泰勒公式及应用论文

泰勒公式及应用论文 Revised by Jack on December 14,2020

毕业论文

题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣

学生学号：

系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届

指导教师：向伟

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

前言： (1)

1泰勒公式 (2)

带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)

带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)

带有积分型余项的泰勒公式 (2)

带有柯西型余项的泰勒公式 (3)

2 泰勒公式的应用 (3)

利用泰勒公式求极限 (3)

利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)

利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)

利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)

研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)

结语 (12)

致谢 (13)

参考文献 (13)

泰勒公式及应用

学生：陆连荣

指导教师：向伟

淮南师范学院数学与计算科学系

摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。

关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性

Taylor formula and its application

Student: Lu Liangrong

Instructor : Xiang Wei

Department of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.

Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence

前言

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 判断级数及积分的敛散性, 求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个不等式及中值公式与求解导数这几个方面的具体应用方法。 1 泰勒公式

带有拉格朗日余项的泰勒公式

如果函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的∈0,x x ],[b a ，至少存在一点∈ξ),(b a ，使得:

它的余项为)10)((,)()!

1()

()(0010)1(<<-+=-+=

++θθξξx x x x x n f x R n n n ,称为拉格朗日余项。

当=0x 0时，得到泰勒公式：

称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内存在直至n 阶导数,则对此邻域内的点x 有： 当=0x 0时，上式称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。 带有积分型余项的泰勒公式

如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 和x 之间至少存在一个t 使得：

dt

t x t f n x x n x f x x x f x x x f x f x f n x

x n n n ))((!1)(!)(...)(!2)())(()()(0

)1(00)(2

00''00'

0-+-++-+-+=⎰+其中dt t x t f n n

x

x

n ))((!10

)1(-⎰+就是泰勒公式的积分型余项。 带有柯西型余项的泰勒公式

如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内具有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点有： 当=0x 0时，又有10,)1)((!

1)(11

≤≤-=

++θθθn n n n x x f n x R )2(

其中)1(,)2(都称为泰勒公式的柯西型余项。 2 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限

应用泰勒公式求极限时,常用到的展开式有：

)1()(!

...!212n n

x

x o n x x x e +++++=； )2()()!

12()1(...!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-

=--； )3()()!

2()1(...!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x ； )4()()1(...32)1ln(132n n

n x o n

x x x x x +-+++-=+-； )5()(!

)

1)...(1(...!

2)

1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--+

+-+

+=+ααααααα

；

)

6()( (111)

2n n x o x x x x

+++++=-；