2019年高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明课件 理 北师大版.pptx

定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立．
定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正 数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 (当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β 是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
综合法证明不等式
(2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3a＋4 b2(a＋b)＝2＋3a＋4 b3， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
3．若 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>a>b
A
[“分子”有理化得 a＝
1 3＋
2，b＝
1 6＋
5，c＝
1 7＋
， 6
所以 a>b>c.]
4．已知 a＞0，b＞0 且 ln(a＋b)＝0，则a1＋b1的最小值是________.
2 1
＋b
2 2
＋…＋b
2 n
)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅
当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号
成立．
3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．
(1)比较法： ①比差法的依据是：a－b>0⇔ a>b 步骤是：“作差→变形 → 判断差
(对应学生用书第 207 页) 比较法证明不等式
已知
a＞0，b＞0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
[证明]
法一：∵
a＋ b
ba－(
a＋
b)
＝
a－ b
b＋
b－ a
a＝a－bb＋b－aa
＝a－b a－ ab
b＝
a＋
b a－ ab
b2≥0，
∴a＋b≥ ba
a＋
b.
a＋b
法二：由于
b a＋
a＝ b
a a＋b b ab a＋ b
[跟踪训练] (2018·临川一中)设 a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．
[证明] 因为 a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2) ＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2 ＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4. 又 a≠b，所以(a－b)4>0， 所以 a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．
2．(教材改编)若 a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则 x 与 y 的大小关系是( )
A．x＞y
B．x＜y
C．x≥y
D．x≤y
A [x－y＝a＋a1－b＋1b ＝a－b＋b－ aba＝a－babab－1. 由 a＞b＞1 得 ab＞1，a－b＞0， 所以a－babab－1＞0，即 x－y＞0，所以 x＞y.]
＝
a＋ ba－ ab a＋
ab＋b b
＝a＋abb－1
≥2 aabb－1＝1.
又 a＞0，b＞0， ab＞0，
∴a＋b≥ ba
a＋
b.
[规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：1作差；2变形；3判断差的符 号；4下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和 的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第3 步要判断商与“1”的大小.
选修 4－5 不等式选讲 第二节 不等式的证明
[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比 较法、综合法、分析法．
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(对应学生用书第 206 页) [基础知识填充]
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32.
(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实
数，则(a
2 1
＋a
2 2
＋…＋a
2 n
)(b
4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
【导学号：79140398】
所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋b＝12时等号成立．]
5．已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
[证明] 因为 x＞0，y＞0， 所以 1＋x＋y2≥33 xy2＞0,1＋x2＋y≥33 x2y＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·33 x2y＝9xy.
证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分 条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即 “ 执果索因”的方法．
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步 推理，最后达到待证的结论．( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求 结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
的符号 ”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号． ②比商法：若B>0，欲证 A≥B ，只需证AB≥1.
(2)综合法与分析法： ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证
明的不等式，这种方法叫综合法．即“ 由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的 充分条件 ，把