4.7_赤平投影在边坡工程中的应用解析
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极射赤平投影
在边坡工程中的应用
极射赤平投影
极射赤平投影 (Stereographic
projection)简称赤平投影， 主要用来表
示线、面的方位，及其相互之间的角距关 系和运动轨迹，把物体三维空间的几何要 素（面、线）投影到平面上来进行研究。 特定：方法简便、直观、是一种形象、 综合的定量图解。在构造地质、工程地质、 结晶学和航海上被广泛地应用。
投影要素
1、投影球
2、赤平面:过投影球球心的
水平面 3、基圆:赤平面与球面相交 的大圆（赤平大圆）。 凡过球心的平面与球面相 交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相 交所成的圆统称小圆。 4、极射点: 球上两极发射 点，分上半球投影和下球 投影
一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层
原因是两条结构面之组合交线的倾向与 边坡的倾向相同或相近，而倾角小于坡角， 这样由于存在临空面，就为边坡岩体向 下——即向坡外滑动创造了条件；尤其是 当交线倾角大于边坡上坡面倾角而小于下 坡面倾角时更容易产生边坡失稳的现象。 反之如果岩体倾向与边坡坡向相反（即倾 向山体内侧）时，则由于缺乏滑动临空面， 因而是最稳定的产状组合。
二、赤平极射投影的应用
赤平投影广泛应用于水利水电工程地质 以及岩质边坡稳定性的定性分析和定量计 算，主要用于求解空间点、线、面之间的 角距关系，也就是说，它可以： ①求解空间任意两结构面的夹角；②求解 空间两结构面交线的产状（倾向∠倾角）； ③求解空间任意两直线的夹角；④求解空 间任意产状一直线与任意产状一平面的夹 角；⑤求解其它。
• 右图为求解两 结构面交线产 状（倾向∠倾 角）的过程。 J1： 45°∠30°； J2： 90°∠45°。
• 求解结果—— 结构面交线产 状： 34.6°∠29.6°
右 图 为 去 掉 吴 氏 网 背 景 的 效 果 图
结构面或其交线（简记为MJ） 与边坡岩体（BP）稳定性的关 系一般可概括为：
• 滑动体空间问题的稳定性分析，其力学原 理与平面问题相比并无本质差别，但计算 要复杂得多。我们仅讨论一种较常见的空 间岩体滑动问题——岩质边坡双斜滑面问 题。 • 边坡岩体被两个不同倾向结构面ABD与 CBD切割成如图所示的楔形体（四面体）， 软弱结构面ABD与CBD的交线在坡面上出 露，该楔形体可能沿着交线BD的倾斜方向 滑动，因此这两个结构面称为双斜滑面。
A、MJ与BP走向相近，倾向相反，则 边坡岩体最稳定； B、MJ与BP走向相近，倾向相近，倾 角＜坡角，则边坡岩体最不稳定； C、MJ与BP走向相近，倾向相近，倾 角＞坡角，则边坡岩体较稳定； D、MJ与BP走向近于垂直，则结构面 产状对边坡岩体稳定性不起控制作 用，边坡稳定性取决于其它因素。
下图为两结构面的最不利组合
• 在进行力学分析前，首先应根据滑动面ABD与CBD的分布 与产状，确定力学计算中所必需的几何参数，如滑动面 ABD与CBD的面积SABD和SCBD，两滑动面交线BD的倾角α， 滑动体的体积等。这些参数通常是用赤平极射投影和实体 比例投影方法加以分析和确定的。滑动体体积求出后，根 据岩体的容重γ求出滑动体的重量G，然后再进一步作力学 分析：G＝ γ ×VABCD • 设重力G在通过BD的铅直面BED上分解为两个分力：一个 为平行于BD的分力，即下滑力T＝Gsinα；另一个为垂直 于BD的分力N。设分力N在滑动面ABD与CBD上的法向分 力分别为N1与N2，则有： • N＝Gcosα （N为重力G在垂直于交线方向的分力） • N1＝ • N2＝
以上是岩质边坡稳定性分析的定性评价 方法。下面讲解岩质边坡稳定分析的定量 计算方法。 【例题1】岩质边坡双斜滑面稳定性计算 常见的问题是岩质边坡中存在两个反向 倾斜——倾向差值δ满足90°＜δ＜180°的 滑动面ABD与CBD，滑动体ABCD为楔形体 （四面体），楔形体最可能的滑动方向就 是沿着双斜滑面ABD与CBD交线BD的方向 滑动。如下图所示：
wk.baidu.com
（二）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投影大圆弧 相交，其间的夹角为所求的夹角，角的一半为 平分线。
例1:有两个平面
⑴245 °∠30°
⑵145°∠48°
地质学上把地球内部不利或有利的（当 然（98%是不利的）物质分异面称为结构面， 一般意义上是指断层面、节理裂隙面、沉积 岩的层面等薄弱结构面，后者如石英脉等。 当然地壳与地幔的分界面——莫霍面以 及地幔与地核的分界面古灯堡面也可以视为 两个最大级别的结构面。而边坡岩体的稳定 性在很大程度上取决于软弱结构面（或其组 合交线）的产状及其发育密度。
然而传统的赤平投影解题方法不但要依赖纸质 的吴氏网（为俄国学者吴尔夫所发明），还得有透 明纸、铅笔、直尺等作图工具，慢都不说，由于吴 氏网中不论经线还是纬线最多是以每2°的间距画 的—过密则看不清楚，因此带来的误差如果是定性 分析倒还可以接受，如果是定量计算就显得过于粗 糙了。 而且因为每次求解都需要用铅笔定（或者说 “钉”）在吴氏网的中心——圆心处，这样一来， 一张好端端的吴氏网用不了几次就报废了。下面图 示的就是用传统作图方法绘制出一条走向NE40°、 倾向SE、倾角40°（产状：130°∠40°）经线的 过程。
赤平极射投影不魁为一种科学的思维方法和 解题方法。若从数学的角度来讲，赤平投影方法 实质上是把复杂的空间（三维）问题借助代数、 几何（尤其是立体几何及平面解析几何）、坐标 旋转以及一一对应原理转化为相对简单的平面 （二维）问题来求解；
如若不然，就只有或者通过制作空间模型来 解决每一个与之有关的角距问题，或是利用空间 解析几何来处理这些问题，显然这两种解决问题 的方法都是足够烦琐的和不够聪明的，甚至问题 的复杂程度有时可以说是复杂到令人望而生畏或 者说可望而不可及的 。
面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与
球面相交成球面大圆和点。 球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平 面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面 的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投 影到赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向， DH代表倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤 平面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。
在边坡工程中的应用
极射赤平投影
极射赤平投影 (Stereographic
projection)简称赤平投影， 主要用来表
示线、面的方位，及其相互之间的角距关 系和运动轨迹，把物体三维空间的几何要 素（面、线）投影到平面上来进行研究。 特定：方法简便、直观、是一种形象、 综合的定量图解。在构造地质、工程地质、 结晶学和航海上被广泛地应用。
投影要素
1、投影球
2、赤平面:过投影球球心的
水平面 3、基圆:赤平面与球面相交 的大圆（赤平大圆）。 凡过球心的平面与球面相 交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相 交所成的圆统称小圆。 4、极射点: 球上两极发射 点，分上半球投影和下球 投影
一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层
原因是两条结构面之组合交线的倾向与 边坡的倾向相同或相近，而倾角小于坡角， 这样由于存在临空面，就为边坡岩体向 下——即向坡外滑动创造了条件；尤其是 当交线倾角大于边坡上坡面倾角而小于下 坡面倾角时更容易产生边坡失稳的现象。 反之如果岩体倾向与边坡坡向相反（即倾 向山体内侧）时，则由于缺乏滑动临空面， 因而是最稳定的产状组合。
二、赤平极射投影的应用
赤平投影广泛应用于水利水电工程地质 以及岩质边坡稳定性的定性分析和定量计 算，主要用于求解空间点、线、面之间的 角距关系，也就是说，它可以： ①求解空间任意两结构面的夹角；②求解 空间两结构面交线的产状（倾向∠倾角）； ③求解空间任意两直线的夹角；④求解空 间任意产状一直线与任意产状一平面的夹 角；⑤求解其它。
• 右图为求解两 结构面交线产 状（倾向∠倾 角）的过程。 J1： 45°∠30°； J2： 90°∠45°。
• 求解结果—— 结构面交线产 状： 34.6°∠29.6°
右 图 为 去 掉 吴 氏 网 背 景 的 效 果 图
结构面或其交线（简记为MJ） 与边坡岩体（BP）稳定性的关 系一般可概括为：
• 滑动体空间问题的稳定性分析，其力学原 理与平面问题相比并无本质差别，但计算 要复杂得多。我们仅讨论一种较常见的空 间岩体滑动问题——岩质边坡双斜滑面问 题。 • 边坡岩体被两个不同倾向结构面ABD与 CBD切割成如图所示的楔形体（四面体）， 软弱结构面ABD与CBD的交线在坡面上出 露，该楔形体可能沿着交线BD的倾斜方向 滑动，因此这两个结构面称为双斜滑面。
A、MJ与BP走向相近，倾向相反，则 边坡岩体最稳定； B、MJ与BP走向相近，倾向相近，倾 角＜坡角，则边坡岩体最不稳定； C、MJ与BP走向相近，倾向相近，倾 角＞坡角，则边坡岩体较稳定； D、MJ与BP走向近于垂直，则结构面 产状对边坡岩体稳定性不起控制作 用，边坡稳定性取决于其它因素。
下图为两结构面的最不利组合
• 在进行力学分析前，首先应根据滑动面ABD与CBD的分布 与产状，确定力学计算中所必需的几何参数，如滑动面 ABD与CBD的面积SABD和SCBD，两滑动面交线BD的倾角α， 滑动体的体积等。这些参数通常是用赤平极射投影和实体 比例投影方法加以分析和确定的。滑动体体积求出后，根 据岩体的容重γ求出滑动体的重量G，然后再进一步作力学 分析：G＝ γ ×VABCD • 设重力G在通过BD的铅直面BED上分解为两个分力：一个 为平行于BD的分力，即下滑力T＝Gsinα；另一个为垂直 于BD的分力N。设分力N在滑动面ABD与CBD上的法向分 力分别为N1与N2，则有： • N＝Gcosα （N为重力G在垂直于交线方向的分力） • N1＝ • N2＝
以上是岩质边坡稳定性分析的定性评价 方法。下面讲解岩质边坡稳定分析的定量 计算方法。 【例题1】岩质边坡双斜滑面稳定性计算 常见的问题是岩质边坡中存在两个反向 倾斜——倾向差值δ满足90°＜δ＜180°的 滑动面ABD与CBD，滑动体ABCD为楔形体 （四面体），楔形体最可能的滑动方向就 是沿着双斜滑面ABD与CBD交线BD的方向 滑动。如下图所示：
wk.baidu.com
（二）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投影大圆弧 相交，其间的夹角为所求的夹角，角的一半为 平分线。
例1:有两个平面
⑴245 °∠30°
⑵145°∠48°
地质学上把地球内部不利或有利的（当 然（98%是不利的）物质分异面称为结构面， 一般意义上是指断层面、节理裂隙面、沉积 岩的层面等薄弱结构面，后者如石英脉等。 当然地壳与地幔的分界面——莫霍面以 及地幔与地核的分界面古灯堡面也可以视为 两个最大级别的结构面。而边坡岩体的稳定 性在很大程度上取决于软弱结构面（或其组 合交线）的产状及其发育密度。
然而传统的赤平投影解题方法不但要依赖纸质 的吴氏网（为俄国学者吴尔夫所发明），还得有透 明纸、铅笔、直尺等作图工具，慢都不说，由于吴 氏网中不论经线还是纬线最多是以每2°的间距画 的—过密则看不清楚，因此带来的误差如果是定性 分析倒还可以接受，如果是定量计算就显得过于粗 糙了。 而且因为每次求解都需要用铅笔定（或者说 “钉”）在吴氏网的中心——圆心处，这样一来， 一张好端端的吴氏网用不了几次就报废了。下面图 示的就是用传统作图方法绘制出一条走向NE40°、 倾向SE、倾角40°（产状：130°∠40°）经线的 过程。
赤平极射投影不魁为一种科学的思维方法和 解题方法。若从数学的角度来讲，赤平投影方法 实质上是把复杂的空间（三维）问题借助代数、 几何（尤其是立体几何及平面解析几何）、坐标 旋转以及一一对应原理转化为相对简单的平面 （二维）问题来求解；
如若不然，就只有或者通过制作空间模型来 解决每一个与之有关的角距问题，或是利用空间 解析几何来处理这些问题，显然这两种解决问题 的方法都是足够烦琐的和不够聪明的，甚至问题 的复杂程度有时可以说是复杂到令人望而生畏或 者说可望而不可及的 。
面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与
球面相交成球面大圆和点。 球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平 面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面 的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投 影到赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向， DH代表倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤 平面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。