高等数学：高斯公式 通量与散度
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南京航空航天大学《高等数学》10.6高斯(Guass)公式 通量与散度
的Σ1 两个Σ曲−3 面积Σ2 分正Σ好3 抵 Σ消1 , Σ2
Σ
Σ3
Ω2
Σ
− 3
−n
证得高斯公式 .
Σ2
∴ 综合一、二步高斯公式 得证 .
7
注 Σ 当闭 , 取外侧 , P , Q , R 有连续偏导数
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系.
8
例1 计算 : I = ∫∫ x 2dydz + y 2dzdx Σ Σ : x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b, z = c − −外侧
= − 2π dθ 0
h r 3dr
Dxy
=−
1 πh4
0
2
14
D xy
解法2
对Σ锥：n = −{ x, y, z} / x2 + y2 + z2 = {cosα ,cos β ,cosγ }
∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
Σ锥
∫∫ = [ x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ ]ds
∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + ( x − y)dxdy
Σ锥
= ∫∫ [( y − z)cosα + (z − x)cos β + ( x − y)cosγ ]ds Σ锥
∫∫ = − [( y − z)x + (z − x) y + ( x − y)z]/ x2 + y2 + z2 ds Σ锥
gradu ⋅ gradv = ∇u ⋅ ∇v = ∂u ∂v + ∂u ∂v + ∂u ∂v ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
高等数学(下册)第11章第7讲高斯公式、通量和散度
P Q R
x
y
z
dV
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P x
Q y
R z
dV
P cos
Q cos
R cos
dS
其中取外侧，cos，cos ，cos 是在点(x, y, z)处的正法向量方向余弦.
注意：格林公式取边界曲线的正向，高斯公式取边界曲面的外侧
3
一、高斯公式
证
Pdydz
xdydz ydzdx zdxdy
3 外
1 3dxdydz 3 4 π 3 4π
3 外
3 3
故 I 0 4π 4π.
11
本讲内容
01 高斯公式 02 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 03 通量和散度
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
空间二维单连通区域 对于空间区域G，如果G 内任一闭曲面所围成的 区域全属于G.
空间一维单连通区域 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G 的曲面.
空间二维单连通区域 空间一维单连通区域
非空间二维单连通区域 空间二维单连通区域 空间一维单连通区域 非空间一维单连通区域
13
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理11.9
设G是空间二维单连通区域，若P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在G 内具有
z
Dxy
z z1 ( x, y)
x
R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y Dxy
2
Dx y
3 1
y
Rdxdy ( )Rdxdy R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y
《高等数学》第十章 第六节 高斯公式 通量与散度
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使
P x
Q y
R z
M 0
0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y
(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz
9
2
.
)
(
1y
利 用 柱 面 坐 标 得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00
r
2，
h,
r z h.
202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos
r
sin
z)
r
dz
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
Σ
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
通量与散度高斯公式通量与散度
P, Q, R在域Ω内 有一阶连续 偏导数, 2. 通量与散度 设向量场 A ( P , Q, R), P, Q, R在域G内 有一阶连续 偏导数,则 向量场 通过有向曲面 的通量为
P Q R G 内任意点处的散度为div A x y z
A n d S
z 3
o 1 x
y
3 2 1 d d z dz 0 0 0 1 9 9 2 ( ) 2 2 2
z d d d z
8
计算 227页1(3).
2 2 2 x y z 为锥体
的表面 为此曲面 外法线 的方向余弦
P ( x , y , z ) d y d z Q( x , y , z )d z d x R( x , y , z )dx d y
(Gauss 公式)
2
例1. 计算曲面积分
其中
x d y dz y dz dx z dx d y 的外侧
解 用高斯公式 原式
111)d x d y d z
的
外侧
解
F d S xd y dz y dz dx z dx d y
1 1 1) d x d y d z
3
7
dx d y d yd z 练习 计算 及平面 其中 为柱面 所围空间 闭域 的整个边界曲面 的外侧.
解: 利用Gauss 公式, 得 怎样计算 ( y z ) d x d yd z ( 原式 = 用柱坐标)
16
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
同济版大一高数第十一章第六节高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
高等数学(第五版)10-6高斯公式
z2 ( x , y )
DxyD xyFra bibliotekD xy
若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而 叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z
高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z
z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿 莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
DxyD xyFra bibliotekD xy
若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而 叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z
高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z
z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿 莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
13.5 Guass公式、通量和散度
x3 y3 z3 (2) ∫∫ 3 dy d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r 3 3 3 ∂ x ∂ y ∂ z = ∫∫∫ [ ( 3 ) + ( 3 ) + ( 3 ) ]dv =L Ω ∂x r ∂y r ∂z r
19
是一光滑闭曲面, 备用题 设 ∑ 是一光滑闭曲面 所围立体 Ω 的体 积为V, θ 是 ∑ 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 积为 的夹角, 的夹角 试证
12
为了揭示场内任意点M 处的特性, 为了揭示场内任意点 处的特性 设Σ 是包含点 M 且 所围域为Ω 方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω, 并令Ω 式两边同除以Ω 在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim Ω→M V
∂P ∂Q ∂R )M =( + + ∂x ∂y ∂z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 此式反应了流速场在点 的特点 其值为正 负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
Σ
由两类曲面积分的关系, 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为
Φ = ∫∫
Σ
( Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) d S
= ∫∫ v ⋅ nd S
Σ
11
为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 向向外的闭曲面, 若Σ 为方向向外的闭曲面 则单位时间通过Σ 的流量为
Ω
= ∫∫∫ (r sinθ − z)r dr dθ d z
9.4 高斯公式 通量与散度
div A
散度为一数量，
∂P ∂Q ∂R + + G 内任意点处的散度为 div A = ∂x ∂ y ∂z
表示 场 中一 点 处通 量 对体 积 的 变化 率
r u divA
∂ P ∂Q ∂ R ⋅ ∫∫∫ d v ∂ x + ∂ y + ∂z Ω (ξ ,η ,ζ ) = lim 其中(ξ , η , ζ ) ∈ Ω Ω→ M V
2
4
取上侧, 例3 设Σ为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2取上侧, 求
2 2
I = ∫∫ (x z + x) d y d z − x yz d z d x − x z d x d y. Σ z 3 2 2 2 解 P = x z + x , Q = − x yz , R = − x z 2 ∂P ∂ Q ∂ R Σ + + = 1 作取下侧的辅助面 ∂x ∂y ∂z 1 Σ1 2 2 Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 o 1y I = ∫∫ − ∫∫ 用柱坐标 用极坐标 x
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 M(x, y, z)是场中任意一 是场中任意一 点，Σ是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 Ω 的体积为V。如果当 Ω 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在， 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 ) 记作
2 2 2
则表面 x 2 + y 2 + z 2 = 4取外侧 x 2 + y 2 + z 2 = 1取 内 侧
光滑或分片光滑， （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， 高斯公式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 上一阶偏导连续。 不闭合时，采取“补面”的方法： （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
高等数学--高斯公式 PPT
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
10-6高等数学高斯公式
练习 计算 I x dydz y dzdx z dxdy 2 a 2 2 2 为球面 x y z 的内侧 4 解: 利用 Gauss 公式
3 3 3
I 3 x 2 3 y 2 3z 2 dv
3
2 0
d sin d
穿过 ： ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 2)2 9 流向外侧的通量
则 Pdydz Qdzdx Rdxdy
2. 散度的定义: 设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
注： 1.这 里 是 的 整 个 边 界 曲 面 ， 是 闭 封曲 面 ， 且取外侧 2.高斯公式揭示了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
(Gauss 公式)
例1. 计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得
1
1
记 , 1所围区域为, 则
z
2 ( x y z ) d x d y d z
1 4 h 2 z d x d ydz 2
由对称性 2 x 2 y d v 0
h
y
o x
Dx y
h 2 d x d y h4
P Q R 则称 为向量场 A的散度 x y z 记作 divA
P Q R divA x y z
高等数学 10-6高斯公式 通量与散度
章 节 题 目
第六节 高斯(Gauss)公式通量与散度
高 斯 公 式 通量与散度
内 容 提 要
利用高斯公式计算曲面积分 重 点 分 析
高斯公式使用的条件及方法 难 点 分 析
习 题 布 置
P213
1（单） 、2（单）
备 注
1
教
一、高 斯 公 式
学
内
容
设 空 间 闭 区 域 Ω 由 分 片 光 滑 的 闭 曲 面 Σ 围 成 , 函 数 P ( x, y , z ) 、 Q ( x, y , z ) 、
Σ Σ Σ
r
r
r
r
r r r r Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n 0 dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
r 称为向量场 A( x, y, z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义: 设有向量场 A( x, y, z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ , Σ 包围的区域为 V ,记体积
∫∫ ( x
D xy
2
cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
= 2 ∫∫ dxdy ∫
h x2 + y2
( x + y + z )dz ,
其中Dxy = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ h 2 }.
Q
∫∫ dxdy ∫
Ω ∑
∂P
∂Q
∂R
这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧，cosα , cos β , cos γ 是 ∑ 上点 ( x, y, z ) 处的法 向量的方向余弦.
第六节 高斯(Gauss)公式通量与散度
高 斯 公 式 通量与散度
内 容 提 要
利用高斯公式计算曲面积分 重 点 分 析
高斯公式使用的条件及方法 难 点 分 析
习 题 布 置
P213
1（单） 、2（单）
备 注
1
教
一、高 斯 公 式
学
内
容
设 空 间 闭 区 域 Ω 由 分 片 光 滑 的 闭 曲 面 Σ 围 成 , 函 数 P ( x, y , z ) 、 Q ( x, y , z ) 、
Σ Σ Σ
r
r
r
r
r r r r Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n 0 dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
r 称为向量场 A( x, y, z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义: 设有向量场 A( x, y, z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ , Σ 包围的区域为 V ,记体积
∫∫ ( x
D xy
2
cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
= 2 ∫∫ dxdy ∫
h x2 + y2
( x + y + z )dz ,
其中Dxy = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ h 2 }.
Q
∫∫ dxdy ∫
Ω ∑
∂P
∂Q
∂R
这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧，cosα , cos β , cos γ 是 ∑ 上点 ( x, y, z ) 处的法 向量的方向余弦.
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
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P x
Q R y z
d x d ydz
P d yd z Qd zd x Rd xd y
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证:令
P
u
v , x
Q
u
v , y
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v v
x
y
z
u
v cos
x
v cos
y
v cos
z
dS
移项即得所证公式.(见 P171)
d
x
d
ydz
Dxdy x d
y
z2( x, y) R z1( x, y) z
d
z
Dx y R( x, y, z2( x, y))
R( x, y, z1( x, y)) d x d y
x
2
3
1
Dxy y
Rd x d y 2 1 3 Rd x d y
D
x
R(
y
x,
y, z2 (
x,
y))dxdy
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三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
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练习 题
一、 利用高斯公式计算曲面积分:
1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2外侧；
2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧；
3z2 r5
0
(r 0)
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d yd z Qd z d x Rd x d y
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出Байду номын сангаас曲面积分为零的充要条件:
为立方体0 x a , 0 y a,0 z a的全表面,流
向外侧的通量 .
四、求向量场 A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k 的散
度.
五、设u( x, y, z) , v( x, y, z) 是两个定义在闭区域 上的
具有二阶连续偏导数的函数,u , v 依次表示 n n
3、 xzdydz,其中 是上半球面 z R2 x 2 y 2 的上侧 .
二、证明:由封闭曲面所包围的体积为
V
1 3
( x cos
y cos
z cos
)dS ,式中
cos , cos , cos 是曲面的外法线的方向余弦 .
三、求向量 A (2x z)i x 2 y j xz2 k ,穿过曲面 :
u( x, y, z) , v( x, y, z) 沿 的外法线方向的方向导
数.
证明:
v u
(uv
vu)dxdydz
(u
n
v
)dS n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注 2 2 2 ,称为拉普拉斯算子) x 2 y 2 z 2
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
P d yd z Qd z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Qcos Rcos d S
v nd S
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若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d yd z Qd z d x Rdx d y
div v 0 故它是无源场.
P16 目录 上页 下页 返回 结束
*例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E
q r3
r
q r3
( x,
y, z)
(r 0)
求 div E .
解:
div
E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
r
2
3x2 r5
r
2
3 r5
y2
r2
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (vx ,v y ,vz ) (其中vx ,v y ,vz 为常数),
记 ,1 所围区域为,则
在 1 上
2
,
0
I ( 1 1 )(x2 cos y2 cos z2 cos )d S
2( x y z)d x d yd z Dx y h2 d x d y
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I 2 ( x y z)d xdydz Dx y h2 d x d y
Q y
d
x
d
y
d
z
Qd z d x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d yd z Qd z d x Rd xdy
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
使用Guass公式时应注意: 1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件;
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P uv
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
xd
ydz
x Q u v
y
u
v cos
x
v cos
y
v cos
z
dS
R uv z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd yd z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析: 高斯公式
P d yd z Qd zd x Rd xd y 0 P Q R 0 x y z
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2. 通量与散度 设向量场 A (P,Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 div A P Q R x y z
DxRy (
x,
y,z1(
x,
y)) d
xdy
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
所以
R z d xd yd z
Rd xd y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd yd z
解: 作取下侧的辅助面
z 2
1 : z 1( x, y) Dx y : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
x
d
ydz
(1)
(
Dxy
x2
)d
x
d
y
x
1y
2
0
d
1 0
d
r
2
0
cos 2
d
13
12
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例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 (M0 ) G, 使在 (M0 )上,
P Q R 0 x y z
设 (M0)的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d yd z Qd z d x Rd x d y
(M0 )
P x
Q y
R z
d xd
ydz
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
R z
M
此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
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定义: 设有向量场 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
(r sin z)r dr d d z