电子科技大学随机信 分析期末考试题

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷

课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。

一、填空题（共20分，共 10

题，每题2 分）

0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，

[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0

2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e

3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的

相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。

5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和

相位是___互相独立___的随机变量。

6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。

7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一

偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

二、计算题（共80分）

X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求：

1) a ;

2) X 特征函数；

3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。

解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分）

所以4A = （1分）

X 的边缘概率密度函数：

1

()4201X f x xydy x x ==≤≤⎰ （2分）

所以特征函数

容易得1

()4201Y f y xydx y y ==≤≤⎰

则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = （2分） 因此X 和Y 是统计独立。 （2分）

2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞，其中x 在(]0,2π均匀分布，求： 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+； 2) 判断是否广义平稳； 解：

因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化，所以不是广义平稳；(2)L L L L 分

3. (12分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：()()t t T

Y t X u du -=⎰

其中T 为积分时间常数，

如输入随机过程()X t 是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为()X S ω，求()Y t 的功率谱和自相关函数

解：很显然，()Y t 是平稳随机过程，故有：

4. (16分)已知零均值的窄带高斯随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，其中0100ωπ=，且已知()

X t 的功率谱如图所示，求： 1) 自相关函数()a R τ和()b R τ； 2) ()a t 和()b t 的一维联合概率密度； 解：

因为()X t 是零均值的高斯随机过程，因此有： (2分)

00()()

10()()0

x x a b S S S S ωωωωωπ

ωω⎧-++≤⎪==⎨

⎪⎩其它

(2分)

所以3

10()()0

a b S S ωπ

ωω⎧≤⎪=⎨

⎪⎩＝其它

(2分)

因此sin(10)

()()3

a b R R πτττπτ

== (2分)

因为()a t 和()b t 都为零均值的高斯随机过程，且在同一时刻是独立的，所以只要求出其方差，即可得到其一维联合概率密度： (3分)

显然有和22

30a b σσ== (2分)

所以：

22

60

(,;,)(;)(;)60a b ab a b e

f a b t t f a t f b t π

+-==

(3分)

5. (12分)一数学期望为零的平稳高斯白噪声()N t ，功率谱密度为

0/2N ，经过如图所示的系统，输出为()Y t ，求输出过程的相

关函数。

解：令1/RC α=，得RC 积分电路的功率传输函数为：

2

2

2

2

()H αωαω=+ (2分) 则()X t 的功率谱密度为：

20

2

2()2X N S αωαω=+ (2分) 得()X t 的自相关函数为：

()4

X N R e

ατ

αω-=

（2分）

最后得：

6. (12分)证明平稳随机过程()X t 希尔伯特变换^

()X t 的自相关函数^

()()X X R R ττ=。 证明：平稳随机过程进行希尔伯特变换后仍为平稳随机过程，因此有： 证毕