《信号与线性系统分析》重要公式汇总

信号与线形系统重要公式
第一章：信号与系统
1.1单位阶跃函数ε(t) 单位冲激函数δ(t )
1.2冲激函数的性质：
'''''()
()
()
()()(0)()
()()(0)
()()(0)()(0)()
()()(0)()()(1)
(0)
n n n f t t f t f t t dt f f t t f t f t f t t dt f f t t dt f
δδδδδδδδ
∞
-∞
∞-∞∞
-∞
===-=-=-⎰⎰⎰
1111111'
'
'
11111''11()()()()
()()()()()
()()()()()()
()()()
f t t t f t t t f t t t dt f t t t dt f t f t t t f t t t f t t t f t t t dt f t δδδδδδδδ∞
∞
-∞
-∞
∞-∞
-=--=-=-=----=-⎰⎰⎰
''
()()
()
1()()11()()11()()n n n at t a at t a a
at t a a δδδδδδ==
=
()()()
()
()()()()n n n n t t n t t n δδδδ-=-=-为偶数为奇数
1.3线形系统的性质：
齐次性 可加性
[()]()T af af •=• 1212[()()][()][()]T f f T f T f •+•=•+•
11221122[()()][()][()]T a f a f a T f a T f •+•=•+•
零输入响应，零状态响应，全响应
()[{(0)},{0}]x y T x •= ()[{0},{()}]f y T f •=• ()()()x f y y y •=•+•
第二章 连续系统的时域分析法
全解=齐次解（自由响应）()h y t +特解（强迫响应）()p y t 全响应=零输入响应()x y t +零状态响应()f y t
()()()h p y t y t y t =+= ()()x f y t y t +
零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 ()x y t 表示。

零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所 引起的响应，用()f y t 表示。

1
()i i n t
x x i y t C e λ==∑ 1
()()i i n
t f f p i y t C e y t λ==+∑ i x C 和i f C 都为待定系数
1
1
1
()()()i i i i i n n n
t
t
t i p x f p i i i y t C e y t C e C e y t λλλ====+=++∑∑∑（自由响应）（强迫响应）（零输入响应）（零状态响应）
2.2
冲激响应和阶跃响应
一个LTI 系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数()t δ时所引起的响应，简称为冲激响应。

用()h t 表示，即冲激响应为激励为()t δ时的零状态响应。

一个LTI 系统，当其初始状态为零、输入为单位 阶跃函数()t ε 时所引起的响应，称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应。

用g(t)表示。

阶跃响应是 ()t ε 时，系统的零状态响应。

冲激响应()t δ与阶跃响应()t ε的关系：()
()d t t dt
εδ=
()()t t t dx εδ-∞=⎰
同一系统阶跃响应()h t 与冲激响应()g t 的关系()
()dg t h t dt
= ()()t g t t dx δ-∞=⎰
2.3
卷积积分1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ+∞
-∞
==
-⎰
零状态响应的另一种方法()*()f y f t h t = 2.4
卷积积分性质
12211231213123123()*()()*()
()*[()()]()*()()*()[()*()]*()()*[()*()]
f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t =+=+=
函数与冲激函数的卷积
1111212122112121122122112()*()()*()()
()*()()*()()()*()()
()*()()*()()()()*(),()*()()*()()
f t t t f t f t f t t t t t f t f t t t t t t t t t f t t t t f t t t t f t t t f t f t f t f t t f t t f t t f t t f t t t δδδδδδδδδ==-=-=---=----=--=--=--=--=--若则
卷积的微分与积分
1221(1)
(1)(1)1212(1)
(1)(1)1212(1)(1)(1)(1)1212()
()()12()()*()()*(),()()*()()*()
()()*()()*()()()*()()*()
()()*()
i j i j f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f
t f t f t ------=========若则导数积分推论
第三章 离散系统的时域分析
3．1全响应()y k =零输入响应()x y k +零状态响应()f y k
1
()n k x i i
i y k C λ==∑ 1
()()i n k f f i
p i y k C y k λ==+∑ 1
1
()()i n n
k k i i
f i p i i y k C C y k λλ===++∑∑
差分方程的经典解
全解()y k =齐次解()h y k +特解()p y k
1
()()()()n
k h p i i p i y k y k y k C y k λ==+=+∑
1k C k λ+)]k 或 C jD +
22r r A r p --+
1p k ++11p k -+
++等于特征时
1k p ka +)k
P jQ =+当所有特征根均不等于
3．2单位序列和单位序列响应
当LTI 离散系统的激励为单位序列()k δ时，系统的 零状态响应称为单位序列响应，用()h k 表示。

当LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列()k ε 时， 系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响 应，用()g k 表示。

单位序列响应与阶跃响应的关系
()()()
()()(1)
k
i j g k h i h k j h k g k g k ∞
=-∞
==
=-=--∑∑
连续系统冲激响应与阶跃响应的关系
()()()
()t
g t h d dg t h t dt
ττ
-∞
=
=
⎰
3．3卷积和
121
2
()()*()()()i f k f k f k f i f
k i ∞
=-∞
==
-∑
卷积和的性质
12211231213123123()*()()*()
()*[()()]()*()()*()[()*()]*()()*[()*()]
f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k f k =+=+= 任一序列()f k 与单位序列的卷积
121211112121212()*()()*()()
()*()()
()*()()*()()
()*()()*()*()()*()()
i i f k k k i f i f k k k k k k k k f k t t f i k i k f k k f k k k k f k k k k k f k k k k f k k k δδδδδδδδδδδ∞
=-∞
∞
=-∞
=
-=--=---=
--=---=--=--=--∑∑
1212111211122122112()()*(),()*()()*()()
()*()()*()()
f k f k f k f k f k k f k k f k f k k f k k f k k f k k f k k f k k k =-=-=---=--=--若则
11
(),()()*()(1)(),k k k k k b a k a b h k a k b k b a
k b k a b εεεε++⎧-≠⎪
==-⎨⎪+=⎩
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数
∑∑∞
=∞
=Ω+Ω+=1
10)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f
其中,n n a b 为傅里叶系数，2T
π
Ω=，
022
2
222
1()22()cos(),0,1,2,
2()sin(),0,1,2,T
T T
T n T
T n a f t dt T a f t n t dt n T b f t n t dt n T ---=⎧=Ω=⎪⎪⎨⎪=Ω=⎪⎩⎰⎰⎰
01
()cos()
2n n n A f t A n t ϕ∞
==+Ω+∑00
A a =22
,1,2,3,
n n n A a b n =+=
arctan()n n n
b a ϕ=- 00cos ,1,2,
sin ,1,2,
n n n n
n n a A a A n b A n ϕϕ=⎧
⎪
==⎨⎪=-=⎩
4．3傅里叶级数的指数形式
1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞Ω=-∞=∑ 令12n n
j j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞
Ω=-∞
=∑
111
[cos sin ]()222
n j n n n n n n n n F A e A jA a jb ϕϕϕ=
=+=-
22
1(),0,1,2,
T
jn t T n F f t e dt n T -Ω-==±±⎰
4．4傅立叶变换和逆变换
22()1()T
jn t
T n jn t
n n F T f t e
dt f t F Te T
-Ω-∞
Ω=-∞
⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⋅⎪⎩
⎰
∑
()()1()()2lim j n T j t F j F T f t e dt
f t f j e d ωωωωωπ∞
--∞→∞
∞-∞⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰
在f (t )是实函数时：
(1)若f (t )为t 的偶函数，即f (t )=f (-t )，则f (t )的频谱函数F (j ω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。

(2) 若f (t )为t 的奇函数，即f (-t )=-f (t )，则f (t )的频谱函数F (j ω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

编号 ()f t ()F j ω
1 ()r g t
(
)2
Sa ωτ
τ
2
()2
t Sa ττ
2()r g πω
4.5 傅里叶变换的性质
1线形11221122()()()()a f t a f t a F j a F j ωω+↔+ 2奇偶性实部虚部
()()()()cos()()sin()()()()j t j F j f t e dt f t t dt j f t t dt R jX F j e ωϕωωωωωωω∞
∞
∞
--∞
-∞
-∞
==-=+=⎰
⎰
⎰
实部和虚部分别为
()()cos()R f t t dt ωω∞
-∞
=⎰
()()sin()X f t t dt ωω∞
-∞
=-⎰
频谱函数的模和相角分别为
()F j ω= ()
()arctan(
)()
X R ωϕωω= 1、若 f(t) 是时间 t 的实函数，则频谱函数()F j ω的 实部()R ω是角频率ω的偶函数，虚部()X ω是角频率ω的奇函数， ()F j ω是ω的偶函数， ()ϕω是ω的奇函数。

2、如果()f t 是时间 t 的实函数，并且是偶函数，则 0
()()2()cos()F j R f t t dt ωωω∞
==⎰
频谱函数()F j ω等于 ()R ω ，它是ω的实偶函数
3、如果()f t 是时间t 的实函数，并且是奇函数，则 0
()()2()sin()F j jX j f t t dt ωωω∞
==-⎰
频谱函数()F j ω等于()jX ω ，它是ω 的虚奇函数。

4、()f t -的傅里叶变换 若 f(t) 是时间 t 的实函数
()()()()()()F j R jX R jX F j ωωωωωω*-=-+-=-= ()()()f t F j F j ωω*-↔-=
则有（1）
()(),()()()(),()()
R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω-==--=-=--
（2）()()()f t F j F j ωω*
-↔-=
（3）()(),()0,()()f t f t X F j R ωωω=-==如则 ()(),()0,()()f t f t R F j jX ωωω=--==如则 若 f(t) 是时间 t 的实函数 （1）
()(),()()()(),()()
R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω=--=-=-=--
（2）()()()f t F j F j ωω*
-↔-=-
3对称性
()(),()2()f t F j f jt F ωπω↔↔若则
1()(),()()f t F j f at F j a a
ωω↔≠↔
若则对实常数a(a 0),有 5时移特性
()(),f t F j ω↔若则00()()j t f t t e F j ωω±±↔
1()()b j a f at b e F j a a
ωω
-≠-↔实常数a 和b(a 0),有
6频移特性
000()(),()[()]j t f t F j f t e F j ωωωωω±↔↔若且为常数，则
00011
()cos()[()][()]22f t t F j F j ωωωωω↔
++- 00011
()sin()[()][()]22
f t t F j jF j ωωωωω↔+--
7卷积定理 时域卷积定理
11121222()()()()()()()()f t F j f t f t F j F j f t F j ωωωω↔*↔⋅↔若
则
频域卷积定理
11121222()()1
()()()()()()
2f t F j f t f t F j F j f t F j ωωωωπ
↔⋅↔
*↔若
则 其中1212()()()()f t f t f f t d τττ∞
-∞
*=⋅-⎰
8时域微分
()()(),()()()n n f t F j f t j F j ωωω↔↔若则
时域积分
(1)()
()(),()(0)()F j f t F j f t F j ωωπδωω
-↔↔+
若则 9频域微分
()(),()()()n n f t F j jt f t F j ωω↔-↔若则
频域积分
(1)1
()(),(0)(0)()()f t F j F f t F j jt
ωπδω-↔+
↔-若则
2
22
2
1
()()(),()()2E f t dt F j d F j df F j ωωωωεωπ
∞
∞
∞
-∞
-∞
-∞
==
==⎰
⎰
⎰
取
功率谱
2
2
2
222
()()()11
lim ()lim
lim
,lim
()2T T t T t T
t T
t T
F j F j F j P f t dt d df T T
T
T
ωωωωϕωπ∞
∞
-∞-∞→→→→-==
==⎰⎰
⎰取
傅里叶变换的性质
4.6 周期信号的傅里叶变换
一、 正、余弦函数的傅里叶变换
000001
cos()()[()()]2
j t j t t e e ωωωπδωωδωω-=+↔-++
000001sin()()[()()]2j t j t
t e e j j
ωωωπδωωδωω-=
-↔+--
4．7LTI 系统的频域分析 1、 虚指数函数()j t
f t e
ω=作用于LTI 系统所引起的零状态响应，设冲击响应h(t)
()()()()j t f y t f t h t H j e ωω=*=⋅
2、任意信号输入时的响应
()()()Y j H j F j ωωω=
第五章 拉普拉斯变换
5．1在频域分析中，我们以j t
e
ω 为基本信号，在复频域分析中，我们以st
e 为基本信号
s j σω=+ ，由于当0,s j σω==，j t st e e ω=
()()1()()2st b j st
b j F s f t e dt
f t F s e ds j σσπ∞--∞+∞-∞⎧=⎪
⎨=⎪⎩
⎰⎰称为双边拉普拉斯变换对； ()b F s 称为()f t 的双边拉氏变换（或象函数）；
()f t 称为()b F s 的双边拉氏逆变换（或原函数）。

（单边） 拉普拉斯变换0()()st F s f t e dt -
∞
-=
⎰
1()2st r e g t s
τ
---↔，Re[]s >-∞ ()1t δ↔，Re[]s >-∞ '
()t s δ↔，Re[]s >-∞
00
1
()s t e t s s ε↔
-，0Re[]Re[]s s > 5．2 拉普拉斯变换的性质
1线形1122112212()()()(),Re[]max(,)a f t a f t a F s a F s s σσ+↔+>
22
22
sin (),cos (),Re[]0s
t t t t s s s β
βεβεβ
β
↔
↔>++ 2尺度变换
001()(),Re[]()(),Re[]s
f t F s s f at F s a a a
σσ↔>>↔
>若则对实常数a(a 0),有 3时移特性
000000()(),Re[]0()()(),Re[]st f t F s s t f t t t t e F s s σεσ±↔>>--↔>若且对实常数则
0001()(),Re[]0()()(),Re[]0,0b
s a s f t F s s t f at b at b F e s a b a a
σεσ-↔>>--↔>>≥若且对实常数则其中
4复频移特性
00()(),Re[],()(),Re[]a s t a a a a f t F s s j f t e F s s s σσωσσ↔>=+↔->若且有复常数则s 则+
5时域微分特性
0(1)(2)2(1)()12(1)(1)()(),Re[]()()(0)()()(0)(0)()()(0)(0)(0)
n n n n n f t F s s f t sF s f f t s F s sf f f t s F s s f s f f σ---------↔>↔-↔--↔---
-若则
如果()f t 是因果信号，则由于()
(0)0(0,1,2
)n f n -==有()0()(),Re[]n n f t s F s s σ↔>
6时域积分定理
()
()11()1
()(0)n n m n n m m F s f
t f s s
----+-↔+∑其收敛域至少是Re[]0s >和0Re[]s σ>
相重叠的 部分。

7卷积定理 时域卷积定理
1111212222
()(),Re[]()()()()()(),Re[]f t F s s f t f t F s F s f t F s s σσ↔>*↔⋅↔>若因果信号
则
复频域卷积定理
121212121
()()()(),Re[],Re[]2c j c j F t F t F F s d s c s j ω
ω
ηηησσσσπ+-⋅↔
->+<<-⎰
8s 域微分和积分
()(),Re[]()()()()(),()(),(),Re[]n n
n s f t F s s dF s d F s f t t f t t f t F d s ds ds t σηησ∞↔>-↔-↔↔>⎰若则
5.3
拉普拉斯逆变换
,0
0()1
()2,0
j st
j t f t F s s ds
j t σσ
π+∞
-∞
<⎧⎪
=⎨⎪>⎩⎰
()()j p i
j
q
p k k F s ms s
s s =+
+
- '
()()1,(),()n n t t s t s δδδ↔↔↔
2
111(),(),,()n n
t t t t t s
s s εεε↔↔
↔
2111(),(),,()12
t t nt e t e t e t s s s n
εεε---↔
↔↔
---
5.4 复频域分析
1用拉普拉斯变换求系统的零输入响应和零状态响应
''2'()()(0)(0)
y t s Y s sy y --=--
'()()(0)
y t sY s y -=-
()()y t Y s =
()()()n n f t s F s =代入'''()()()()()n y t ay t by t f t ++=中有()()
()()()()
M s B s Y s F s A s A s =
+⋅ ()()M s A s 为零输入响应的象函数
()
()()
B s F s A s ⋅为零状态响应的象函数 一般题目中有'
(0)y -和(0)y -的值，如果只有'
(0)y +和(0)y +的值，那么先算出()zs y t 的函数，在根据函数()zs y t ，(0)y +，'
(0)y +计算'
(0)y -和(0)y -的值，可得出()zi y t 的函数
2系统函数
系统零状态响应的象函数与激励的象函数 之比，称为系统函数。

用()H s 表示。

()
(),()()()
B s H s H s h t A s =
↔，()H s 仅与系统的结构，元件参数有关，而与激励及初始状态无关
第六章 离散系统的z 域分析
6．1
()()k k F z f k z ∞
-=-∞=
∑
0,1,2,
k =±± 称为序列f(k)的双边z 变换
()()()k k F z f k k z ε∞
-==∑ 称为序列f(k)的单边z 变换
Z 变换简记为：()()f k F z ↔
常用序列的z 变换：
因果序列：a 为正实数
(),k z a k z a z a ε↔
>- ()(),k z a k z a z a
ε-↔>+
令a=1，则单位阶跃序列的z 变换：(),11
z
k z z ε↔>- 令j a e
β
±= 则有(),1j k
j z
e
k z z e
ββ
ε±±↔
>- 反因果序列：b 为正实数，
(1),k z b k z b z b ε---↔
<- ()(1),k z
b k z b z b
ε----↔<+ 令b=1，则有(1),11z
k z z ε---↔<-
6.2 z 变换的性质 1线形 若
11112222
()(),()(),f k F z a z f k F z a z ββ↔<<↔<<且有任意常数1,2a a 则有
11221122()()()()a f k a f k a F z a F z +↔+，收敛域至少为1()F z 和2()F z 的相交部分
2移位特性
若()(),f k F z a z β↔<<，且有整数0m >，则()(),m
f k m z F z a z β±±↔<<
3序列乘k
a 的尺度变换
若()(),f k F z a z β↔<<，有常数0a ≠，则()(),k
z a f k F a a z a
ββ↔<<
4卷积定理 若
11112222
()(),()(),f k F z a z f k F z a z ββ↔<<↔<<则1212()()()()f k f k F z F z *↔⋅收敛域至少为1()F z 和
2()F z 的相交部分
5序列乘k
若()(),f k F z a z β↔<<则
()()d kf k z
F z dz ↔- ，2()[()]d d
k f k z z F z dz dz
↔--，，()[]()m
m
d k f k z
F z dz
↔- 特例
1
22
23323
(),1(),1(),1(),(1)()(1)(1)(),1(),2(1)2()(1)(),2()k k k k z z
k z a k z a z z a
z z k k z a k k z a
z z a k k z k k a z k z a k z a z z a k k z a k z a
z a εεεεεεε--↔
>⇒↔>--↔>⇒↔>----↔>⇒↔>---⇒↔>-
6序列()k m +
若()(),f k F z a z β↔<<，且有整数m ，且0k m +>，则
1()()m m Z f k F Z d k m ηηη∞+↔+⎰ ()()Z f k F d k ηηη
∞↔⎰
7 k 域反转
若()(),f k F z a z β↔<<则1
1
1()(),f k F z z a
β
--↔<<
8部分和
若()(),f k F z a z β↔<<则()()(),max(,1)1
k
i z
g k f i F z a z z β=-∞
=↔
<<-∑
第七章 系统函数 7．1
系统函数的零点与极点 对于连续系统
1
1
110
1
110
1
()
()()()()
m
m j m m j m m n
n n n i
i b s b s b s b s b B s H s A s s a s a s a s p ξ-=---=-++++=
==+++-∏∏
j s ξ=为零点 i s p =为极点
对离散系统
1
1
110
1110
1
()
()()()()
m
m j m m j m m n
n n n i
i b z b z b z b z b B z H z A z z a z a z a z p ξ-=---=-++++=
==+++-∏∏零点 极点同上。

系统函数与时域响应
结论：1.H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的。

当t →∞时，响应趋近于零。

极点全部在左半开平面的系统（因果）是稳定的系统。

2. H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。

H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面 上的极点，其所对应的响应函数都随t 的增长而增大。

当t →∞时，响应趋于无限大。

这样的系统是不稳定的。

离散系统
结论：1. H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减的，当k 趋于无限时，响应趋于零。

极点全部在单位圆内的系统(因果）是稳定系统。

2. H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的幅度不随k 变化。

3. H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k 的增大 而增大，当k 趋于无限时，它们都趋近于无限大。

这样的系统是不稳定的。

7．2系统的稳定性 系统因果性
因果系统指的是系统的零状态响应()f y ⋅不出现于激励()f ⋅之前的系统。

也就是说如果
()0,()0f t k ⋅=<或
系统的零状态响应都有 ()0,()0f y t k ⋅=<或 就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。

连续因果系统的充分和必要条件是：
冲激响应 ()0,0h t t =<或者，系统函数()H s 的收敛域为0Re[]s σ> 离散因果系统的充分和必要条件是：()0,0h k k =< 或者，系统函数()H z 的收敛域为0z ρ>
系统的稳定性
连续（因果）系统的稳定性准则
连续因果系统的稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则 连续系统的系统函数()()()
B s H s A s =
，其中1
110()n n n n A s a s a s a s a --=+++
所有的根均在左半开平面的多项式称为霍尔维 兹多项式。

判断多项式是否为霍尔维兹多项式的步骤： 1、 判断多项式 ()A s 的所有系数(0,1,2,
)i a i n =是否大 于0。

如果 ()A s 的任何一个（或多个）系数为零或负值， 那么它就不是霍尔维兹多项式，也就不需要进一步 研究。

但是，即使所有的系数i a 都是正数， ()0A s =也可能还有右半开平面（或虚轴）上的根，因此还 需进一步检验。

2、若所有系数i a 均大于0， 用罗斯准则进一步判断。

241351351
3
5
12341
n n n n n n n n n n n n a a a a a a c c c d d d n -----
------+行罗斯阵列
有13121------
=n n n n n
n a a a a a c 151
43------=n n n n n n a a a a a c 131311-------=n n n n n n c c c a a d 1
5
15
13-------=n n n n n n c c c a a d 罗斯准则：多项式()A s 是霍尔维兹多项 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 于零。

离散(因果）系统的稳定性准则----朱里准则（略）。