圆的切线证明及计算

圆的切线证明及计算

一、知识回顾

切线证明的两种主要类型：

（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并

且垂直于半径的直线是圆的切线。（作半径，证垂直）

（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的

距离等于圆的半径的直线是圆的切线。（作垂直，证半径）

二、学生练习

1、如图1，在Rt△ABC中，C90

∠= ,BE平分∠ABC交AC于点E，

点D在AB上，DE EB

⊥.

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（２）若2

6

,6

2=

=AE

AD，求EC的长.

2、如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，

以D为圆心，DB长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3.

求证:⑴AC是⊙O的切线；

⑵求线段AC的长.

3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙

O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．

（1）求证：EF是⊙O切线；

（2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长．

4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一点，⊙O切AC于点D．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得∠DPC=90°，求DP的长．

5、（2009年元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，

CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.

(1)求证：CF与⊙O相切；

（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.

6、如图8，AB为⊙O的直径，D是⊙O 外一点，AD交⊙O于C，AE平分∠BAD交⊙O于E，AD⊥

ED于D。

（1）求证：DE为⊙O的切线。

（2）若C E∥AB,AB=10,求CD的长

7、如图9，已知点C是线段BD上一点，分别以线段BC和线段DC为边在同侧做等边三角形ABC和等边

三角形CDE，⊙O是△ABC的外接圆.

⑴求证：CE是⊙O的切线；

⑵若△CDE的边DE所在直线恰好与⊙O相切，线段BD=4，求⊙O的半径.

8、如图10，AB是⊙O的直径，AC是弦，弦AE平分∠CAB，ED⊥AC于D，

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝10，DE＝4，求AC的长。

9、如图11，Rt ABC

∆中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,OE∥AB交BC于E,连DE.

(1) 求证：DE为⊙O切线；

(2) 若⊙O的半径为3，DE=4，求AD之长.

10、已知：如图12，△ABC中，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于D、E两点，过

D作DF⊥AC，垂足为F。

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，求AG的长。

11、如图13，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，弧BD=弧DE，过D作AE的垂线，F为垂足.

(1)求证：DF为⊙O的切线；

(2)若DF=12，⊙O的半径为13，求EF.

12、如图14，△ABC中，∠B=90°，O为AC上一点，以OA为半径的⊙O经过BC上一点D，交AB于F ，

交AC于E，且

⋂

⋂

=DE

DF.

（1）求证：BC为⊙O切线;

（2）若BF=2，BD=4，求AF的长.

13、如图15，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

(1)求证：BC是半圆O的切线．

(2)若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．

14、如图16，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分

别交于点D、点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求FH

的长．

15、如图17，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AC=8，AD∶BC=5，试求⊙O的半径.