x,y,t))T表示为单元e的任一点(x,y)与时间相关的位移，M为单 位面积的质量
A
速度矩阵： {Fe ( r ) }
2M
[T
A
e(r )
( x, y)]T [Te ( s ) ( x, y)]dxdy{Ve ( s ) (0)}
2 D( e ) t t 2
dxdy
r , s 1, 2,3
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,q
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一般覆盖可能的位移函数
常量函数
ui ( x, y ) 1 0 d i1 vi ( x, y ) 0 1 d i 2
d i1 d i2 0 d i 3 y d i 4 d i 5 d i 6
几种计算方法的精度对比
整个物理覆盖系统的总体函数根据下面的覆盖函数定义：
ux wi x ui x
i 1
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n
解析法和差分法
有限元法
离散元或DDA
流形元
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数值流形方法
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2
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二维流形方法的覆盖函数和权函数
覆盖位移函数
2 D( e ) t f x x, y , t 2 u x, y , t T( e ) x, y M 2 M f x , y , t v x , y , t t t 2 y
0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) d i.2 j
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数值流形方法
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数值流形方法
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单元e的整体位移函数
ue ( r ) x, y ux, y q we ( r ) x, y v x, y r 1 ve ( r ) x, y
单元e的惯性力势能为
f x x, y , t i u x, y , t v x, y , t dxdy A f y x, y , t
M u x, y , t v x, y , t T( e ) x, y
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物理覆盖与物理覆盖系统系统
物理覆盖系统是由数学覆盖和物理网格共同组成。 若裂缝或块体边界把一个数学覆盖分成两个或更 多的完全不连续的区域，这些区域被定义为物理 覆盖。 物理覆盖是不连续缝对数学覆盖的再剖分。
有一条裂缝的一般覆盖
用三个覆盖V1，V2，V3形成数学网格 V1被物理网格分成两 个物理覆盖11，12
12 21
V2
12 21
12 2132
112 2
2132
V2被分成两个物理覆 盖21，22 V3被分成两个物理覆 盖31，32
V1
112 2 31
1131
2 2 31
31
11
V3
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数值流形方法
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数值流形方法
6
1
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有两条裂缝的一般覆盖
V2
21
链状覆盖系统
q m 0 we ( r ) ( x, y ) f e ( r ) j ( x, y ) d e ( r ), 2 j 1 0 we ( r ) ( x, y ) f e ( r ) j ( x, y ) r 1 j 1 d e ( r ), 2 j
数值流形方法 14
数值流形方法
单元e的整体位移函数
单元e是多个覆盖的交集，则
ue ( r ) x, y q m ux, y q we ( r ) x, y Te ( r ) j x, y De ( r ) j v x, y r 1 ve ( r ) x, y r 1 j 1
一般级数函数
设物理覆盖数为n，每个物理覆盖有2m个未知数。 Di为覆盖i待求位移变量{di1 di2 … dim }。 Fi为i覆盖分布到2m个位移变量上的荷载{Fi1 Fi2 … Fim } 。 Kij是刚度矩阵子矩阵，为2m× 2m阶矩阵。
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ui ( x, y ) m f ij ( x, y ) vi ( x, y ) j 1 0
[B
A
(e)
]T { 0 }dxdy
r 1, 2,3
r 1, 2,3
,q
,q
单位面积的惯性力为
Fx 点荷载矩阵： {Fe ( r ) } [Te ( r ) ( x0 , y0 )]T Fy
fx 体荷载矩阵： {Fe ( r ) } A [Te ( r ) ( x, y )]T dxdy fy