含界面裂纹复合材料的断裂分析

+ K2 3B
33
( 15)
( 16) ∃G 1 = ( ∃ K 1 ) B 11 这里: G T 为 ∃ K 1 与原场 ( K 1 , K 2 , K 3 ) 共同作用时能量释放率; ∃G 1 为 ∃ K 1 单独作用时的值 . 增加 ∃ K 1 场后其能量释放率改变量为 ∃ K 1 与原场相互作用量 . I ( 17) G in t = G T - ∃G 1 - G = 2K 1B 11 ( ∃ K 1 )
1 E3 0 1 E 0
3
0 0 1 ( ( 1 - Β ) 2Λ )
2 22
〔 B st 〕 = (1 - Β )
2
0 0
( 14)
3
如果给 K 1 场一个增量 ∃ K 1 , 那么
2 2 2 GT = 〔 K 1 + 2K 1 ( ∃ K 1 ) + ( ∃ K 1 ) 〕 B 11 + K 2B 2
1 1- Β ln 2Π 1 + Β Λ1 ( k 2 + 1) - Λ2 ( k 1 + 1) Λ1 ( k 2 - 1) - Λ2 ( k 1 - 1) Α= , Β= Λ1 ( k 2 + 1) + Λ2 ( k 1 + 1) Λ1 ( k 2 + 1) + Λ2 ( k 1 + 1)
Ε=
( 2) ( 3)
3 多介质复合材料裂尖场
在两半无限大均质各向同性介质中间嵌入一薄层形成第三相材料时, 如果该第三相介质 层厚相对裂长或相关尺寸很小时, 可以用文〔 7〕 中通式计算界面裂纹的 S IF 值 . 若上述条件 不满足时, 需通过其他途径来求出裂尖的 S IF 值 . 本文用有限元数值法提取 S IF 值, 并对其 结果进行分析与讨论. ( 1) 在均质各向介质中嵌入第二相材料形成复合材料, 裂纹出现在材料 1# 与 2# 界面上 ∞ 时, 其分析模型如图 3 所示. 令裂长 L = 2a , 材料 2# 厚度为 h; 远场应力 Ρ∞ 22 ≠0, Ρ12 = 0; 无量 纲化材料参数 E 1 = 15, E 2 = 3 和 Μ = 1= Μ 2 = 0. 3. 图 4 中分别给出了裂尖场的 K 和 Ω( 这里, Ω
令 ∃ K 1 = 1, 由上式可提取 K 1:
K1 =
1 2
G in tB
I
- 1 11
I = E 3 G in Β2 ) t 2 (1 -
( 18)
同理可得:
K2 =
1 2
3 2 ) G in t E co sh ( Π Ε 3
( 19) ( 20)
和 设由 ∃ K H (H =
, ,
1 2
- 1 2- iΕ 从式中看出, 复应力强度因子 K = K 1 + iK 2 与 K 3 不同, 它的量纲为: 〔 〔 ; 而 Ρ〕 L〕 . 对于图 2 所示两种情况的裂尖复应力强度因子分 K 3 是与传统的应力强度因子量纲相同的
别为〔2〕
∞ ∞ 1 2 ) (Π K = ( Ρ22 + iΡ12 ) ( 1 + 2iΕ L 2) L
1 2 - iΕ - iΕ
( 5)
( 6) 和 K = (P + i Q ) (Π L 2) L co sh Π Ε ∞ ∞ ∞ ∞ 式中: Ρ12 , Ρ22 为远场应力; L 是裂长或集中载荷到裂尖的距离 . 若 Ρ22 ≠0, Ρ12 = 0, 从式 ( 5 ) 看 出 K = K 1 + iK 2 中的 K 1 与 K 2 均不为零, 这反映了界面裂尖应力场的偶合特性 .
1996 年 7 月
Journa l of Da l ian Un ivers ity of Technology
Jul. 1 9 9 6
含界面裂纹复合材料的断裂分析
王利民 陈浩然
( 大连理工大学工程力学研究所 116024 )
Ξ
任传波 王 健
( 山东工程学院 )
摘要 弹性复合材料界面裂纹尖端场是具有振荡奇异性的偶合场, 复应力
ij
5Baidu Nhomakorabea i
1
H
+ ( Ρij ) H H =
5u i 5q - Ρik ( Ε dA ik ) H ∆ 1j 〕 5x 1 5x j
( 21)
、 、
第 4 期 王利民等:
含界面裂纹复合材料的断裂分析
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这样, 就可以用式 ( 8 ～ 21) 进行有限元法数值计数求得 S IF 值 .
∫
式中: u i 与 W 分别表示位移与变形能; 积分面积 A 是由两条围绕裂纹尖端不相交的曲线和 裂纹表面围成; 权函数 q 在 A 内边界到外边界的值, 从 1 到 0 连续过渡 . 下面介绍一种用所谓相互作用积分原理来提取应力强度因子的方法 . 设能量释放率与应 力强度因子 (S IF ) 有下列关系: ( 13) G = K sB st K t ( s, t = 1, 2, 3) 其中: B st 为一常数矩阵, 对于式 ( 8) 是
r→0
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大 连 理 工 大 学 学 报 第 36 卷
或混合模式. 然而, 对复合材料的界面裂纹问题, 由于 K 1 与 K 2 场是不可分离的, 由式 ( 4) 可 看出当 r →0 时 ( Ρ12 Ρ22 ) 不存在极限, 故〔 6〕 中定义混合度为 δ Ρ13 I m ( K l iΕ) δ ( 11) tan Ω = ( Ρ12 Ρ22 ) r= δ l = δ , co sΥ= ( K 2 + K 2 ) R e ( K l iΕ) 3 式中, δ l 是一个与试件模型和尺寸无关的特征长度, 例如可用小范围屈服的塑性区特征尺寸 δ 来表征. 实验结果〔6〕 表明, 复合材料裂纹破坏的韧度是很敏感地依赖于模型混合度 Ω .
其中 1 co sh 2 Π = 1- Β2 , E 3 与 Λ3 分别为等效杨氏模量与剪切弹性模量: Ε 1 2E 1 + 1 2E 2 平面应力情况 1 E3 = 2 2 (1 - Μ (1 - Μ 平面应变情况 1 ) 2E 1 + 1 ) 2E 2
( 9)
( 10) 和 1 Λ3 = 1 2Λ1 + 1 2Λ2 iΕ iΕ ln r ( ) ( ) ( ) ( ) 从式 4 和 7 可看出, 由于 r = e = co s Εln r + isin Εln v , 而 K 为常数, 所以随着 r 的变化应力和裂纹表面的相对位移具有振荡特性 . 然而对于常用二相叠层材料的 Ε 很小, 一 般不超过 10- 1 量级; 如环氧树脂与玻璃的复合界面, 其 Ε 为 0. 06. 因此裂纹尖端处应力和相 对位移改变符号的区域是非常小的, r L 不过 10- 4 量级 . 尽管如此, 许多研究者还是建立了 很多力学模型, 力图消除或解释这种奇特现象, 例如裂纹表面的接触区模型〔3〕 ; 材料性质在 〔 4、 5〕 〔 1〕 界面处存在连续过渡的界面层模型 和裂纹尖端小范围屈服模型 等 . 本文根据界面层理 论提出一种力学模型, 并采用数值方法进行了结果分析与讨论 . 在传统的断裂力学中, tan Ω= K K = lim ( Ρ12 Ρ22 ) 表示 型与 型应 力场的混合程度
Ξ 国家自然科学基金资助项目 收稿日期: 1995212201; 修订日期: 1996204201 王利民: 男, 1962 年生, 博士生, 工作单位为山东工程学院
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( 1+ Μ 其中: k i = ( 3- Μ i) i ) 对应平面应力情况, k i = 3- 4 Μ i 对应平面应变情况; i = 1, 2. Ε 以及 Α和 Β 反映了材料性质的失配性; 当裂纹上下材料一致时, 三者均为 0. 在式 ( 1) 中, 当 Η = 0 时界面上的应力可由下列公式表示: 1 2 1 2 ( Ρ22 + iΡ12 ) Η= 0 = K r iΕ ( 2Π ( 4) r) , ( Ρ23 ) Η= 0 = K 3 ( 2Π r)
图 3 有夹层介质的界面裂纹 图 4 K 因子及 Ω 随 h 变化规律 若改变材料参数 ( Α , Β) , 对 K 值的影响如表 1 所示 . 为方便计, 令 h = L 2= a , 介质 1# # 弹性常数不变 (E 1 = 15, Μ 1= Μ 2 = 0. 3 ) ; 通过计算得到了在不同的材料 2 弹性常数 E 2 值时, K 及 Ω 随之 ( Α , Β) 变化情况 . 从表 1 可以看出随着 E 2 值变化由 J 积分得到的 K j 变化不大, 而由 相互作用积分提取的 K f ( K f = K f2 1 + K f2 2 ) 和 Ω 虽稍有变化, 但也不显著 . 这反映了中间插 入介质, 当其厚度不大时, 中间层的刚硬程度对 S IF 值影响不大 . ( 2) 对于由两种不同材料复合在一起的材料, 由于在复合的物理化学变化过程中, 在两 介质结合处会出现一层其物理性质在两者之间的过渡界面层 . 为方便起见仍采用图 3 所示的 # # 夹心层构型, 设介质 1 为无限大, 介质 2 厚度 h = a 为半个裂长, 介质 1# 与 2# 之间的界面 ∞ ∞ 层厚度为 t= 0. 1a , 相应材料常数: E 1 = 15, E 2 = 3, Μ 1= Μ 2 = 0. 3; 远场应力 Ρ22 ≠0, Ρ12 = 0. 若 界面层内 Μ 保持不变, 而 E 随厚度方向 y 坐标逐渐变化, 令 E 的过渡函数为 E (y ) = 〔 1 - A (y ) 〕 E 1 + A (y ) E 2
2 数值法的 J 积分与相互作用积分
对于含裂纹的线弹性材料, 其能量释放率与 J 积分等价 . 由 J 积分与路径无关特性, 引 入权函数 q , 把线积分转化为绕裂纹尖端某区域的面积分, 可用下式表示: 5u i 5q ( 12) J = 〔 Ρij - W ∆1 j 〕 dA A 5x 1 5x j
A
K 3 = Λ G in t
ij 和 Ρij ( Ε ij ) H = ( Ρij ) H Ε ij , 则可得到面积分表达式: Ρij Ε
) 单独作用产生的应力应变和位移分别为 (Ρij ) H、 (Ε ij ) H 和 ( u i ) H ,
考虑线弹性系统, 有W =
G in t =
H
∫Ρ ( 5x )
强度因子是这类场的重要指标. 本文利用 J 积分和相互作用积分求解复强 度因子的方法, 给出了有限元法数值结果的算例, 并对所建立的力学模型 进行了数值计算与分析讨论.
关键词: 复合材料; J 积分; 弹性; 应力强度因子 界面裂纹 分类号: O 346. 1 TB 333
许多新型材料, 如结构陶瓷、多晶金属合金、电子器件封装等材料, 经常在复合界面和 晶粒与基体界面上发生破坏; 该类现象严重影响了材料的整体性能与功能 . 复合材料的破坏 表现与均质单一材料具有明显的差异. 本文将介绍该问题的一些概念与研究结果; 给出含裂 纹体 J 积分与相互作用积分原理求应力强度因子的数值方法; 提出一种力学模型, 以此模型 分析多层介质的层间破坏问题, 并对数值结果进行分析与讨论 .
. 其中 K = a rctg K 2 K 1 ) 随 h 的变化规律
K 1 + K 2 , 由前述相互作用积分法提取 K 1 与 K 2 的
2 2
值 . 由图可知, 尽管在两较硬的材料之间复合一层软材料, 但界面裂纹尖端的 S IF 值却随中 间 2# 材料厚度加大而增大, 混合度 Ω 也随 h 而增大 .
1 双介质复合材料界面裂纹的破坏
如图 1 所示, 在外载作用下由两种均质各向同性弹性材料复合起来的叠层材料, 当裂纹 出现在界面上时, 裂纹尖端的应力场不同于单一均质材料中的裂纹尖端场, 它是两种应力场 的线性组合: 一种场是由强度因子 K 表征的两个具有振荡奇异性场的偶合场; 另一种场是非 振荡的传统裂纹尖端 型场, 由 K 3 表征. 即 K3 R e ( K r iΕ) I m ( K r iΕ) ) + ) + Ρij = ,Ε ,Ε 1 2 f ij ( Η 1 2 f ij ( Η 1 2f ( 2Π ( 2Π ( 2Π r) r) r)
和
图 1 两不同材料的界面裂纹 图 2 两几何情况的界面裂纹 对于复合材料界面裂纹问题, 当 r < L 2 时裂纹表面相对位移与裂纹扩展能量释放率 )1 2 2K 3 2 r 1 2 4K r iΕ ( 2 r Π ( 7) ∆2 + i∆1 = 3 , ∆3 = ) co sh Π E ( 1 + 2iΕ Ε Λ3 Π 2 2 3 2 ( 8) G = (1 - Β ) K E + K3 2Λ3
(Η ) ( i, j = 1, 2, 3) ( 1)
ij
〔 1〕 式中: r、 Η为极坐标, f ij 、 f ij 为 x 1 - x 2 平面内相应裂尖应力角分布函数 ; f ij 为 x 1 - x 2 平面 外相应剪应力角分布函数. 式中, 参数 Ε以及另外的两个 D undu rs〔2〕 参数 Α与 Β, 由两种材料 的弹性常数决定: