李瀚荪电路分析基础耦合电感和理想变压器

-
-
L 2 u2(t)
+
Mdd
i t
1
--
等效电路
由等效电路可得VCR 时域形式：
相量形式：U?1 ? j?L1 I?1 ? j? MI?2
U?2 ? j? L2 I?2 ? j? MI?1
u1
?
L1
di1 dt
?
M
di2 dt
u2
?
L2
di2 dt
?
M
di1 dt
§2-2 耦合系数
11-8
(a) i1
L2
- - Mdd
i t
u?
L1
di dt
?
M
di dt
?
L2
di dt
?
M
di dt
?
(L1 ?
L2
?
2M
) di dt
提问： 如果L2的“●”改在上侧，
L=?
L ? L1 ? L2 ? 2M
§2 耦合电感 典型电路的分析
11-6
本节包含耦合电感(coupled inductor) 的
VCR 、耦合系数(coupling coefficient) 、储能 公式及空芯变压器(air core transformer) 电路 的分析等内容。
(e)
-+
M
di dt
1
2＇
提问：
I1
1
2
图(d)在时域模型 和相量
ωj L 1
jωL2
模型中如何用附加电源，计
及M的影响？
+
1＇
(f)
- ωj MI1 2＇
例题
11-5
两个线圈 L1、 L2串联如图(顺接串联 )，线圈间的互感 为M，
求等效电感 L。
i
解
+
M
i
+
-
L1
+
Mdd
i t
L1
L2
-
u(t) +
j15 ? j20
25 ? ? j5
j5?
I?1 ? 15 ?
U?S j10 ?
? 15? 0? ?
j5Ω 15 ? j15
15? 0? ? 0.707? ? 45? A 2 ? 15? 45?
(b) 求 I?2
11-14
I 1 15Ω
+
- US
(2) 如果二次(secondary) 回路无独立源， 可运用反映阻抗(reflected impedance) 简化计算。
? ? (R1 ? j L1 )I?1 ? U?S ? j MI?2
①
? ? ( R 2 ? j L 2 ) I?2 ? ? j M I?1
②
以②式所得 I?2 对 I?1的关系式代入①式，可得
i1 ?
Mm
? a?x N 2 11
i1
?
N2 N1
L1
①
M ? N1 ? 12
i2 ?
Mm
? a?x N1 22
i2
?
N1 N2
L2
②
?
M2 max
? L1 L2
M m ax ? L1L2
M
M
耦合系数
K?
?
M max
L1 L2
11-9
由①、②式可知， K包含的物理意义：
K ? ? 21 ? ? 12 ? 11 ? 22
1
+
u1 N1
-1＇
线圈Ⅰ
φ21 φs1
(b)
2
+
1
N u 2
N （ 2 开路） 开路 1
-2＇
线圈Ⅱ
1＇ 线圈Ⅰ
φ12 φs2
i2 2 +
N2
-2＇
线圈Ⅱ
? ? ? 11 ?
21 ?
S1
? ? ? 22 ?
12 ?
S2
当 ? S1、? S2 均为零时全耦合——耦合的上限，M的上限。
M ? N2 ? 21
M
i1
1
-2
u1 N1
-
1＇ 线圈Ⅰ
N u 2
（2 开路）
+2＇
线圈Ⅱ
(b)
L1
L 2 u2
1＇
+ 2＇
(d)
i1流入端和u2的正极端各标以“●”(同名端)标志时方可使用(11-3)
(3) 用附加电源计及 M的影响(基本方法)
11-4
M
i1
1
2
+
L1
L 2 u2
1＇
(c)
- 2＇
i1
1
2
L1
L2
1＇
? (R1 ? j
L1 )I?பைடு நூலகம் ?
j?
M( ? R2
j? M ? j? L2
)
I?1 ?
U?S
? (R1 ? j L1 )I?1 ? Zref I?1 ? U?S
反映阻抗 Z ref 计及了二次回路的存在对一次 (primary) 回路的影响。 Z ref 可表示为
? 2M 2
Z ref ?
Z 22
M
a R1
R2
a R1
R2
+
-us
i1 L1
b
+
ωj L1
L2 i2
RL
Us
-
I1 +
ωj MI2-
ωj L2
- I2 RL
+ωj MI1
? ? (R1 ? j L1 )I?1 ? U?S ? j MI?2 b
? ? ( R 2 ? j L 2 ) I?2 ? ? j M I?1
解方程可得 I?1、I?2 ，进而得 i1、i2 。
§1 基本概念
11-2
(1) 互感电压
? i1 ? 21 ? u 2
i1
φ21
1
+
u1 N1
-
1＇ 线圈Ⅰ
(b)
i1
1
+
u1 N1
-
1＇ 线圈Ⅰ
φ21 φs1
2
+
N2 u（2 开路）
-2＇
线圈Ⅱ
-2
(a)
N2
u（2 开路） 两次运用右手螺旋法则， 确定i1、u 2的参考方向后，
+2＇
方可运用
线圈Ⅱ
第十一章 耦合电感和理想变压器
11-1
本课程已介绍过多种电路元件，本章介绍最后的 两种元件 ——耦合电感，理想变压器。涉及分别含这 两种元件时电路的时域分析和 sss相量分析。
§1 基本概念
§2 耦合电感 典型电路的分析 §3 理想变压器 典型电路的分析
§4 耦合电感与理想变压器的关系
习题课
供教师参考的意见
u2
?
dN2?
dt
21
?
M
di1 dt
(11-3)
为避免如实绘出线圈绕线方向和相互位置，
(2) 同名端 采用“●”的标志，以便运用（11-3）式。
11-3
i1
1
+
u1 N1
φ21
M
2
+
i1
1
φs1
N2 u（2 开路）
2
+
-
1＇ 线圈Ⅰ
-2＇
线圈Ⅱ
L1
L 2 u2
(a)
i1
φ21
1
+
-2
1＇
(c)
- 2＇
与同名端位置无关。
11-12
(3) 例题
已 U?知S ? 15? 0? V，求 I?1、I?2 。
j5Ω
I 1 15Ω
I2
+
- US
j10Ω
j15Ω -j20Ω
11-13
I1
15 Ω
+
- Us
j 10Ω
Z ref
解 (a ) 求 I?1
回路 2对回路 1
Z ref
? 2M 2
? Z 22
?
52 ?
§2-1
耦合电感 及其VCR
§2-2 耦合系数
§2-3 储能公式
§2-4
空芯变压器 电路的sss分析
§2-1 耦合电感及其 VCR
11-7
i1(t) M
+
i 2(t)
+
i 1(t)
+
i 2(t)
+
u 1(t)
-
L1
L 2 u2(t)
-
耦合电感 参数L1、L2、M
u 1(t) L1 +
Mdd
i t
2
K=1全耦合， K=0无耦合。
§2-3 储能公式
①L
wm
?
1 Li 2 2
(5-23)
11-10
② L1、L2、M
wm
?
1 2
L1i12
?
1 2
L2i2 2
?
Mi1i2
i1、i2 均由同名端流入时取正号
§2-4 空芯变压器电路的 sss分析
11-11
铁芯变压器 K≈1 空芯变压器 K<<1 (1)