离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
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（1）求 。
（2）求
（3）求 传递闭包。
解答：பைடு நூலகம்
（1）
（2）由于等价关系满足对称性，所以
所以
（3）由于等价关系满足传递性，所以传递闭包为其自身，即
26、对于给定的A和R，判断R是否为A上的等价关系。
（1）A为实数集， 。
（2） ， 。
（3） ， 为奇数。
（5） ，
解答：
（1）不是，不满足自反性、对称性、传递性。
（2）哈斯图为
极小元为 ，极大元为 ，无最大元、最小元
41、 ，R为整除关系， ，在偏序集 中求B的上界、下界、最小上界和最大下界。
解：下界即为公约数，2，3，4的公约数只有1，所以下界为1，最大下界也为1；
下界即为公倍数，2，3，4的公倍数只有12，所以上界为1，最大上界也为12；
P141:习题八
画出R的关系图，并求出A中各元素的等价类。
解答：关系图为
等价类 ；
30、设 ，在 上定义二元关系R，
。
（1）证明R为 上的等价关系。
（2）确定由R引起的对 的划分。
解答：
（1）证明：
①自反性： ，由于 ，所以 ；
②对称性：
有 ，所以
因此
③传递性：
有 ， ，所以
因此 。
（2）等价类有
37、对于下列集合与整除关系画出哈斯图。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
38、针对图7.14中的每个哈斯图，写出集合以及偏序关系的表达式。
解答：
（a）集合为 ，
偏序关系为
（b）集合为 ，
偏序关系为
（c）集合为 ，
偏序关系
40、分别画出下列偏序集 的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
（1） ，
（2）
解答：
（1）哈斯图为
极小元为 ,极大元为 ，无最大元、最小元
21、设 ，图7.11给出12种A上的关系，对于每种关系写出相应的关系矩阵，并说明它所具有的性质。
解答：
（a） ,具有自反性。
（b） ,具有反对称性和传递性。
（c） ,具有自反性，对称性和传递性。
23、设R的关系图如图7.12所示，试给出 ， 和 的关系图。
25、设 ，R是A上的等价关系，且R是A上所构成的等价类为 。
证明：
34、设A,B为集合，证明：如果 ，则 。
证明：（反证法）
设 ，则 ，
所以 ；
所以
但是 。
与 矛盾。
37、设A,B,C为任意集合，证明： 。
证明：
对任意 ，由于 ，所以 且 所以
因此， 。
P121:习题七
5、设A,B为任意集合，证明
若 ，则 。
证明：
所以有
9、设 ，列出下列关系R
（2）
（3）
解答：
4、判断下列函数中哪些是满射？哪些是单射？哪些是双射？
（2）
（4） ,
（6）
解答：（2）单射；（3）满射；（4）既不为单射也不为满射。
5、设 ， ，判断下列命题的真假。
（1） 是从X到Y的二元关系，但不是X到Y的函数。
（3） 是从X到Y的满射，但不是单射。
解答：（1）真；（3）假
15、设 ， 为A上的等价关系，且 ，求自然映射 。
作业答案：集合论部分
P90:习题六
5、确定下列命题是否为真。
（2）
（4）
（6）
解答：（2）假（4）真（6）真
8、求下列集合的幂集。
（5）
（6）
解答：
（5）集合的元素彼此互不相同，所以 ，所以该题的结论应该为
（6）
9、设 ， ， , ,求下列集合。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
31、设A,B,C为任意集合，证明
（2）不是，由于 集合较小，
①自反性：
②对称性，
但是传递性不满足， ，但是 。
（3）不是，满足对称性、传递性，但是不满足自反性
取 ，但是 不为奇数，所以 。
（5）满足
①自反性：
②对称性：
③传递性：
下面证明
若 ，则 ，所以
若 ，则 ，所以
所以 ，同理可证，
所以
所以 。因此满足传递性。
27、设 A上的等价关系
（2）不存在反函数，因为不是双射函数；
（3）
22、对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
19、设 是从N到N的函数，且
（1）求
（2）说明 是否为单射、满射、双射？
解答：
（1）
（2）为满射，但是不为单射。
20、设 ，
（1）说明 是否为单射和满射，说明理由。
（2） 的反函数是否存在，如果存在，求出 的反函数；
（3）求 。
解答：
（1） 时， ，所以为单射；
而对 ，不存在 ，使得 ，所以不为满射。
（2）
（3）
11、 是 上的二元关系，对于 定义集合
显然 。如果 且令
求 。
解答：
13、设 ， 。求 ， ， , , , , , , .
解答：
16、设 ， 为 上的关系，其中
， 。求 ， ， ， 。
解答：
20、给定 ， 上的关系
（1）画出 的关系图。
（2）说明 的性质。
解答：
（1）
（2）R具有反自反性，反对称性，传递性
（2）求
（3）求 传递闭包。
解答：பைடு நூலகம்
（1）
（2）由于等价关系满足对称性，所以
所以
（3）由于等价关系满足传递性，所以传递闭包为其自身，即
26、对于给定的A和R，判断R是否为A上的等价关系。
（1）A为实数集， 。
（2） ， 。
（3） ， 为奇数。
（5） ，
解答：
（1）不是，不满足自反性、对称性、传递性。
（2）哈斯图为
极小元为 ，极大元为 ，无最大元、最小元
41、 ，R为整除关系， ，在偏序集 中求B的上界、下界、最小上界和最大下界。
解：下界即为公约数，2，3，4的公约数只有1，所以下界为1，最大下界也为1；
下界即为公倍数，2，3，4的公倍数只有12，所以上界为1，最大上界也为12；
P141:习题八
画出R的关系图，并求出A中各元素的等价类。
解答：关系图为
等价类 ；
30、设 ，在 上定义二元关系R，
。
（1）证明R为 上的等价关系。
（2）确定由R引起的对 的划分。
解答：
（1）证明：
①自反性： ，由于 ，所以 ；
②对称性：
有 ，所以
因此
③传递性：
有 ， ，所以
因此 。
（2）等价类有
37、对于下列集合与整除关系画出哈斯图。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
38、针对图7.14中的每个哈斯图，写出集合以及偏序关系的表达式。
解答：
（a）集合为 ，
偏序关系为
（b）集合为 ，
偏序关系为
（c）集合为 ，
偏序关系
40、分别画出下列偏序集 的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
（1） ，
（2）
解答：
（1）哈斯图为
极小元为 ,极大元为 ，无最大元、最小元
21、设 ，图7.11给出12种A上的关系，对于每种关系写出相应的关系矩阵，并说明它所具有的性质。
解答：
（a） ,具有自反性。
（b） ,具有反对称性和传递性。
（c） ,具有自反性，对称性和传递性。
23、设R的关系图如图7.12所示，试给出 ， 和 的关系图。
25、设 ，R是A上的等价关系，且R是A上所构成的等价类为 。
证明：
34、设A,B为集合，证明：如果 ，则 。
证明：（反证法）
设 ，则 ，
所以 ；
所以
但是 。
与 矛盾。
37、设A,B,C为任意集合，证明： 。
证明：
对任意 ，由于 ，所以 且 所以
因此， 。
P121:习题七
5、设A,B为任意集合，证明
若 ，则 。
证明：
所以有
9、设 ，列出下列关系R
（2）
（3）
解答：
4、判断下列函数中哪些是满射？哪些是单射？哪些是双射？
（2）
（4） ,
（6）
解答：（2）单射；（3）满射；（4）既不为单射也不为满射。
5、设 ， ，判断下列命题的真假。
（1） 是从X到Y的二元关系，但不是X到Y的函数。
（3） 是从X到Y的满射，但不是单射。
解答：（1）真；（3）假
15、设 ， 为A上的等价关系，且 ，求自然映射 。
作业答案：集合论部分
P90:习题六
5、确定下列命题是否为真。
（2）
（4）
（6）
解答：（2）假（4）真（6）真
8、求下列集合的幂集。
（5）
（6）
解答：
（5）集合的元素彼此互不相同，所以 ，所以该题的结论应该为
（6）
9、设 ， ， , ,求下列集合。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
31、设A,B,C为任意集合，证明
（2）不是，由于 集合较小，
①自反性：
②对称性，
但是传递性不满足， ，但是 。
（3）不是，满足对称性、传递性，但是不满足自反性
取 ，但是 不为奇数，所以 。
（5）满足
①自反性：
②对称性：
③传递性：
下面证明
若 ，则 ，所以
若 ，则 ，所以
所以 ，同理可证，
所以
所以 。因此满足传递性。
27、设 A上的等价关系
（2）不存在反函数，因为不是双射函数；
（3）
22、对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
19、设 是从N到N的函数，且
（1）求
（2）说明 是否为单射、满射、双射？
解答：
（1）
（2）为满射，但是不为单射。
20、设 ，
（1）说明 是否为单射和满射，说明理由。
（2） 的反函数是否存在，如果存在，求出 的反函数；
（3）求 。
解答：
（1） 时， ，所以为单射；
而对 ，不存在 ，使得 ，所以不为满射。
（2）
（3）
11、 是 上的二元关系，对于 定义集合
显然 。如果 且令
求 。
解答：
13、设 ， 。求 ， ， , , , , , , .
解答：
16、设 ， 为 上的关系，其中
， 。求 ， ， ， 。
解答：
20、给定 ， 上的关系
（1）画出 的关系图。
（2）说明 的性质。
解答：
（1）
（2）R具有反自反性，反对称性，传递性