费米系统与费米气体的性质

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费米系统与费米气体的性质
一、费米系统：
1.费米子与费米系统相关的简单介绍
自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。

在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。

在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。

由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。

由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。

2. 从微观上看费米系统
设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。

以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。

N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：
能 级 1ε，2ε，…，
l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…
即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。

为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。

显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：
N a
l
l
=∑， E a l
l l =∑ε
才有可能实现。

对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数B ..M Ω：
（1）
则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）
ωl
B M a
l
l
l
l N a ∏∏=
!
!..Ω∏
-=l
l l l a )!
1(!!
F.D.ωωΩ
3.费米系统的最概然分布：
对（2）式取对数，得
（其中∑
l
对粒子的所有量子状态求和）（3）
假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为
（4）
根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为
（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式
（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。

（5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级l ε的粒子数。

能级l ε有l ω个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。

因此在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为
（7）
4.费米系统的热力学量的统计表达式：
如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：
∑
∑+==+l
l
l
l l
e
a N 1
βεαω （8）
引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l
e
l
l l
ωβεα]1[--+∏=Ξ∏=Ξ （9）
取对数得：∑--+=
Ξl
l
l
e )1ln(ln βεαω
（10） 系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ∂∂
=
ln α
N （1） 内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值：∑
∑+==
+l
l
l l l
l l
e
a U 1
βεαωεε （12）
类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ∂∂
-
=ln β
U （13） ∑
---=Ωl
l l l l l a a ])!ln(!ln ln ![ln ωωω∑----=Ωl
l l l l l l l l a a a a )]
ln()(ln ln [ln ωωωω1
+=
+l e a l
l
βεαωN e l
l l
=+∑+1
βεα
ωE
e l
l
l l
=+∑+1
βεα
ωε11
+=
+s
e f s βεα
外界对系统的广义作用力Y 是
y εl ∂∂的统计平均值：y εe
ωa y εY l
l βεαl l l l l
∂∂-=∂∂=∑∑+1
可将Y 过Ξln 表为： Ξ∂∂
-
=ln 1V
Y β （14）
上式的有一个重要特例是：Ξ∂∂
=
ln 1V
βP （15） 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(α
d αdy y βd βN d βαYdy dU β∂Ξ∂-∂Ξ∂+∂Ξ∂-=+
- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：
dy y βd βαd αd ∂Ξ∂+∂Ξ∂+∂Ξ∂=
Ξln ln ln ln 故有：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ξ∂∂
-Ξ∂∂-Ξ=+
-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +
-的积分因子。

在热力学部分讲过，N d Ydy dU β
α
+-有积分因子
T 1
，使dS N d βαYdy dU T =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-1 比较可知kT β1=
，kT
μ
α-= 所以：)ln ln (ln Ξ∂∂
-Ξ∂∂-Ξ=β
βαα
kd dS 积分得：Ω=++Ξ=Ξ∂∂
-Ξ∂∂-Ξ=ln )(ln )ln ln (ln k U βN αk β
βαα
k S 上式就是熟知的玻耳兹曼关系。

它给出熵与微观状态数的关系。

二、理想费米气体的性质：
1.弱简并理想费米气体性质
弱简并即气体的α-e 或3
λn 虽小但不可忽略的情形。

为简单起见，不考虑分子的内部结
构，因此只有平均自由度。

分子的能量为
（16）
在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，分子可能的微观状态数为 （17）
其中g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。

系统的总分子数满足 （18） 式（18）确定拉氏乘子α。

系统的内能为 （19） 引入变量βε=x ，将上述两式改写为
（'
18） （'
19） 两式被积函数的分母可表为
在α
-e
小的情形下，x
e
--α是一个小量，可将 展开，只取头两项得
（20） 保留展开的第一项相当于将费米气体分布近似为玻尔兹曼分布。

在弱简并的情形，我们将保留两项。

将（20）式带入（'
18）式和（'
19）式，将积分求出，得
（21）
（22）
两式相除，得 )(21
2
22z y x p p p m
++=εε
επεεd m h V
g
d D 2/12/33
)2(2)(=⎰∞++=02/32
/33
1)2(2βεαεεπe d m h V g U ⎰∞++=02
/12
/331)2(2x e dx x mkT h V g N απ⎰∞++=02
/32/33
1)2(2x e dx x kT mkT h V g U απ)
1(1
1
x x x e e e ----+-=+ααα)
1(1
11x x x e e e --+++=+ααα)
211()2(2
/32/32α
απ---=e Ve H mkT g N )21
1()2(2
/52/32
ααπ---=e Vke H mkT
g U x e
--+α11
⎰∞++=02
/12
/331
)2(2βε
αεεπe d m h V g N )2
411(23α--=
e NkT U
由于α
-e
小，可将上式第二项中的α
-e
用0级近似，即用玻尔兹曼分布的结果
带入而得
(23) 或 （'
23） 上式第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。

在弱简并情形下附加内能的数值是小的。

费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用。

2.强简并费米气体性质：
当气体满足非简并条件1>>α
e 或13
<<λn 时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。

弱简并的情形能初步显示二者的差异。

下面再以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并1<<α
e 或13
>>λn 情形下费米气体的性质。

原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成共有电子。

失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。

在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。

金属的高电导率和高热导率说明金属中自由电子的存在。

但如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有3K/2的贡献，这与实际不符。

另外，实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。

这是经典统计理论遇到的另一个困难。

而以上问题可以根据费米分布解决。

首先说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体：以铜为例，铜的密度为
33109.8-∙⨯m kg ，原子量为63，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则:
电子的质量为kg 31101.9-⨯，故
在T=300K 时，34003=λn ,这数值很大，说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。

根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：
11
+=
-kT
e f μ
ε
（24）
考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V 内，能量ε到εεd +的
]
)2(12411[2
32/32
mkT
h V N g NkT U π+=)
2
411(233
λn NkT U +
=
g
mkT h N V e
1)2(2
/32πα
=-2
/372
/323
1054.3)2(n T mkT h V N ⨯=
=πλ328105.863
9
.8n -⨯=⨯=
m N A
范围内，电子的量子态数为：
()()εεπεεd m h
V
d D 21233
24=
所以在体积V 内，能量ε到εεd +的范围内，平均电子数为：
在给定电子数N ，温度T 和体积V 时，化学势μ由下式确定：
由上式可知，μ是温度T 和电子密度V N /的函数。

现在讨论K T 0=时电子的分布。

以()0μ表示K 0时电子气体的化学势，由（24）式知，
K 0时，
()0,1με<=f
()0,0μεf >=
上式的物理意义是，在K T 0=时，在()0με<的每一量子态上平均电子数为1，在
()0με>的每一量子态上平均电子数为0。

这分布可以这样理解：在K 0时电子将尽可能占
据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从
0=ε的状态起依次填充至()0μ为止。

()0μ是电子K 0时的最大能量，由下式确定：
将上式积分，可解得()0μ为：
()0μ也常称为费米能级，以F ε表示。

令 ，可得： () 3
/123n πp F =
F p 是K 0电子气体的最大动量，称为费米动量。

相应速率
称为费米速率。

现在对()0μ的数值作一估计。

除质量m 外，()0μ取决于电子气体的数密度n 。

根据前面给出的
数据，可以算得铜的()J μ18
10
12.10-⨯=或eV 0.7。

定义费米温度：
()0μkT F =
得到铜的F T 为K 4
102.8⨯，远高于通常考虑的温度，说明()0μ的数值是很大的。

K 0电子气体的内能为：
)
0 ( 5 3 ) 2 ( 4 ) 0 ( ) 0 ( 0
2 /
3 2 / 3 3 μ ε ε π μ N d m h
V U = = ⎰ N e d m h
V kT = + - ∞ ⎰ 1
)
2 ( 4 2 / 1 0 2 /
3 3 μ ε ε ε π 1 )
2 ( 4 2 / 1 2 /
3 3
+ - kT e d m h V μ ε ε ε π N d m h V =⎰)
0(0
2/12
/33
)2(4μεεπ2
/322)3(2)0(V N
m πμ =m p εF
F 22=
m
p
v F F =
由此可知K 0，时电子的平均能量为
()05
3
μ。

K 0时电子气体的压强为：
根据前面的数据，可得K 0时铜的电子气体的压强为Pa 10
108.3⨯。

这是一个极大的数值。

它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的简并压。

现在讨论K 0时金属中自由电子的分布。

由（24）式可知：
21
>
f ， με< 21
=f ， με=
2
1
<f ， με>
上式表明，在0>T 时，在με<的每一量子态上平均电子数大于2/1，在με=的每一量
子态上平均电子数等于2/1，με>的每一量子态上平均电子数小于2/1。

费米气体的强简并条件1<<-kT
μe
也往往表达为F T T
<<。

由此可知，只有能量在μ附
近，量级为kT 范围内的电子对热容量有贡献。

根据这一考虑，可以粗略估计电子气体的热容量。

以有效N 表示能量在μ附近kT 范围内对热容量有贡献的有效电子数：kT
N N μ≈
有效
将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为kT 2
3
，则金属中自由电子对热容量的贡献为：
现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。

电子数N 满足：
上式确定自由电子气体的化学势。

电子气体的内能U 为：
以上两式的积分都可写成下述形式：
其中()εη分别为2
/1εC 和2
/3ε
C ，常数 。

分步积分可得：
F
V T T Nk kT Nk C 23)(23==
μ1
)2(42/10
2/33+=-∞
⎰
kT
e
d m h V
N μ
εε
επ1)2(42/30
2
/33+=-∞
⎰kT e d m h V U μ
εεεπ1
)(0
+=-∞
⎰kT
e
d I μ
εε
εη⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=2
2
2
/585152μπμkT C U ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=2
2
2/38132μkT πμC N ()2
/33
24m h V
C π=
()()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
2
2
/5222
/508510121052μkT πμkT πμC U ()()()05
20320μn V U p ==
作相应的近似可得：
积分可得电子气体的定容热容量为：
这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。

如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。

但在低温范围，离子振动的热容量按3T 随温度而减少；电子容量与T 成正比，减少比较缓慢。

所以，在足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。

前面的理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。

我们知道，由于粒子在空间排列的周期性，粒子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深入地描述金属中电子的运动相当复杂。

参考文献:
[1]梁希侠.班士良.统计热力学（第二版）.科学出版社 [2]汪志诚.热力学·统计物理（第四版）.北京.高等教育出版社 [3]百度百科.费米子凝聚态.
[4]李椿，章立源，钱尚武.热学（第二版）.北京.高等教育出版社.
3
/22
22
/33
/28132-⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=μkT πμC C N μ()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2
2
01251053
μkT πμN ()T kT Nk
T U C V
V 0202γμπ==⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=。