空间中角和距离计算

平面所成的二面角为_4_5_°__或___1_3_5_°.
5．如图 13－7－1，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC
10 ＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为___5____.
图 13－7－1
考点1 线面所成角的计算
例1：如图 13－7－2，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，
【互动探究】
1．(2010 年全国)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1 所成角的余弦值为( )
2
3
2
6
A. 3
B. 3
C.3
D. 3
解析：因为 BB1∥DD1，所以 BB1 与平面 ACD1 所成角和 DD1 与平面 ACD1 所成角相等，设 DO⊥平面 ACD1，由等体积法得
△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点．
(1)求证：AF∥平面 BCE；
(2)求证：平面 BCE⊥平面 CDE；
(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成
角的正弦值．
图 13－7－2
解析：设 AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图 D32 所示的坐标系
A－xyz，则
A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a， 3a,0)，E(a， 3a,2a)．
解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得 BD＝ 3AD.
从而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD；
又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD.
所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD.
图D33
(2)解：如图 D33，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射 线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1， 3，0)，P(0,0,1)． 则 AB＝(－1， 3，0)，PB＝(0， 3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．
n·A→B＝0， 设平面 PAB 的法向量为 n＝(x1，y1，z1)，则n·P→B＝0， 即－3xy11＋－z13＝y10＝. 0， 因此可取 n＝( 3，1， 3)．
m·P→B＝0， 设平面 PBC 的法向量为 m(x2，y2，z2)，则m·B→C＝0， 即－3xy22＝－0z.2＝0， 可取 m＝(0，－1，－ 3)．
∴cos〈m，n〉＝2－47＝－27 7，
故二面角
A－PB－C
的余弦值为－2
7
7 .
求二面角，大致有两种基本方法： (1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三 垂线定理法；④射影面积法．
＝ 2
2 4.
∴直线
BF
和平面
BCE
所成角的正弦值为
2 4.
求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法： ①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与 平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小．找射影的 基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直 线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平 面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即 为射影． ②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利 用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角．
∵F 为 CD 的中点，
∴F32a， 23a，0.
来自百度文库
(1) AF ＝32a， 23a，0， BE ＝(a， 3a，a)， BC ＝(2a,0，－a)，
图D32
∵ AF ＝12( BE + BC )，AF⊄平面 BCE， ∴AF∥平面 BCE. (2)∵ AF ＝32a， 23a，0， CD ＝(－a， 3a,0)， ED ＝(0,0，－2a)， ∴ AF ·CD ＝0， AF ·ED ＝0. ∴ AF ⊥CD ， AF ⊥ ED . ∴AF⊥平面 CDE， 又 AF∥平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE.
则 E 到平面 ABC1D1 的距离为( B )
A.
3 2
B.
2 2
C.12
D.
3 3
3．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AC，BD 的中点，
若 CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则 EF 与 CD 所成的角为( D )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两
2．能较易建立直角坐标系的，尽量 建立直角坐标系．其次要注意向量 运算与基本性质相结合的论述，这 是今后的方向，可以“形到形”，
可以“数到形”，注意数形结合.
1．异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的_____锐__角__或__直_，角叫做异面直线a与b 所 成的角，其范围是__(0_°__，__9_0_°__]__． 2．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的 角等于__0_°__.
x0＋2z0＝0， 则 DA1 ·n＝0， DN ·n＝0，∴21x0＋y0＝0. 取 x0＝2，则 y0＝－1，z0＝－1，即 n＝(2，－1，－1)．
(1)由题意得： DN ·n1＝0， DM ·n1＝0，n·n1＝0， 12x1＋y1＝0，
∴y1＋zz1＝0， 2x1－y1－z1＝0.
于是 h＝SAS·△S△SBACBC＝32a·33aa22＝32a.
3a2，
方法三：如图13－7－7，以 A 为 坐标原点，以AC，AS 所在直线为y 轴， z 轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为 x 轴建立空间直角坐标系．
∵△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°， 图13－7－7 ∴AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝2 3a. 于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,3a)． 设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z)． 由 n⊥SB 、n⊥SC 及SB ＝(a， 3a，－3a)， SC ＝(0,2 3a，－3a)，
面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角 的二面角叫做__直__二__面__角___．
4．点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离．求点到平面的距离通常运用_等__积__法__，即构造一个三棱锥，将
点到平面的距离转化为三棱锥的__高___． 5．直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求 出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大
小．
【互动探究】
2．(2011年江苏)如图13－7－4，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2，AB＝1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二
面角 A1－DN－M 的大小为θ. (1)当θ＝90°时，求 AM 的长； (2)当 cos θ＝ 66时，求 CM 的长 解：以 D 为原点，DA为 x 轴正半轴，
(3)设平面 BCE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由 n·BE ＝0，n·BC ＝0 可得：
x＋ 3y＋z＝0,2x－z＝0，取 n＝(1，－ 3，2)．
又 BF ＝32a， 23a，－a， 设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ，
则 sinθ＝||B→B→FF|··|nn||＝2a·22a
取 x1＝2，则 y1＝－1，z1＝5，z＝15. ∴AM＝ 1－02＋0－12＋0－152＝ 551.
(2)由题意： DN ·n1＝0， DM ·n1＝0，||nn||nn11||＝ 66， 12x1＋y1＝0，
即y1＋zz1＝0， 3x21－4x1y1－4x1z1＋2y1z1＝0.
第7讲 空间中角与距离的计算
考纲要求
空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平 面的法向量． (2)能用向量语言表述直线与 直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系 (3)能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题，了 解向量方法在研究几何问题 中的作用.
考纲研读 1.线线垂直、两异面直线的夹角、两 点间的距离等问题的解决往往借助 于向量坐标．正方体、长方体、底 面有一角为直角的直棱柱、底面为 菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出 现三条两两垂直直线的图形，常常 考虑空间直角坐标系．
角为
θ，则
sinθ＝DDDO1＝
33.所以
cosθ＝
6 3.
答案：D
考点2 面面所成角的计算 例 2：(2011 年全国)如图 13－7－3，四棱锥 P－ABCD中，底 面ABCD为平行四边形,∠DAB＝60°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD.
图 13－7－3 (1)证明：PA ⊥BD； (2)若 PD＝AD，求二面角 A－PB－C 的余弦值．
在△ SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，
SC＝ SA2＋AC2＝ 21a.cos∠SBC
＝13a2＋4a2－21a2＝－ 1 ，
2× 13a×2a
13
∴sin∠SBC＝
1－113＝2
39 13 .
∴S△ SBC＝12·SB·BC·sin∠SBC＝12×
2 13a×2a×
1339＝2
取 x1＝2，则 y1＝－1，z1＝2，z＝12.∴CM＝12.
考点3 立体几何中的综合问题 例3：如图 13－7－5，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到平 面SBC 的距离．
图 13－7－5
图 13－7－6
解析：方法一：如图13－7－6，作AD⊥BC 交BC延长线于 D，连接SD.
∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC， 又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD. 又 BC⊂平面 SBC， ∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD. 过点A 作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知， AH⊥平面SBC.于是AH 即为点A 到平面 SBC 的距离．
在 Rt△ SAD 中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝ 3a，
VD－ACD1 VD1ACD ，即13 S ACD1 ·DO＝13S△ACD·DD1.
设 DD1＝a，
则S ACD1 ＝12AC·AD1sin60°＝12×( 2a)2× 23＝ 23a2，
S△ACD＝12AD·CD＝12a2.
所以 DO＝S△ASCDAC·DD1D1＝ a33a2＝ 33a，记 DD1 与平面 ACD1 所成
直线与平面的距离．
1．对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有OP＝
xOA＋yOB＋zOC (x，y，z∈R)，则 x＋y＋z＝1 是 P，A，B，C 四
点共面的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1 的中点，
∴AH＝
SSAA2·＋ADAD2＝
3a· 3a (3a)2＋(
3a)2＝32a，
即点 A 到平面 SBC 的距离为32a.
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h， ∵VS－ABC＝VA－SBC，∴13·SA·S△ ABC＝13·h·S△ SBC，其中 SA＝3a. 在△ ABC 中， AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC ＝ 4a2＋4a2－2×4a2×－12＝2 3a， S△ ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a× 23＝ 3a2.
(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于__9_0_°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角，其范围是__(0_°__，__9_0_°__)__． 斜线与平面所成的_线__面__角__是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最_小__的角． 3．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二
DC 为 y 轴正半轴，DD1 为 z 轴正半轴， 建立空间直角坐标系，
图 13－7－4
则 A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N12，1，0，C(0,1,0)．令 M(0,1，z)， 则 DA1 ＝(1,0,2)， DN ＝(12，1,0)， DM ＝(0,1，z)． 设平面 MDN 的法向量 n1＝(x1，y1，z1)， 平面 A1DN 的法向量为 n＝(x0，y0，z0)，