多项式插值方法练习

π
π
( x − 0)( x − ) ( x − x0 )( x − x2 ) 2 = − 16 x( x − π ) l1 ( x) = = ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( π − 0)( π − π ) 2 π2 4 4 2 ( x − 0)( x − ) ( x − x0 )( x − x1 ) 4 = 8 x( x − π ) l2 ( x ) = = ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( π − 0)( π − π ) π 2 4 2 2 4 L2 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) =
l1 ( x) =
l2 ( x ) =
这样，
L2 ( x) = ∑ yi li ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) =
i =0
2
5 1 2 1 3 5 1 1 ( x − x) + (1 − x 2 ) + ( x 2 + x) 4 2 2 4 4 2 2
li ( x) =
j = 0, j ≠ i 2 j = 0, j ≠ i
∏
2
(x − x j )
∏
， i = 0,1, 2
( xi − x j )
l0 ( x) =
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 0.34)( x − 0.36) = = 1250( x − 0.34)( x − 0.36) ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) (0.32 − 0.34)(0.32 − 0.36) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − 0.32)( x − 0.36) = = −2500( x − 0.32)( x − 0.36) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) (0.34 − 0.32)(0.34 − 0.36) ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − 0.32)( x − 0.34) = = 1250( x − 0.32)( x − 0.34) ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) (0.36 − 0.32)(0.36 − 0.34)
因此， L1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) = 0.314567(17 − 50 x) + 0.333487(50 x − 16) 为所求的 线性插值多项式。
L1 (0.3367) = 0.331520 为 sin 0.3367 的近似值。
(2) 用二次插值
x0 = 0.32 ， x1 = 0.34 ， x2 = 0.36 ， y0 = 0.314567 ， y1 = 0.333487 ， y2 = 0.352274
l0 ( x) = x − x1 x − 0.34 = = −50( x − 0.34) = 17 − 50 x x0 − x1 0.32 − 0.34 x − x0 x − 0.32 = = 50( x − 0.32) = 50 x − 16 x1 − x0 0.34 − 0.32
l1 ( x) =
2759 1657 2 197 3 8 4 x+ x − x + x 60 60 30 15
即为所求的拉格朗日插值多项式。 三.设 f ( x) = x ，节点 x = 2,3, 4, 6 ，以此构造该函数的三次拉格朗日插 值多项式，计算 5 的近似值。 【详解】
x0 = 2 ，x1 = 3 ，x2 = 4 ，x3 = 6 ，y0 = 2 = 1.4142 ，y1 = 3 = 1.7321 ，y2 = 4 = 2 ，
π
π
π π 8 2 π ( x − )( x − ) − 2 x( x − ) 为 所 求 的 拉 π π 4 2 2
8
2
格朗日插值多项式。
L2 ( ) = 0.8508 为 cos 的近似值。 6 6
π
π
五.已知 sin 0.32 = 0.314567 ，sin 0.34 = 0.333487 ，sin 0.36 = 0.352274 ，分别用 线性插值和二次插值来计算 sin 0.3367 的近似值。 【详解】 (1) 用线性插值 0.3367 最靠近 0.32 和 0.34，因此，取 x0 = 0.32 ， x1 = 0.34 ，
y3 = 6 = 2.4495 。
li ( x) =
j = 0, j ≠ i 3 j = 0, j ≠ i
∏
3
(x − x j )
， i = 0,1, 2,3
∏
( xi − x j )
l0 ( x) = l1 ( x) = l2 ( x ) = l3 ( x) =
( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 3)( x − 4)( x − 6) 1 = = − ( x − 3)( x − 4)( x − 6) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 ) (2 − 3)(2 − 4)(2 − 6) 8 ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 2)( x − 4)( x − 6) 1 = = ( x − 2)( x − 4)( x − 6) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 ) (3 − 2)(3 − 4)(3 − 6) 3 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 ) ( x − 2)( x − 3)( x − 6) 1 = = − ( x − 2)( x − 3)( x − 6) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) (4 − 2)(4 − 3)(4 − 6) 4 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 2)( x − 3)( x − 4) 1 = = ( x − 2)( x − 3)( x − 4) ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 ) (6 − 2)(6 − 3)(6 − 4) 24
四.用余弦函数 cos x 在 x0 = 0 ， x1 =
π
4
， x2 =
π
2
三个节点处的值，写出该
π
6
函数二次拉格朗日插值多项式，并近似计算 cos 。 【详解】
x0 = 0 ， x1 =
π
4
， x2 =
π
2
， y0 = 1 ， y1 =
2 = 0.7071 ， y2 = 0 2
li ( x) =
第四章 多项式插值方法
一.求函数 x 2 + 【详解】
x0 = −1 ， x1 = 0 ， x2 = 1 ， y0 =
9 在点 x = −1, 0,1 处的拉格朗日插值多项式。 16
5 3 5 ， y1 = ， y2 = 4 4 4
li ( x) =
j = 0, j ≠ i 2 j = 0, j ≠ i
( x − x0 )( x − x2 ) [ x − (−1) ] ( x − 1) = = 1 − x2 ， ( x1 − xຫໍສະໝຸດ Baidu )( x1 − x2 ) [ 0 − (−1) ] (0 − 1) ( x − x0 )( x − x1 ) [ x − (−1)] ( x − 0) 1 1 1 = = x( x + 1) = x 2 + x ， ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) [1 − (−1)] (1 − 0) 2 2 2
li ( x) =
j = 0, j ≠ i 4 j = 0, j ≠ i
∏
4
(x − x j )
∏
， i = 0,1, 2,3, 4
( xi − x j )
l0 ( x) =
( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) 1 = = ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 )( x0 − x4 ) (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5) 24 ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 5) 1 = = − ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 5) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x1 − x4 ) (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) 6 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 5) 1 = = ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 5) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 )( x2 − x4 ) (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) 4 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x4 ) ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 5) 1 = = − ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 5) ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 )( x3 − x4 ) (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) 6 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) 1 = = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ( x4 − x0 )( x4 − x1 )( x4 − x2 )( x4 − x3 ) (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) 24
= 1250 × 0.314567( x − 0.34)( x − 0.36) − 2500 × 0.333487( x − 0.32)( x − 0.36) + 1250 × 0.352274( x − 0.32)( x − 0.34)
=
1 2 3 x + 2 4
为所求的拉格朗日插值多项式。 二．已知数据
x
1 3.5
2 4.6
3 5.5
4 3.2
5 2.0
f ( x)
以此构造该函数的四次拉格朗日插值多项式。 【详解】
x0 = 1 ，x1 = 2 ，x2 = 3 ，x3 = 4 ，x4 = 5 ，y0 = 3.5 ，y1 = 4.6 ，y2 = 5.5 ，y3 = 3.2 ， y4 = 2.0 。
∏
2
(x − x j )
∏
， i = 0,1, 2
( xi − x j )
l0 ( x) =
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 0)( x − 1) 1 1 1 = = x( x − 1) = x 2 − x ， ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) (−1 − 0)(−1 − 1) 2 2 2
3
L3 ( x) = ∑ yi li ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) + y3l3 ( x) = 2l0 ( x) + 3l1 ( x) + 2l2 ( x) + 6l3 ( x)
i =0
为所求的拉格朗日插值多项式。
L3 (5) = 2.2339 即为 5 的近似值。
j = 0, j ≠ i 2 j = 0, j ≠ i
∏
2
(x − x j )
∏
， i = 0,1, 2
( xi − x j )
( x − )( x − ) ( x − x1 )( x − x2 ) 4 2 = 8 ( x − π )( x − π ) l0 ( x) = = ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) (0 − π )(0 − π ) π 2 4 2 4 2
4
l1 ( x) =
l2 ( x ) =
l3 ( x) =
l4 ( x ) =
L4 ( x) = ∑ yi li ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) + y3l3 ( x) + y4l4 ( x)
i =0
= 3.5l0 ( x) + 4.6l1 ( x) + 5.5l2 ( x) + 3.2l3 ( x) + 2.0l4 ( x) = 29 −