安徽省淮南四中2014高三二模调研考试数学试卷

安徽省淮南四中2014高三二模调研考试数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 在复平面内，复数243i
i +-（是虚数单位）所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
1．已知R
是实数集，2
{|
1},{|1}M x N y y x
=<==+，则=M C N R ( )
A ．)2,1(
B ．[]2,0
C.∅ D ．[]2,1
3．给定命题p ：函数11
-x
y ln x+=为奇函数；命题q ：函数11x x e y e -=+为偶函数，下列说法正确的是
( ) A ．是假命题 B ．是假命题
C ．
是真命题
D ．
是真命题
4．等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和
是
( )
A ．156
B ．52
C ．26
D ．13 5．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )
A ．y ＝x ＋1的图像上
B ．y ＝2x 的图像上
C ．y ＝2x 的图像上
D ．y ＝2x -1的图像上
6．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三
棱锥C-ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为( )
A ．3
2
B ．22
C ． 1 2
D ．1
7．已知等边ABF ∆的顶点F 是抛物线21:2C y px =的焦点，顶点B 在抛物线的准线上且AB ⊥,则点
A 的位置（ ）
A . 在1C 上 B. 在1C 开口内 C. 在1C 开口外 D.
与p 值有关
正视图
俯视图
8. 已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211
()||32
f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则向量,a b 的夹
角范围是（ ）
A ．[0,)6π
B ．(,]6ππ
C ．2(,)33ππ
D ．(,]3
π
π
9.已知a ＞0,且a ≠1,f （x ）=x a x -2,当x ∈)1,1(-时,均有2
1
)(<
x f ,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2[]21,0(+∞ B ．]4,1()1,41[ C ．]2,1()1,21[ D ．),4(]4
1
,0(+∞
10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1
()()x x f x e e
=*的最小值为 A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知点P 的坐标4
(,)1x y x y y x
x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 。

4
12.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2PA PD AB ===，90APD ︒
∠=，
若点P A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的表面积等于 。

12π 13．已知数列
的前n 项和，对于任意的
都成立，则S 10= 91
14. 已知函数213
,1
()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪
=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m
的取值范围为 . 1
4
m ≤-或1m ≥
15．若任意,x A ∈则1,A x ∈就称A 是“和谐”集合.则在集合11
{1,0,,,1,2,3,4}32
M =- 的所有非空子
集中,“和谐”集合的概率是
17
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.
已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2． （Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；
(Ⅱ)已知ABC ∆外接圆半径3=R
，()()sin 4
4
f A f B A B ππ
-+-=，角,A B 所对的边分别是
,a b ，求
b
a 1
1+的值．
17．（本小题满分12分）
某公司销售A 、B 、C 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）
已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是21.0.
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求在C 款手机中抽取多少部？ （Ⅱ）若133,136≥≥z y ，求C 款手机中经济型比豪华型多的概率.
18．（本小题满分12分）
如图几何体中,四边形ABCD 为矩形，36AB BC ==，2====DE AE CF
BF ，4EF =，//EF AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且2CM =. （Ⅰ）证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）证明：面BGM ⊥面BFC ； （Ⅲ）求三棱锥F BMC -的体积V .
C
A
B
D
E F G
M
19．（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，公差为d ，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前
20项和20330T =.数列}{n b 满足n b =212(2)2n n a d ---+，R a ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1n n b b +≤，n *∈N ，求a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆221121:1(1)x C y a a +=>与22
2222
:1(01)x C y a a +=<<的离心率相等. 直线
: (01)l y m m =<<与曲线1C 交于, A D 两点（A 在D 的左侧），与曲线2C 交于, B C 两点（B 在C 的左侧）,O 为坐标原点，(0,1)N -．
（Ⅰ）当m ，5
4
AC =时，求椭圆12, C C 的方程； （Ⅱ）若2||||ND AD ND AD ⋅=⋅，且AND ∆和BOC ∆相似，求m 的值．
21.（本小题满分14）
已知函数x x x f ln )(=，x e ax x x g )3()(2-+-=（a 为实数）． (Ⅰ) 当a=5时，求函数)(x g y =在1=x 处的切线方程； (Ⅱ) 求)(x f 在区间[t ，t+2]（t >0）上的最小值；
(Ⅲ) 若存在两不等实根 ， 使方程)(2)(x f e x g x =成立，求实数a 的取值范围． ]1
[，21，e e
x x ∈
解答题答案
16.解：（1）由题意，()f x ．……………………2分 而
0m >，于是m =π
()2sin()4
f x x =+．…………………………………4分
在]4
,0[π上递增．在 ππ4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，递减，
所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分
（2）化简ππ()()sin 4
4
f A f B A B -+-=得 sin sin sin A B A B +=．……7分
由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分 因为△ABC 的外接圆半径为
3=R ．a b +=．…………………………11分
所以
21
1=+b
a ……12分 17. 解：（Ⅰ） 因为0.211000
x
=，所以210x = ………………………………………2分
所以手机C 的总数为：(),2802101602001501000=+++-=+z y ………………3分
现用分层抽样的方法在在A 、B 、C 三款手机中抽取50部手机，应在C 款手机中抽取手机数为：142801000
50
=⨯（部）. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）设“C 款手机中经济型比豪华型多”为事件A ，
C 款手机中经济型、豪华型手机数记为(,)y z ，
因为280y z +=，*,N y z ∈，满足事件133,136≥≥z y 的基本事件有：
(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)， (143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)共12个
事件A 包含的基本事件为(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，
(147,133)共7个
所以7()12
P A =
即C 款手机中经济型比豪华型多的概率为
7
12
……………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG
因为点G 为CF 中点， 所以OG 为AFC ∆的中位线
所以//OG AF ，………………………………………………………………………………2分
AF ⊄面BDG ， OG ⊂面BDG ，
∴//AF 面BDG ……………………………………4分
（Ⅱ）连接FM
2BF CF BC ===，G 为CF 的中点 BG CF ∴⊥
2CM =，4DM ∴= //EF AB ，ABCD 为矩形
//EF DM ∴，又4EF =，EFMD ∴为平行四边形 2FM ED ∴==，FCM ∴∆为正三角形 MG CF ∴⊥，
MG BG G =CF ∴⊥面BGM
CF ⊂面BFC
∴面BGM ⊥面BFC ……………………………………………………………………8分
（Ⅲ）11
233
F BMC F BM
G C BMG BMG BMG V V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯
因为GM BG ==
，BM =
所以1
12
BMG S =⨯=
所以23F BMC BMC V S -=⨯=12分
19. 解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++=
则24620330a a a a +++
+= ……………………………………………………………3分
C
A
B
D
E F
G
M
O
则109
10(3)23302
d d ⨯++⨯= 解得3d =
所以33(1)3n a n n =+-= ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知n b =212(2)32n n a ---+
1n n b b +-1212(2)32[2(2)32]n n n n a a ---=-+--+214(2)32n n a --=-+
2212
43[(2)()]23
n n a --=⋅-+
由1n n b b +⇔≤212(2)()023n a --+≤212
2()23
n a -⇔≤- …………………………10分
因为2122()23n --随着n 的增大而增大，所以1n =时，2122()23n --最小值为5
4
所以5
4
a ≤……………
20. 解：（Ⅰ）∵12,C C 的离心率相等，
∴=121a a =，………………………………………………………2分
m =
Q
y =12,C C 方程，
由212131
142A x x a a +=⇒=-， 由222231
142
C x x a a +=⇒=. ∴当m
=
时，1(2a A -
,2(2a C ． 又∵54AC =
,12115
224
a a ∴+=. 由12121152241a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得12212
a a =⎧⎪⎨=⎪⎩.
∴12,C C 的方程分别为2
214x y +=，2241x y +=． ……………………………………5分
（Ⅱ）将m y =代入曲线1:C 2
221
1x y a +=
得A x a =-
D x a =
将m
y=代入曲线
2:
C
2
2
2
2
1
x
y
a
+=
得
B
x a
=-
，
C
x a
=
由于
121
a a=，
所以()
A a m
-
,()
D a m
，()
B m
，)
C m．
2||||
ND AD ND AD
⋅=⋅，
1
cos cos,
2
||||
ND AD
ADN ND AD
ND AD
⋅
∴∠=<>==
⋅
，
3
ADN
π
∴∠=………………………………………………………………………………8分根据椭圆的对称性可知：ND NA
=，
OB OC
=，又AND
∆和BOC
∆相似，
3
ADN BCO
π
∴∠=∠=，
tan tan
ADN BCO
∴∠=∠=，
1
⇒==
1
=2
1
1
m
a
m
+
=
代入
2
22
1
(1)
3
(1)
m
a m
+
=
-
得
3
4
m=………………………………………………………13分21.
21.解:(Ⅰ)当5
a=时2
()(53)x
g x x x e
=-+-⋅,(1)
g e
=. ………1分2
()(32)x
g x x x e
'=-++⋅，故切线的斜率为(1)4
g e
'=. ………2分
所以切线方程为:4(1)
y e e x
-=-,即43
y ex e
=-. ………4分(Ⅱ)()ln1
f x x
'=+,
………6分 ①当e
t 1
≥
时,在区间(,2)t t +上()f x 为增函数, 所以min ()()ln f x f t t t == ………7分 ②当10t e <<
时,在区间1(,)t e 上()f x 为减函数,在区间1
(,)e e
上()f x 为增函数, 所以min 1
1()()f x f e
e
==- ………8分 (Ⅲ) 由()2()x g x e f x =，可得：223ln x x x ax =-+-， ………9分
32ln a x x x
=++
, 令3
2()ln h x x x x =++
, 2
2)1)(3(321)(x x x x x x h -+=-+=' .
………10分
1132()h e e e =+-,14()h =,3
2()h e e e
=++ . 12420()()h e h e e e
-=-+<. ………11分
∴实数a 的取值范围为3
42a e e
<≤++ . ………13分。