2014高考数学一轮复习课件_6.3基本不等式

•1.利用基本不等式求最值，切莫忽视不等式 成立的三个条件：“一正——各项均为正数； 二定——积或和为定值；三相等——等号能 够取得”． •2．连续使用公式时取等号的条件很严格， 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一 致．
x＋y 1.基本不等式 ≥ xy (x＞0，y＞0)的逆用、变形使 2 用． 2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定” “等”的条件．
2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)． x＝y 那么当_________时，x＋y有最小值2 P.(简记：“积定 和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)． S2 那么当x＝y时，xy有最大值 .(简记：“和定积最大”) 4
•解实际应用题要注意以下几点： •(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数； •(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值； •(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求 解． •(4)检验是否满足实际意义，回答实际问题结 论．
3 4 (1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且 ＋ 的最小值是 x y ________． (2)(2013· 深圳调研)设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1， 则x＋y的最大值是________． 【解析】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， 3 4 3 4 3y 4x ∴ ＋ ＝(x＋y)( ＋ )＝ ＋ ＋7 x y x y x y ≥2 3y 4x · ＋7＝7＋4 3， x y
【解析】 设每件产品的平均费用为y元，由题意得 800 x 800 x y＝ ＋ ≥2 · ＝20. x 8 x 8 800 x 当且仅当 ＝ (x＞0)，即x＝80时，“＝”成立． x 8
【答案】
80
2 (1)已知0＜x＜ ，则y＝2x－5x2的最大值为______． 5 (2)(2012· 浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋ 4y的最小值是( ) 24 28 A. B. C．5 D．6 5 5
•第三节 基本不等式
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 a＞0，b＞0 (1)基本不等式成立的条件：_____________． a＝b (2)等号成立的条件：当且仅当_________时等号成立． a＋b 算术平均数 (3)其中 称为正数a，b的____________， ab称为正 2 几何平均数 数a，b的_____________．
【解析】 x y ∵x＞0，y＞0且1＝ ＋ ≥2 3 4 xy ，∴xy≤3. 12
x y 当且仅当 ＝ 时取等号． 3 4
•【答案】 3
4．(2013· 揭阳城质检)某车间分批生产某种产品，每批 的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时 x 间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到 8 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生 产产品应为________件．
1 1 1 1 1 【尝试解答】 (1) ＋ ＋ ＝2( ＋ )， a b ab a b ∵a＋b＝1，a>0，b>0， 1 1 a＋b a＋b a b ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2＝4， a b a b b a 1 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ≥8(当且仅当a＝b＝ 时等号成立)． a b ab 2 (2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b 1 b 1 a ∴1＋ ＝1＋ ＝2＋ ，同理1＋ ＝2＋ ， a a a b b
3y 4x 当且仅当 ＝ 且x＋y＝1，即x＝－3＋2 3 ，y＝4－ x y 2 3时等号成立， 3 4 ∴ ＋ 的最小值是7＋4 3. x y (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy， （x＋y）2 ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋ ， 4 2 3 2 3 解得－ ≤x＋y≤ ， 3 3 2 3 ∴x＋y的最大值为 . 3 2 【答案】 (1)7＋4 3 (2) 3 3
【解】 (1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， ∴1＝3－k，即k＝2. 2 ∴x＝3－ . m＋1 8＋16x 又∵每件产品的销售价格为1.5× (万元)． x 8＋16x ∴2012年的利润y＝x(1.5× )－(8＋16x＋m) x 2 ＝4＋8x－m＝4＋8(3－ )－m m＋1 16 ＝29－[(m＋1)＋ ](m≥0)． m＋1
•【思路点拨】 用长度x表示出造价，利用 基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜ x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内， 若不在定义域内，不能用基本不等式求最值， 可以考虑单调性． 12
【尝试解答】 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋ x × 16 400)＋5 800＝900(x＋ )＋5 800(0＜x≤5)， x 16 16 则y＝900(x＋ )＋5 800≥900×2 x× ＋5 800＝13 x x 000(元)， 16 当且仅当x＝ ，即x＝4时取等号． x 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
•1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等 号取不到，如何处理？ •【提示】 当等号取不到时，利用函数的单 调性求解．
2．设a＞0，b＞0，你能比较 的大小吗？ 1 1 ＋ a b
【提示】
a2＋b2 与 2
2
2ab 2ab ＝ ≤ ＝ ab， 1 1 a＋b 2 ab ＋ a b
2
且 ∴
a2＋b2 2ab ≥ ＝ ab， 2 2 a2＋b2 2 ≥ . 2 1 1 ＋ a b
• 某单位建造一间地面积为12 m2的背面 靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房 子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造 价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2， 屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果 墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面 的长度为多少时，总造价最低？
某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元 k (m≥0)满足x＝3－ (k为常数)，如果不搞促销活动，则 m＋1 该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的 固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万 元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本 的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包 括促销费用)． (1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万 元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的 利润最大？
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 1 1 1 1 1 (1) ＋ ＋ ≥8；(2)(1＋ )(1＋ )≥9. a b ab a b
【审题视点】
1 1 1 1 (1)第(1)小题把 ＋ 变形为 ，或把 a b ab ab
1 1 变形为 ＋ . a b (2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结 论．
3．常用不等式 2ab (1)a2＋b2≥_______ (a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( ) (a，b∈R)． 2 a＋b 2 a2＋b2 (3)( )≤ (a，b∈R)． 2 2 b a (4) ＋ ≥2(a，b同号)． a b
a＋b 2ab (5) ≤ ab≤ ≤ 2 a＋b
a2＋b2 (a＞0，b＞0)． 2
1．(人教A版教材习题改编)设0＜x＜1，则x(3－3x)取 得最大值时，x的值为( ) 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3
【解析】 ∵0＜x＜1， x＋（1－x） 2 3 ∴x(3－3x)≤3· ( )＝ ， 2 4 1 当且仅当x＝1－x，即x＝ 时等号成立． 2
•【答案】 B
1 1 1 2 当x>0时，x ＋ ≥2·x· ＝x，所以lg(x ＋ )≥lg 4 2 4 x(x>0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负 不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确； 1 当x＝0时，有 2 ＝1，故选项D不正确． x ＋1
2
•【答案】 C
x y 3．已知x，y∈R＋，且满足 ＋ ＝1，则xy的最大值为 3 4 ________．
16 (2)∵m≥0时，(m＋1)＋ ≥2 16＝8. m＋1 16 ∴y≤29－8＝21，当且仅当 ＝m＋1，即当m＝ m＋1 3(万元)时，ymax＝21(万元)． 所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的 利润最大，最大为21万元．
a2＋b2 a＋b 2 1. ≥( ) ≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取 2 2 等号)． a2＋b2 a＋b 2 2. ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅 2 2 1 1 ＋ a b 当a＝b时等号成立)．
bc ca ab 已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c
【证明】 ∵a＞0，b＞0，c＞0， bc ca bc ca ∴ ＋ ≥2 · ＝2c； a b a b bc ab bc ab ＋ ≥2 · ＝2b； a c a c ca ab ca ab ＋ ≥2 · ＝2a. b c b c bc ca ab 以上三式相加得：2( ＋ ＋ )≥2(a＋b＋c)， a b c bc ca ab 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c
【审题视点】 (1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件 3 1 变形 ＋ ＝1，然后注意“1”的代换． 5x 5y
【尝试解答】 －5x)，
1 (1)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ ·5x·(2 5
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜2，2－5x＞0， 5 5x＋2－5x 2 1 ∴5x(2－5x)≤( ) ＝1，则y≤ . 2 5 1 当且仅当5x＝2－5x，即x＝ 时等号成立． 5 1 2 ∴y＝2x－5x 的最大值ymax＝ . 5
1 1 b a ∴(1＋ )(1＋ )＝(2＋ )(2＋ ) a b a b b a ＝5＋2( ＋ )≥5＋4＝9. a b 1 1 1 ∴(1＋ )(1＋ )≥9(当且仅当a＝b＝ 时等号成立)． a b 2 1 1 1 1 1 法二 (1＋ )(1＋ )＝1＋ ＋ ＋ ， a b a b ab 1 1 1 由(1)知， ＋ ＋ ≥8， a b ab 1 1 1 1 1 故(1＋ )(1＋ )＝1＋ ＋ ＋ ≥9. a b a b ab
3 1 (2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得 ＋ ＝1. 5x 5y 3 1 ∴3x＋4y＝(3x＋4y)( ＋ ) ห้องสมุดไป่ตู้x 5y 13 3x 12y 13 3x 12y ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 · ＝5， 5 5y 5x 5 5y 5x 当且仅当x＝2y＝1时，等号成立． ∴3x＋4y的最小值为5.
•1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变 形后能使用基本不等式是代换的前提，不能 盲目变形． •2．利用基本不等式证明不等式，关键是所 证不等式必须是有“和”式或“积”式，通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式 转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时， 也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应 注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
2．(2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是( 2 1 A．lg(x ＋ )>lg x(x>0) 4 1 B．sin x＋ ≥2(x≠kπ ，k∈Z) sin x C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x ＋1
)
x＋y 【解析】 应用 ≥ xy (x＞0，y＞0)(当且仅当x＝y 2 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号 的条件．
1 【答案】 (1) 5 (2)C
•1．第(1)题凑配系数，使和为定值．第(2)小 题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代 换；本题的常见错误是条件与结论分别利用 基本不等式，导致错选A，根本原因忽视等号 成立条件． •2．利用基本不等式求函数最值时，注意 “一正、二定、三相等，和定积最大，积定 和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平 方．