离散数学及其应用-树的关系

| A1 A2 ... An || A1 | | A2 | ... | An | n1 n2 ... nn
离散数学及其应用
例题
A (B C) (A B) (AC)
证明：对于任意有序对(x，y)，
(x, y) A (B C) x A y(B C) x A(yB yC) x A yB (x A yC) (x, y) A B (x, y) AC (x, y) A B AC
离散数学及其应用
空关系、全域关系、恒等关系
1.空关系 AA 2.全域关系 EA= AA ={（x，y）|x A y A} 3.恒等关系 IA={（x，x）|x A }
例如，设A={a，b} A上的全域关系：EA={(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)}， A上的恒等关系：IA={(a，a)，(b，b)}
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定理
定理4.1.1 设A，B，C为任意集合，则 A(BC)=(A B)(A C) A(BC)=(A B)(A C) (AB)C =(A C)(B C) (AB)C =(A C)(B C)
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例题
例4.1.3 设A,B,C为任意集合，证明A(BC)=(AB)(A C) 证明 对于任意有序对(x，y) (x，y) A(BC) x A y (BC) x A (y B y C) (x A y B)(x A y C) (x，y)(A B)(x，y)(A C) (x，y)(A B)(A C) 所以有A(BC)=(AB)(A C)。
A(BC)= {(a, (1, x)), (a, (3, x)), (b, (1, x)), (b, (3, x)), (c, (1, x)), (c, (3, x))}
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笛卡儿积
1. 当A，B为非空集合且A B时，笛卡尔积运算不满足交换律， 即 AB BA 2. AB=，当且仅当A=或B=。 3. 当A，B，C均为非空集合时，笛卡尔积运算不满足结合律， 即 (AB)C A(BC) 4. 当集合A和B都是有限集时，根据乘法原理，有| AB|=|A||B|。
1. 当ab时，则(a，b) (b，a)。
2. 两个有序偶相等，即(a，b) =(c，d)的充分必要条件是a=c且
b=d。
注意：区别(a,b)和{a,b}。例如，当an元组
定义4.1.2 由n个元素a1，a2，…an按一定的顺序排列成的一 个序列(a1，a2，…an)，称为有序n元组，其中a1为第一元素， a2为第二元素，…an为第n元素。
例如n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组，(1，2， 5)，(−1，−2，3)等是三维空间直角坐标系中点的坐标。
(a1，a2，…，an)=(b1，b2，…，bn)，当且仅当 ai = bi ，i=1， 2，…，n。
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4.1.2 集合的直积（笛卡儿积 ）
定义4.1.3 设A，B为集合，取A中的元素作为第一元素，取B 中的元素做为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的 集合，称为A和B的笛卡儿积(直积)，表示为AB。于是
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离散数学及其应用
4.1 关系的概念
4.1.4 序偶和有序n元组
定义4.1.4 由两个元素a和b按一定的顺序排列成的二元组叫做
一个有序对(也称序偶)，记作(a，b)，其中a是它的第一元素，b是
它的第二元素。
一般说来有序偶具有以下特点：
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二元关系
定义4.1.6 设A、B为集合，AB的任意一个子集是集合A到B 的一个二元关系。当A=B时称为A上的二元关系。
例如：集合A={0，1，2}，B={a,b}，则 R1= {(0,a),(1,b),(1,a),(2,b)} 是从 A 到 B的一个二元关系； R2= {(0,1),(1,2),(0,2)}是A上的一个二元关系。
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4.1.3 关系的概念
定义4.1.5 如果一个集合非空且它的元素都是有序对，或集 合为空，则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可 简称为关系。对于二元关系R，如果有序对(a，b)R，称a与b 有R关系，记作aRb；当(a，b)R时，称a与b没有R关系，记作 a Rb。
例如，R= {(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)} 是一个二元关系， 其中0Ra, 1Ra, 0Rb，2Rb，而1Rb，2Ra。 R={(1,2)，(1,3)，2，3}不是一个二元关系。
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n个集合的直积
定义4.1.4 设A1，A2，…An为任意n个集合,它们的笛卡尔积 (又称n阶直积)为
A1 A2 ... An {(a1, a2,..., an ) | ai Ai , for i 1, 2,..., n}
当A1=A2=…=An=A时，A1A2…An=An。 若| A1|=n1，| A2|=n2，…| An|=nn，，则n个集合的笛卡尔积中 的元素个数为
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例题
例4.1.5 设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是任意集合，判断下列命题是否
为真？ (1) A C B D A B C D (2) (A B)(C D) (AC) (B D) (3) (A B)(C D) (AC) (B D) 解 (1) 不一定为真。 (2) 为真。 (3) 不一定为真。
AB={(x,y)|xA yB}
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例题
例4.1.1 A={a,b,c},B={1,3}。求AB， BA，A，B A B={(a,1),(a,3),(b,1),(b,3),(c,1),(c,3)} B A={(1,a),(1,b),(1,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
A= ， B= 例4.1.2 已知A={a,b,c},B={1,3}，C={x}。求(AB)C，A(BC)。 解 (AB)C= {((a,1), x), ((a,3), x), ((b,1), x), ((b,3), x), ((c,1), x), ((c,3), x)}