连续性的概念word版
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例2 讨论函数 在 的连续性。
解 因为
所以 在 右连续，但不左连续，从
而 在 不连续。
二间断点及其分类
定义3 设函数 在某 内有定义。若
在点 无定义，或在点 有定义但不连续，则称点 为函数 的间断点或不连续点。
由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下情形:
1） ，而 在点 无定义，或有定义但
2）左、右极限都存在，但不相等, 称 为跳跃度
这就证明了 在无理点 处连续。
现设 为 内任一有理数，取 ，对任何正数 （无论多么小），在 内总可取无理数 ，使得
所以 在任何有理点处都不连续。
小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；
3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；
4）区间上连续函数的定义。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数 在间 上按段连续。
例如 是按段连续函数。
例3讨论黎曼函数
的连续性
证明 设 为无理数，任给 ，满足 正数显然只有有限个 (但至少有有一个,如 ),从而使 的有理数 只有有限个(至少有有一个,如 ),设为 ,取
,(显然 )
则对任何 当x为有理数时有 ,当x为无理数时 .于是，对任何 ，总有
ezplot('abs(1./(x+eps))',[-0.5,0.5]),
hold on
plot(0,28,'r*')
三区间上的连续函数
定义 若函数 在区间I上每一点都连续，则称 为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。
例如 ， 是 内的连续函数， 在 的每一点都连续，在 左连续性，在 右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章§1的例题）。
2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性．
(三) 教学建议：
(1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定
义，间断点的分类．
(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题．
————————————————————————————
一 函数在一点 的连续
第四章 函数的连续性
§1 连续性的概念
(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．
(二) 教学内容：
深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类.
基本要求：
1）掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．
定义1 设函数 在 的某邻域内有定义，若
则称函数 在 点连续。
例如 函数 在点 连续，因为
又如，函数 在 处连续。因为
若记 则 可等价的叙述为 ，于是函数 在 点连续的定义又可以叙述为
定义1（2）设函数 在 的某邻域内有定义，若
则称 在 点连续。
另外，由于函数 在 点连续是用极限形式表述的，若将 改用 语言叙述，则 在 点连续又可以定义为：
3）左、右极限至少一个不存在
据此，函数 的间断点可作如下分类：
1．可去间断点 情况1） 称为
可去间断点（或可去不连续点）；
例 ,
是 的可去间断点。
例 ， 是 的可去间断点。
2．跳跃间断点 情况2） 称为可跳跃间断点；
情况1），2）统称第一类间断点。
例 因为 ，所以 的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1.
定义1（3）设函数 在 的某邻域内有定义，若对 ，使得当 时，都有
，
则称 在 点连续。
注意函数 在 点连续，不仅要求 在 点有定义，而且要求 时，
的极限等于 ，因此这里在极限的“ ” 语言叙述中把
“ ”换成了“ ”。最后， 式又可表示为
，
可见“ 在 连续”意味着极限运算 对应法则 的可交换性。
例1证明函数 在点 连续,其中 为狄利克雷函数。
例 因为
所以 在 处为跳跃间断点，跳跃度等2.
3．情况3） 称为可第二类间断点；
例 不存在，所以 是 的第二类不连续点。
为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象（c41）
subplot(2,2,1)
ezplot('sin(x)/x',[-0.5,wenku.baidu.com.5])
hold on
plot(0,1,'r*')
证明由 及 ，对于任意的 ，为使
只要取 ，即可按 定义推得在连续。
相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：
定义2 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义，若
（ ）
则称 在 点左（右）连续。
由极限与单侧极限的关系不难得出：
定理4.1 函数 在 点连续的充分必要条件为： 在 点既左连续又右连续。
先回顾一下函数在 点的极限
设函数 在 的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对 ，当 时，都有 ，则称 在 时，以 为极限。
这里 可以有三种情况
1） 无定义，比如上章讲过的特殊极限
2） ，比如 ，
3）
对1，2两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同，曲线在 处连绵不断，我们称这种情况为， 在 处连续。
subplot(2,2,2)
ezplot('sin(x)+sign(x)',[-pi/3,pi/3])
hold on
plot(0,0,'r*'),
subplot(2,2,3)
ezplot('sin(1./x)',[-0.5,0.5])
hold on
plot(0,0,'r*')
subplot(2,2,4)
解 因为
所以 在 右连续，但不左连续，从
而 在 不连续。
二间断点及其分类
定义3 设函数 在某 内有定义。若
在点 无定义，或在点 有定义但不连续，则称点 为函数 的间断点或不连续点。
由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下情形:
1） ，而 在点 无定义，或有定义但
2）左、右极限都存在，但不相等, 称 为跳跃度
这就证明了 在无理点 处连续。
现设 为 内任一有理数，取 ，对任何正数 （无论多么小），在 内总可取无理数 ，使得
所以 在任何有理点处都不连续。
小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；
3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；
4）区间上连续函数的定义。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数 在间 上按段连续。
例如 是按段连续函数。
例3讨论黎曼函数
的连续性
证明 设 为无理数，任给 ，满足 正数显然只有有限个 (但至少有有一个,如 ),从而使 的有理数 只有有限个(至少有有一个,如 ),设为 ,取
,(显然 )
则对任何 当x为有理数时有 ,当x为无理数时 .于是，对任何 ，总有
ezplot('abs(1./(x+eps))',[-0.5,0.5]),
hold on
plot(0,28,'r*')
三区间上的连续函数
定义 若函数 在区间I上每一点都连续，则称 为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。
例如 ， 是 内的连续函数， 在 的每一点都连续，在 左连续性，在 右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章§1的例题）。
2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性．
(三) 教学建议：
(1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定
义，间断点的分类．
(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题．
————————————————————————————
一 函数在一点 的连续
第四章 函数的连续性
§1 连续性的概念
(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．
(二) 教学内容：
深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类.
基本要求：
1）掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．
定义1 设函数 在 的某邻域内有定义，若
则称函数 在 点连续。
例如 函数 在点 连续，因为
又如，函数 在 处连续。因为
若记 则 可等价的叙述为 ，于是函数 在 点连续的定义又可以叙述为
定义1（2）设函数 在 的某邻域内有定义，若
则称 在 点连续。
另外，由于函数 在 点连续是用极限形式表述的，若将 改用 语言叙述，则 在 点连续又可以定义为：
3）左、右极限至少一个不存在
据此，函数 的间断点可作如下分类：
1．可去间断点 情况1） 称为
可去间断点（或可去不连续点）；
例 ,
是 的可去间断点。
例 ， 是 的可去间断点。
2．跳跃间断点 情况2） 称为可跳跃间断点；
情况1），2）统称第一类间断点。
例 因为 ，所以 的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1.
定义1（3）设函数 在 的某邻域内有定义，若对 ，使得当 时，都有
，
则称 在 点连续。
注意函数 在 点连续，不仅要求 在 点有定义，而且要求 时，
的极限等于 ，因此这里在极限的“ ” 语言叙述中把
“ ”换成了“ ”。最后， 式又可表示为
，
可见“ 在 连续”意味着极限运算 对应法则 的可交换性。
例1证明函数 在点 连续,其中 为狄利克雷函数。
例 因为
所以 在 处为跳跃间断点，跳跃度等2.
3．情况3） 称为可第二类间断点；
例 不存在，所以 是 的第二类不连续点。
为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象（c41）
subplot(2,2,1)
ezplot('sin(x)/x',[-0.5,wenku.baidu.com.5])
hold on
plot(0,1,'r*')
证明由 及 ，对于任意的 ，为使
只要取 ，即可按 定义推得在连续。
相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：
定义2 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义，若
（ ）
则称 在 点左（右）连续。
由极限与单侧极限的关系不难得出：
定理4.1 函数 在 点连续的充分必要条件为： 在 点既左连续又右连续。
先回顾一下函数在 点的极限
设函数 在 的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对 ，当 时，都有 ，则称 在 时，以 为极限。
这里 可以有三种情况
1） 无定义，比如上章讲过的特殊极限
2） ，比如 ，
3）
对1，2两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同，曲线在 处连绵不断，我们称这种情况为， 在 处连续。
subplot(2,2,2)
ezplot('sin(x)+sign(x)',[-pi/3,pi/3])
hold on
plot(0,0,'r*'),
subplot(2,2,3)
ezplot('sin(1./x)',[-0.5,0.5])
hold on
plot(0,0,'r*')
subplot(2,2,4)