基于有限时间控制的永磁同步电机位置伺服系统_刘慧贤

输出能够跟踪给定位置信号。假设给定位置信号θ ∗二
阶可导，且各阶导数有界。定义误差状态 eθ = θ * −θ ，
由式(1)可得位置误差系统的状态方程：
eθ = θ* − pϕ f iq* / J + Bω / J + Tl / J + d (t)
(2)
其中 d(t)
=
pϕ f
(iq*
− iq ) /
J
+
d 1
(t
)
，是系统的总扰动。
假设1：系统(2)的总扰动 d(t) 是有界的，满足
d(t) ≤ l
(3)
下面我们设计了基于反步构造的有限时间反馈
控制器，分析其抗扰性能以及控制律参数与位置误差
收敛域之间的关系。
在给出定理前，首先给出下列引理。考虑如下非
线性系统：
x = f (x), f (0) = 0, x ∈Rn
4 (1 + q)k
1
⎞1/ q ⎟ ⎠
,
k 3
=
k 2
−
21−1/ q 1+ q
⎛ ⎜ ⎝
23−1/ q k1 (1 +
q q)
⎞q ⎟ ⎠
−
1
k 1
q − 1+ q
⎛ ⎜ ⎝
4 (1+ q)k1
⎞1/ q ⎟ ⎠
。
证明
令
x 1
=
eθ
,
x 2
=
eθ
，利用反馈线性化，则系统(2)
化为如下双积分线性系统。
*此项工作得到国家自然科学基金(批准号: 60504007)和东南大学优 秀青年教师资助。
环控制方法、非连续状态反馈控制方法和连续状态反 馈控制方法。开环控制方法在实际应用中局限很大。 非连续反馈控制方法存在控制器不易实现，系统容易 产生抖动等问题。因此基于系统状态的连续有限时间 控制方法很值得研究[13-19]。
从优化的角度来看，有限时间收敛控制方法是时 间最优的控制方法。在控制系统中，收敛性能是一个 很关键的性能指标。系统的有限时间收敛性是指系统 的状态在有限时间内达到平衡点(并一直停留在平衡 点)。研究表明，对带有不确定和扰动情况的系统进 行控制时，和无限时间控制技术(指数收敛或其它的 渐近收敛)相比，有限时间稳定系统不仅在原点附近 具有更快的收敛性，而且具有更好的鲁棒性和抗干扰 性。一般说来，有限时间控制器设计方法可以分为开
xc
yd
≤
c
c +
d
γ
(x,
y)
x c+d
+
c
c +
d
γ
−
c d
(
x,
y)
y c+d
引理3 [21] 对任何实数 xi ∈ R,i = 1,..., n, 0 < p < 1, 则下列不等式成立：
( ) x 1
+,..., +
xn
p≤
x 1
p +,..., +
xn
p
定理1 若系统(2)满足假设1，对于永磁同步电机
1 引言(Introduction)
最近几年来，控制理论在永磁同步电机及其驱动 理论的研究和应用中已经有了长足的发展[1]。通常 PMSM采用线性模型和线性控制，但是永磁同步电机 是一个典型的非线性多变量耦合系统[2,3]。特别是作为 伺服电机应用容易受到未知负载和摩擦等非线性因素 的影响。一般的线性控制器，不能很好地兼顾动态响 应和抗干扰能力的要求，容易受电机参数变化和负载 扰动等不确定性的影响[4]，难以满足日益提高的伺服 控制系统的性能要求。为了克服这些问题，许多新的 非线性控制技术用于PMSM伺服系统，如滑模变结构 控制[5,6]、自适应控制[7]、自抗扰技术[8-10]和智能控 制[11,12]等。
−
x2∗ )
+
x1x2∗
(8)
其中
k 1
>
0,
1<
q
=
q1
/
q2
<
2，q1和q2
是正奇数。设计
x∗ 2
=
−k1x11/ q
则有：V 1(x 1)≤x 1
(
x 2
−
x∗ 2
)
−
k x1+1/ q 11
(9)
取Lyapunov函数
235
∫ ( ) V 2
(
x1,
式中， ud 、 uq 为定子绕组 dq 轴电压； id 、 iq 为定子
绕组 dq 轴电流； Ld 、 Lq 为定子绕组直、交轴电感；
Rs 为定子电阻；ϕ f 为转子永久磁体产生的磁势；np 为
电机极对数， J 为转动惯量； B 为粘滞摩擦系数，Tl
为负载转矩，ω 电机转子机械角速度，θ 为电机转
(PMSM)位置伺服系统，在如下反馈控制器作用下：
iq*
=
J npϕ f
⎡⎢θ* ⎣
+
B J
ω
+
Tl J
+
(2
−
1 q
)21-1/q
k 1+ 1
q
k 2
(eθq
+
k1q eθ
)2/
q
−1
⎤ ⎥
⎦
(5) 位置误差 eθ 可以收敛到以下区域：
q
q
eθ
≤
⎛ ⎜ ⎝
k3 k
1
⎞ q+1 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
A PMSM Position Servo System Based on Finite-time Control
Liu Huixian, Ding Shihong, Li Shihua, Chen Xisong
School of Automation, Southeast University, Nanjing 210096, P.R.China. E-mail: lsh@
PI
iq id
θ
iα
ia
Park
变换
iβ
Clark 变换
ib
PMSM
光电 编码器
速度与角度计算
图1 矢量控制的永磁同步电机调速系统原理框图
3 有限时间控制器设计(Design of Finite-time Controller)
本文的控制目标为：在PMSM位置伺服系统中，
设计一个基于反步构造的有限时间的控制器，使位置
角，
d 1
(t
)
是系统的外部和内部干扰。
由状态方程可知， dq 电流 id 和 iq 之间存在耦合关
系，不易实现转矩线性化控制。在实际控制中，为实
现转子磁场定向的矢量控制，通常采用 id = 0 的控制
策略。由于电流环的响应较快，采用PI控制，选取了
适当的电流调节器参数时，一般能保证 d 轴电流反馈
x 1
=
x 2
,
x 2
=
u
+
d (t)
(7)
其中 u = θ* − pϕ f iq* / J + Bω / J + Tl / J 。
现针对上述系统利用反步构造法设计有限时间
控制器。取Lyapunov函数V1(x1) = x12 / 2 , 求导可得：
V 1
(
x 1
)
=
xx 12
≤
x1 ( x2
的信号 id 可以大致上较好地跟踪给定信号 id* ， q 轴反
馈电流信号 iq 较好地跟踪上给定电流信号 iq* (后面我
们假设 iq 对 iq* 的跟踪误差是有界的)。所以只要保持电
流指令 id* = 0 ，就近似实现了PMSM中电流的独立控
制，即实现了的转速与电流的近似解耦。图1为基于
矢量控制的双闭环解耦控制结构。外环为位置环，内
摘 要：基于有限时间控制技术，对永磁同步电机伺服系统的位置控制问题进行了研究。利用反步构造法，对系统的 位置环提出了一种基于反馈线性化和有限时间控制技术的策略。对干扰情况下闭环系统的性能进行了严格的数学分 析。结果表明：与传统的基于PD和反馈线性化的控制方案相比，本文的控制方案不仅使得闭环系统的位置跟踪误差具 有更快的收敛速度，而且通过调节控制器参数可以使稳态误差的边界更小，系统具有更强的抗干扰能力。仿真结果验 证了该方法的有效性。 关键词：永磁同步电机, 位置控制, 有限时间控制, 反步构造法, 反馈线性化
2 PMSM 的 矢 量 控 制 (Vector Control for
PMSM)
假设磁路不饱和，忽略磁滞、涡流损耗的影响， 空间磁场呈正弦分布，在随转子旋转的 dq 坐标系 上，永磁同步电机的数学模型为[3]：
234
id = −Rsid / Ld + npωiq + ud / Ld ,
iq = −npωid − Rsiq / Lq − npϕ f ω / Lq + uq / Lq , (1) ω = npϕ f iq / J − Bω / J − Tl / J + d1(t), θ = ω.
(2
−1
q)
2l 21−1/ q
k k q+1 13
⎞2−q ⎟ ⎠
(6)
其中1 < q = q1 / q2 < 2, q1和q2 是正奇数，l 为干扰 d (t)
的界， k > 0, 1
k 2
>
21−1/ q 1+ q
⎛ ⎜ ⎝
23−1/ q q
k 1
(1
+
q
)
⎞q ⎟ ⎠
+
1 k
1
+
q⎛
q
+
1
⎜ ⎝
Abstract: Based on the finite-time control technique, the position control problem of Permanent Magnet Synchronous Motor(PMSM) servo system is studied. Using backingstepping method, a control scheme based on feedback linearization and finite-time control technique is proposed for position loop. Rigorous mathematical analysis is given for the close loop system performance in the presence of disturbances. The results show that, compared with the conventional control scheme based on PD and feedback linearization, this method not only makes the position tracking error of the closed loop system with a faster convergence rate, but also makes the boundary of steady-state error smaller by regulating the controller parameters, which means the closed loop system has stronger disturbance rejection property. The simulation results validate the efficiency of this method. Key Words: PMSM, Position control, Finite-time control, Backstepping method, Feedback linearization
Proceedings of the 27th Chinese Control Conference July 16-18, 2008, Kunming,Yunnan, China
基于有限时间控制的永磁同步电机位置伺服系统*
刘慧贤，丁世宏，李世华，陈夕松
东南大学自动化学院，南京 210096 E-mail: lsh@
本文首先根据永磁同步电机的数学模型，将给定 的期望位置信号与反馈位置信号进行比较，得到二阶 的误差信号模型。然后在文献[14]的基础上，利用反 步构造法，提出了一种基于反馈线性化和有限时间控 制技术的永磁同步电机控制策略。对于本文所涉及的 二阶系统，还没有现成的基于有限时间控制的扰动分 析结果。而在实际系统中，抗干扰性能是一个很重要 的指标。本文重点通过数学分析，证明了当干扰存在 时，位置误差可以收敛到原点的一个区域内，同时还 给出了该区域与控制参数之间的关系。通过调节控制 器参数可以使状态误差收敛到一个小的区域内。与基 于PD和反馈线性化的控制方案相比，该状态误差的收 敛区域的界可以更小。最后仿真结果来验证了该方法 的有效性。
环为电流环。
考虑到有限时间控制技术对系统扰动的有较好
的抑制作用，有可能降低负载转矩等扰动对位置跟踪
性能的影响，我们在位置环设计了基于有限时间控制
技术的控制器。内环仍采用PI控制器。
Tl
θ*
+ i
* q
基于有限时间的
控制器
−
+ id* =0
ωθ −
uq
PI
uα
Park
逆
ud
逆 变换
uβ
SV PWM
变 器
(4)
其中 f (x) 为连续的向量函数。
引理1 [15]
对任何实数 x ,
y
，0 <
p=
p 1
/
p 2
< 1, 其
中
p1,
p 2
为互质的正奇数,则有下列不等式成立：
xq − yq ≤ 21−q x − y q
引理2 [20] 对任何实数 x , y ，若 c, d 为正的实数，
γ (x, y) 为任意正的实函数，则下列不等式成立：