费米系统与费米气体的性质

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费米系统与费米气体的性质

一、费米系统：

1.费米子与费米系统相关的简单介绍

自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。

由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。

2. 从微观上看费米系统

设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。 以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：

能 级 1ε，2ε，…，

l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…

即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：

N a

l

l

=∑， E a l

l l =∑ε

才有可能实现。

对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数B ..M Ω：

（1）

则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）

ωl

B M a

l

l

l

l N a ∏∏=

!

!..Ω∏

-=l

l l l a )!

1(!!

F.D.ωωΩ

3.费米系统的最概然分布：

对（2）式取对数，得

（其中∑

l

对粒子的所有量子状态求和）（3）

假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为

（4）

根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为

（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式

（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。

（5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级l ε的粒子数。能级l ε有l ω个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。因此在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为

（7）

4.费米系统的热力学量的统计表达式：

如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：

∑

∑+==+l

l

l

l l

e

a N 1

βεαω （8）

引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l

e

l

l l

ωβεα]1[--+∏=Ξ∏=Ξ （9）

取对数得：∑--+=

Ξl

l

l

e )1ln(ln βεαω

（10） 系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ∂∂

=

ln α

N （1） 内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值：∑

∑+==

+l

l

l l l

l l

e

a U 1

βεαωεε （12）

类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ∂∂

-

=ln β

U （13） ∑

---=Ωl

l l l l l a a ])!ln(!ln ln ![ln ωωω∑----=Ωl

l l l l l l l l a a a a )]

ln()(ln ln [ln ωωωω1

+=

+l e a l

l

βεαωN e l

l l

=+∑+1

βεα

ωE

e l

l

l l

=+∑+1

βεα

ωε11

+=

+s

e f s βεα

外界对系统的广义作用力Y 是

y εl ∂∂的统计平均值：y εe

ωa y εY l

l βεαl l l l l

∂∂-=∂∂=∑∑+1

可将Y 过Ξln 表为： Ξ∂∂

-

=ln 1V

Y β （14）

上式的有一个重要特例是：Ξ∂∂

=

ln 1V

βP （15） 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(α

d αdy y βd βN d βαYdy dU β∂Ξ∂-∂Ξ∂+∂Ξ∂-=+

- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：

dy y βd βαd αd ∂Ξ∂+∂Ξ∂+∂Ξ∂=

Ξln ln ln ln 故有：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛Ξ∂∂

-Ξ∂∂-Ξ=+

-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +

-的积分因子。在热力学部分讲过，N d Ydy dU β

α

+-有积分因子

T 1

，使dS N d βαYdy dU T =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-1 比较可知kT β1=

，kT

μ

α-= 所以：)ln ln (ln Ξ∂∂

-Ξ∂∂-Ξ=β

βαα

kd dS 积分得：Ω=++Ξ=Ξ∂∂

-Ξ∂∂-Ξ=ln )(ln )ln ln (ln k U βN αk β

βαα

k S 上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。

二、理想费米气体的性质：