二次根式的概念及性质 课件

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满
足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t h
为 5.
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问题归1纳上总面结问题的二结次果根分式别的是定义3,
s,
65， h 5
，它们表示一
些一正般数地的，算我术们平把方形根如.那a么(什a 么0) 样的的式数子有叫算做术二平次方根根式呢.？
二次根式的概念及性质
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点） 3.理解二次根式的两个性质.（重点） 4.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题发现 感受新知 （1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其 面积为3，则它的边长是 3 . 如果其面积为S，则它的边长是 S . （2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是 宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 65 m.
归纳总结
a2 (a 0) 的性质: 一般地， a2 ＝a (a≥0).
合作探究 获取新知 例3：化简
(1) 16
(2) (5)2
你还有其 他解法吗？
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
(5)2 52 5.
｛ 归纳总结 a2=|a|=
a (a≥ 0)； -a (a＜0).
填一填：
a
a2
a2
-4
（-4）2=16
4
0
02=0
0
1 平方运算
12=1
1
算术平方根
-1
（-1）2=1
1
1 2
1
4 16
观察： 两者有什么关系？
合作探究 获取新知
活动2 ：根据前面得出的结论填一填
22 =
2
；
0.12 =
0.1
；
2 3
2
=
2 3
； 02 =
0
.
如何用字母表示你 所得的公式呢？
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
巩固新知 深化理解
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
它的长、宽各应是多少？
A
D
例2 (1)当x取何值时, x 2在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样 的实数时，
（2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值. 当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义；
在实数范 围内有义？
当x=9时， x 2 9 2 7.
实战演练 运用新知
例1 计算：
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （a b）2=a2b2
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
合作探究 获取新知
a2 (a 0) 的性质
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
归纳 总结
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
二次根式的 双重非负性
实战演练 运用新知
例3（1）若 a 2 b 3 (c 4)2 0，求a -b+c的值.
（2）设 y 1 x+ x 1+2016，试求x+2y的值.
（3）要使式子
1 x 1பைடு நூலகம்
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等
式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
合作探究 获取新知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳总结 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中 阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：设长方形的宽为xcm,根据得意得
x 3 x 24
2
B
C
解得 x 16 4（负值舍去）.
所以宽为4cm，长为6cm.
回顾与反思
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
问题发现 感受新知
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4 0 1 -1 1 4
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活动1 ：根据前面得出的结论填一填
4 2 4
1 3
2
1 3
2
2
2
2
0 0
2 是2的算术平方根，
根据算术平方根的意
义 2 是一个平方等
于2的非负数
根据计算结果， 你能把你的发 现用字母表示
出来吗？
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )＝2 a (a ≥0).
巩固新知 深化理解
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2.式子 2 有意义的条件是
3x 6
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2
（ A） D.x≤2
3.若 95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
A.7个 B.8个 C.9个
D.10个
巩固新知 深化理解
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
“ ”我称们为知二道次，根负号数，没a有叫平做方被根开.方因数此.，在实数范围内开平
方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分要别点是提醒 3, s, 65， h ，分别从形式上
5
和被开方两数个上必看备特有征什么①共外同貌特特点征？：含有“ ”
①含有“ ” ②内②在被特开征方：数被a ≥开0方数a ≥0
实战演练 运用新知
例1 下列各式是二次根式吗?不含二次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6,
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
不是
(3)
(5)
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 , (7) 3 5
是
不是
根指数是3
非负数+正数 恒大于零
实战演练 运用新知
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活动3：议一议：如何区别( a )2与 a2？
( a)2
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
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代数式的定义
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把_ 数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样
0、1、1 4
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
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( a )2 （a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么关系？
的式子为代数式.
代数式
整式 分式
想一想：到现在为 止，初中阶段所学 的代数式主要有哪 几类？
二次根式
回顾与反思
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？