113(2)两条直线的夹角

资源信息表

11.3(2) 两条直线的夹角

上海市控江中学 王蕙萱

教学目标设计

理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力 教学重点及难点

理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角. 教学用具准备 多媒体设备 教学流程设计

一、复习引入

1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，

则求出交点

的坐标（课本p16例1）．

（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ； （2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ； （3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．

解：（参考课本p16~17）

[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题. 思考并回答下列问题

1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？

教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.

2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？

解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几

何图形（如右图）．

[说明]在复习旧知的基础上引人新课.

二、学习新课

关于两直线的夹角 1、概念形成 两条直线的夹角

如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎

样定义两条直线的夹角呢？

它们

平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，

是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.

如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线

的夹角的取值范围是⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2

,

0π

.

现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？

[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲

2、夹角公式的推导

分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.

设两条直线的方程分别为

1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零） 2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.

设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹

角

为

θ

，且

1

d =),(11a b -,2d =),(22a b -，

当]2

,

0[π

θ

∈时，则θα=如图甲所示;当],2

(

ππ

θ

∈时，则θπα-=,

如图乙所示. 于是得:2

2

2

22

12

1212121||||

|cos |cos b a b a b b a a d d +⋅

++=

⋅==θα

.

即为直线1l 与2l 的夹角公式.

特别地,当且仅当0212

1=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2

π

,即1l 与2l 垂

直.也就是说:1

l ⊥2l ⇔1

d 垂直2

d ⇔1

n 垂直2

n ⇔0

2121=+b b a a (其中

1

n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量) 而由0212

1=+b b a a ,易得当0

,021≠≠b b 时,有

1

2

21

1-=⋅

b a b a ,即当两条

直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,

121-=k k 其中21,k k 分

别为直线1l 与2l 的斜率.

[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2,

0π.后者的范围是],0[π,因此

必须考虑两种情况]2

,

0[π

θ

∈与],2

(

ππ

θ∈;② 允许学生从斜率的角度考

虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.

3、例题分析

例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：

（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ； （2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；

解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得

(1),965

1932712

743|)12(473|cos 2

22

2

=

+⋅

+-⨯+⨯=

α