模糊数学原理及应用 第二章 模糊数学基础
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(A ∩B)C=AC∪BC
15
16
凸集、闭集
什么是凸集？ 指康托凸集
一个普通集合(非模糊集)是凸的，当仅当∀x, y ∈ A和∀λ ∈[ 0，1]， 连接x, y线段上的点z = λx + (1- λ)y都包含于A中。
凸集A
非凸集A
17
2.2 模糊集合
经典集合论的特点
非真即假 ，如，A={X|X>6}
3
2.1.1 经典集合的表示方法 目前，经典集合有三种表示方法：枚举 法、定义法和特征函数法。
把一个集合的元素全部列出，并用花括号 括起的方法，叫做枚举法或列举法。 用集合中元素的共性来描述集合，叫做定 义法。 除了列举法与定义法之外，一个集合还可 以用特征函数λ来表示。
4
枚举法 A＝{a1, a2, a3, …, an}，这里n是元素 的个数。 学位＝{学士，硕士，博士}； 中国的直辖市＝{北京，天津，上海， 重庆}； 性别＝{男，女}。 A={0，2，4，6，8}
本科生课程
第二章：模糊数学基础
Gui Xiaolin Neocom Institute 6/15/2009 4:21:39 PM
2.1 经典集合回顾
十九世纪末，康托(Contor)建立了经典集合 理论。
经典集合论是现代数学各个分支的基础，其 本身也是一门严格体系的数学分支。
我们可以从常见的事物中，抽象出集合这一 概念：
可确定Ｕ的一个模糊子集Ａ。模糊子 集也简称为模糊集。 μ A (x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
20
模糊集合的定义(3) 模糊集合的定义（2） 如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合A ： A = {(x, μA (x)) | x ∈ X } μ A (x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
26
举例说明
例，某人事部门要对五个待安排的职员的工作能力
打分，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域： U = {x1,x2,x3,x4,x5}
现分别对每个职员的工作能力按百分制给出，再除 以１００，这实际上就是给定一个从Ｕ到［０，１］ 闭区间的映射，例如：
x1 85分 即μＡ(x1)=0.85 x2 75分 即μＡ(x2)=0.75 x3 98分 即μＡ(x3)=0.98 x4 80分 即μＡ(x4)=0.80 x5 60分 即μＡ(x5)=0.60
模糊集合
μA = 0
μA =1
13
X =6
μA(x) =1
μ A(x) = [01]
连续形式
1 6
13
25
隶属函数 【定义2.1】所谓给定论域U上的一个模 糊集合A，就是给定由论域U到区间[0， 1]的一个映射 μA：U → [0,1]
x a μA (x) ∈[0,1]
这个映射μA将任一个x∈U对应着一个确 定 的 值 μ A(x)∈[0 ， 1] ， 值 μ A(x) 叫 做 x∈U对模糊集合A的隶属度，映射μA叫做 模糊子集A的隶属函数。
一事物要么属于某集合，要么就不属于， 这里没有模棱两可的情况 精确集合的隶属函数是分段函数：
μA
=
⎧1 ⎩⎨0
如果 X ∈A 如果 X ∉A
美国著名控制论专家扎德(L.A.Zader)教授于1965年 发表《模糊集合》论文, 建立了模糊集合论。
18
3
模糊集的定义
模糊集的基本思想是把经典集 合中的绝对隶属关系灵活化， 用特征函数的语言来讲就是：
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0, 0.1),(1, 0.3),(2, 0.7),(3, 1.0),(4, 0.7),(5, 0.3),(6, 0.1)}
22
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
x∈A，则λA(x)=1；若x∉A，则λA(x)=0。
∈ λA
(
x)
=
⎪⎧1, ⎨ ⎪⎩0,
当x ∈ A 当x ∉ A 有些书中，也用χ A(x)表示
对于任给的元素x A，x对A的特征函数值χA(x)表
示x属于A的“程度”。在经典集合论中规定，x属于或
不属于A是绝对明确的，因此用0和1二值表示对象x属
这里，∫ 不再表示积分，仅仅代表一种记 号；μA (x) / x 的意义则和有限情况一样。
33
例
以年龄作为论域，取U = [0，200]，扎德 教授给出了“年老”O与“年轻”Y两个模糊子集 的隶属函数为：
∫ ∫ O = 0 / x +
(1
+
(
x−50 5
)
−2
)
−1
x∈[0,50]
x∈( 50, 200 ]
数”，即A = {x| x>>1}，A的隶属函数可
以确定为：
μ A(x)
=
⎪⎧ ⎨
0
1
⎪⎩ 1+
(
100 x −1)2
x ≤1 x >1
A的隶属函数如图2.1所示。
1.0
0.5
10
A的隶属函数
29
隶属函数例子
图形化的，也能够用隶属函数表示
1 A(x)
λ
30
5
2.2.2 模糊集合的表示方法
表示论域U上的模糊集合，原则上只需要将 每个元素x附以该元素对模糊子集A的隶属度 μA(x)，然后将它们用一定形式构造在一起 即可。下面为常用的3种表示方法： 扎德表示法 序隅表示法与向量表示法 隶属函数法
元素对“集合”的隶属度不再是 局限于０或１，而是可以取从 ０到１的任一数值。
过得去得分数
模糊集合的特点
一元素是否属于某集合，不 能简单地用“是“或“否”来回 答，这里有一个渐变过程
及格的分数 19
模糊集合的定义（2） 定义1： 设给定论域Ｕ，Ｕ在闭区间［０，１］ 的任一映射μＡ：
μＡ：Ｕ→［０，１］ x→ μＡ(x) , x ∈ U
27
隶属度 域U上的全体模糊子集所组成的集合称 为模糊幂集.
记为：F (U ) = {A | μ A：U → [0,1]}
论域U={x}上的集合A由隶属函数μA(x) 来表征，其中μA(x)在闭区间[0，1]中 取值，μA(x)的大小反映了x对于模糊集 合A的隶属程度。
28
隶属函数例子
例2.2：模糊集A表示“比1的大得多的实
∫ ∫ Y = 1/ x +
(1
+
(
x
−25 5
)
2
)−1
x∈[ 0 , 25 ]
x∈( 25,100 ]
9通过计算可得，55岁的人属于老年人的隶属度为0.5。即 μO (x = 55) = 0.5。这表 明55岁的人只能算是“半老”，因为他属于“老年人”集合的资格只有0.5。 9同样可得，μO (x = 60) = 0.8, μO (x = 70) = 0.94。这表明60岁和70岁的人基本属于“老年 人”，其隶属度分别为0.8和0.94。
从上述两个集合可知， x2、x4、x5、x6是 男性，x1和x3是女性。
8
基数
一个集合的元素个数，叫做该集合的基数。 A集合的基数，在经典集合中记作N(A)。如 “学位”集合有3个元素，其基数是3，即N(学 位)＝3。
基数为有限数的集合叫做有限集。 当集合中的元素数目无限多时，基数为无限数。 基数为无限数的集合称为无限集。
具有某种特定属性的、彼此可以区别的对象的全 体，叫做集合。
每个集合里通常都包含有若干个体，集合里的每 个个体，称为集合中的一个元素
同一集合中的元素都具有某种共性。该集合被讨
论的全体对象，称为论域。
2
2.1 经典集合回顾 （2）
集合的另一形式的定义: 任何被称为“成员”或“元素(Element)” 的对象的聚集称为集合(set)
共十六个。
13
经典集合的一些性质
设A, B是X的任意两个子集，记
A, B∈P(X), A∪B, A∩B和Ac分别表示A和
B的并集、交集和A的余（补）集。
14
集合的并、交、补运算
对于A,B,C P(X)，集合的并、交、余运算具有 如下性质：
幂等律 A∪A=A , A∩A=A 交换律 A∪B=B∪A , A∩B=B∩A 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
号“⊄”表示。例如：A ⊄ B，E ⊄ D等。
10
空集与全集 即集合A中不包含任何元素时，集合A就 叫做空集，用符号“Φ”表示。 由集合A的全体元素组成的集合，称为 全集
11
幂集合 设X是一论域， X的全部子集作为元素， 这样构成的集合叫做幂集合，记为P(X)
例 如 集 合 B ＝ {0 ， 1} 的 幂 集 为 {Φ ， {0} ， {1}，{0，1}}，记作P(B)。 例如，集合A＝{上，中，下}的幂集合为： P(A)＝ {Φ ，{上}，{中 }，{下 }，{上， 中}，{上，下}，{中，下}，{上，中， 下}}。
X 称为论域 或 域
21
模糊集合论域的二种形式
1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又：X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
12
2
幂集合（2）
幂集的基数＝2元素数。 N(P(X))=2N(X) 含有四个元素的集合B＝{a，b，c，d}，它的 所有子集为：
Φ, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d}, {a, b, c},{a, b, d},{a, c, d},{b, c, d}, {a, b, c, d}
31
扎德表示法
设论域为有限集U={x1，x2，…，xn}，A 为U上的一个模糊子集，论域U中的元素 xi(i=1，2，3，…，n)对模糊子集A的隶 属度为μA(xi)，i=l，2，…，n，查德将 模糊子集A记为：
n
∑ A = μ A (x1 ) / x1 + μ A (x1 ) / x1 + L + μ A (xn ) / xn = μ A (xi ) / xi i =1
5
定义法
对于集合 A={0，2，4，6，8}用定义法 便可表为：
A={x：x为偶数，x < 10} A={x| x为偶数，x < 10}
对于集合 A={1，3，5，7，9}用定义法 便可表为：
A={x：x为奇数，x < 10} A={x| x为奇数，x < 10}
6
1
特征函数
特征函数λ可表示元素x是否属于集合A。若
23
2) 连续形式:
令X = R+ 为人类年龄的集合,
模糊集合 A = “年龄在50岁左右”则表示为:
图示:
A = {x, μA (x) | x ∈ X }
式中：
μ
A
(
x)
=
1
+
(
x
1 −
50
)4
10
μA(x) = 1
μ A (x) = [0 1]
0
50
100 24
4
精确集合 X <6
X >6
1
比较
例2.3：设U = {1，2，3，4，5}，模糊集A表示“小的整数”，则
A可以表示为：A = 小的整数 = 1/1 +1/2 + 0.8/3 + 0.5/4+ 0.2/5
32
上述扎德表示法是针对论域U为有限集 合时的情况。当论域U为无限集时，U上 的一个模糊集A则可以表示成：
A = ∫ μA (x) / x x∈U
于A的仅有的两种极端性的“程度”。如果集合A表现
的是某一概念，那么χA(x)表示x是否满足概念A，或者 说，命题“x是A”是否为真。
7
特征函数（例子）
一个办公室共有六人，记作x1，x2，x3，x4， x5，x6。在论域U＝{x1，x2，x3，x4，x5，x6} 中，“男”与“女”集合可分别表示为：
男=0／xl + 1／x2 + 0／x3 + 1／x4 + 1／ x5 + 1／x6； 女=1／x1 + 0／x2 + 1／x3 + 0／x4 + 0／ x5 + 0／x6；
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 吸收律 (A∩B) ∪B=B , (A∪B)∩B=B 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合的并、交、补运算(2)
0 - 1律 A∪X=X ， A∩X=A ， A∪Φ=A ，A∩Φ=Φ
复原律 (AC)C=A 互补律 A∪AC=X ，A∩AC=Φ 对偶律 (A∪B)C=AC∩BC
例如，{x| x为奇数}和{x| x为偶数}都是无限集。 对于无限集，我们就不能用一个数字来写出 它们的基数。
9
2.1.2 子集合
设A、B为两个集合，若∀x∈A都有x∈B，则称 A包含在B内，记作：A⊆B，这时，集合A便称 为集合B的子集合(简称子集)。
设A、B为两个集合，如果A⊆B但A≠B，则集合A பைடு நூலகம்称为集合B的真子集合(简称真子集)，用符号 记为：A⊂B。 A ⊂ B也可写作B ⊃ A，读作B包含A，或A被B包 含。 如果一个集合不是另一个集合的子集时，可用符
15
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凸集、闭集
什么是凸集？ 指康托凸集
一个普通集合(非模糊集)是凸的，当仅当∀x, y ∈ A和∀λ ∈[ 0，1]， 连接x, y线段上的点z = λx + (1- λ)y都包含于A中。
凸集A
非凸集A
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2.2 模糊集合
经典集合论的特点
非真即假 ，如，A={X|X>6}
3
2.1.1 经典集合的表示方法 目前，经典集合有三种表示方法：枚举 法、定义法和特征函数法。
把一个集合的元素全部列出，并用花括号 括起的方法，叫做枚举法或列举法。 用集合中元素的共性来描述集合，叫做定 义法。 除了列举法与定义法之外，一个集合还可 以用特征函数λ来表示。
4
枚举法 A＝{a1, a2, a3, …, an}，这里n是元素 的个数。 学位＝{学士，硕士，博士}； 中国的直辖市＝{北京，天津，上海， 重庆}； 性别＝{男，女}。 A={0，2，4，6，8}
本科生课程
第二章：模糊数学基础
Gui Xiaolin Neocom Institute 6/15/2009 4:21:39 PM
2.1 经典集合回顾
十九世纪末，康托(Contor)建立了经典集合 理论。
经典集合论是现代数学各个分支的基础，其 本身也是一门严格体系的数学分支。
我们可以从常见的事物中，抽象出集合这一 概念：
可确定Ｕ的一个模糊子集Ａ。模糊子 集也简称为模糊集。 μ A (x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
20
模糊集合的定义(3) 模糊集合的定义（2） 如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合A ： A = {(x, μA (x)) | x ∈ X } μ A (x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
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举例说明
例，某人事部门要对五个待安排的职员的工作能力
打分，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域： U = {x1,x2,x3,x4,x5}
现分别对每个职员的工作能力按百分制给出，再除 以１００，这实际上就是给定一个从Ｕ到［０，１］ 闭区间的映射，例如：
x1 85分 即μＡ(x1)=0.85 x2 75分 即μＡ(x2)=0.75 x3 98分 即μＡ(x3)=0.98 x4 80分 即μＡ(x4)=0.80 x5 60分 即μＡ(x5)=0.60
模糊集合
μA = 0
μA =1
13
X =6
μA(x) =1
μ A(x) = [01]
连续形式
1 6
13
25
隶属函数 【定义2.1】所谓给定论域U上的一个模 糊集合A，就是给定由论域U到区间[0， 1]的一个映射 μA：U → [0,1]
x a μA (x) ∈[0,1]
这个映射μA将任一个x∈U对应着一个确 定 的 值 μ A(x)∈[0 ， 1] ， 值 μ A(x) 叫 做 x∈U对模糊集合A的隶属度，映射μA叫做 模糊子集A的隶属函数。
一事物要么属于某集合，要么就不属于， 这里没有模棱两可的情况 精确集合的隶属函数是分段函数：
μA
=
⎧1 ⎩⎨0
如果 X ∈A 如果 X ∉A
美国著名控制论专家扎德(L.A.Zader)教授于1965年 发表《模糊集合》论文, 建立了模糊集合论。
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模糊集的定义
模糊集的基本思想是把经典集 合中的绝对隶属关系灵活化， 用特征函数的语言来讲就是：
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0, 0.1),(1, 0.3),(2, 0.7),(3, 1.0),(4, 0.7),(5, 0.3),(6, 0.1)}
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又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
x∈A，则λA(x)=1；若x∉A，则λA(x)=0。
∈ λA
(
x)
=
⎪⎧1, ⎨ ⎪⎩0,
当x ∈ A 当x ∉ A 有些书中，也用χ A(x)表示
对于任给的元素x A，x对A的特征函数值χA(x)表
示x属于A的“程度”。在经典集合论中规定，x属于或
不属于A是绝对明确的，因此用0和1二值表示对象x属
这里，∫ 不再表示积分，仅仅代表一种记 号；μA (x) / x 的意义则和有限情况一样。
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例
以年龄作为论域，取U = [0，200]，扎德 教授给出了“年老”O与“年轻”Y两个模糊子集 的隶属函数为：
∫ ∫ O = 0 / x +
(1
+
(
x−50 5
)
−2
)
−1
x∈[0,50]
x∈( 50, 200 ]
数”，即A = {x| x>>1}，A的隶属函数可
以确定为：
μ A(x)
=
⎪⎧ ⎨
0
1
⎪⎩ 1+
(
100 x −1)2
x ≤1 x >1
A的隶属函数如图2.1所示。
1.0
0.5
10
A的隶属函数
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隶属函数例子
图形化的，也能够用隶属函数表示
1 A(x)
λ
30
5
2.2.2 模糊集合的表示方法
表示论域U上的模糊集合，原则上只需要将 每个元素x附以该元素对模糊子集A的隶属度 μA(x)，然后将它们用一定形式构造在一起 即可。下面为常用的3种表示方法： 扎德表示法 序隅表示法与向量表示法 隶属函数法
元素对“集合”的隶属度不再是 局限于０或１，而是可以取从 ０到１的任一数值。
过得去得分数
模糊集合的特点
一元素是否属于某集合，不 能简单地用“是“或“否”来回 答，这里有一个渐变过程
及格的分数 19
模糊集合的定义（2） 定义1： 设给定论域Ｕ，Ｕ在闭区间［０，１］ 的任一映射μＡ：
μＡ：Ｕ→［０，１］ x→ μＡ(x) , x ∈ U
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隶属度 域U上的全体模糊子集所组成的集合称 为模糊幂集.
记为：F (U ) = {A | μ A：U → [0,1]}
论域U={x}上的集合A由隶属函数μA(x) 来表征，其中μA(x)在闭区间[0，1]中 取值，μA(x)的大小反映了x对于模糊集 合A的隶属程度。
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隶属函数例子
例2.2：模糊集A表示“比1的大得多的实
∫ ∫ Y = 1/ x +
(1
+
(
x
−25 5
)
2
)−1
x∈[ 0 , 25 ]
x∈( 25,100 ]
9通过计算可得，55岁的人属于老年人的隶属度为0.5。即 μO (x = 55) = 0.5。这表 明55岁的人只能算是“半老”，因为他属于“老年人”集合的资格只有0.5。 9同样可得，μO (x = 60) = 0.8, μO (x = 70) = 0.94。这表明60岁和70岁的人基本属于“老年 人”，其隶属度分别为0.8和0.94。
从上述两个集合可知， x2、x4、x5、x6是 男性，x1和x3是女性。
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基数
一个集合的元素个数，叫做该集合的基数。 A集合的基数，在经典集合中记作N(A)。如 “学位”集合有3个元素，其基数是3，即N(学 位)＝3。
基数为有限数的集合叫做有限集。 当集合中的元素数目无限多时，基数为无限数。 基数为无限数的集合称为无限集。
具有某种特定属性的、彼此可以区别的对象的全 体，叫做集合。
每个集合里通常都包含有若干个体，集合里的每 个个体，称为集合中的一个元素
同一集合中的元素都具有某种共性。该集合被讨
论的全体对象，称为论域。
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2.1 经典集合回顾 （2）
集合的另一形式的定义: 任何被称为“成员”或“元素(Element)” 的对象的聚集称为集合(set)
共十六个。
13
经典集合的一些性质
设A, B是X的任意两个子集，记
A, B∈P(X), A∪B, A∩B和Ac分别表示A和
B的并集、交集和A的余（补）集。
14
集合的并、交、补运算
对于A,B,C P(X)，集合的并、交、余运算具有 如下性质：
幂等律 A∪A=A , A∩A=A 交换律 A∪B=B∪A , A∩B=B∩A 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
号“⊄”表示。例如：A ⊄ B，E ⊄ D等。
10
空集与全集 即集合A中不包含任何元素时，集合A就 叫做空集，用符号“Φ”表示。 由集合A的全体元素组成的集合，称为 全集
11
幂集合 设X是一论域， X的全部子集作为元素， 这样构成的集合叫做幂集合，记为P(X)
例 如 集 合 B ＝ {0 ， 1} 的 幂 集 为 {Φ ， {0} ， {1}，{0，1}}，记作P(B)。 例如，集合A＝{上，中，下}的幂集合为： P(A)＝ {Φ ，{上}，{中 }，{下 }，{上， 中}，{上，下}，{中，下}，{上，中， 下}}。
X 称为论域 或 域
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模糊集合论域的二种形式
1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又：X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
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2
幂集合（2）
幂集的基数＝2元素数。 N(P(X))=2N(X) 含有四个元素的集合B＝{a，b，c，d}，它的 所有子集为：
Φ, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d}, {a, b, c},{a, b, d},{a, c, d},{b, c, d}, {a, b, c, d}
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扎德表示法
设论域为有限集U={x1，x2，…，xn}，A 为U上的一个模糊子集，论域U中的元素 xi(i=1，2，3，…，n)对模糊子集A的隶 属度为μA(xi)，i=l，2，…，n，查德将 模糊子集A记为：
n
∑ A = μ A (x1 ) / x1 + μ A (x1 ) / x1 + L + μ A (xn ) / xn = μ A (xi ) / xi i =1
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定义法
对于集合 A={0，2，4，6，8}用定义法 便可表为：
A={x：x为偶数，x < 10} A={x| x为偶数，x < 10}
对于集合 A={1，3，5，7，9}用定义法 便可表为：
A={x：x为奇数，x < 10} A={x| x为奇数，x < 10}
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1
特征函数
特征函数λ可表示元素x是否属于集合A。若
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2) 连续形式:
令X = R+ 为人类年龄的集合,
模糊集合 A = “年龄在50岁左右”则表示为:
图示:
A = {x, μA (x) | x ∈ X }
式中：
μ
A
(
x)
=
1
+
(
x
1 −
50
)4
10
μA(x) = 1
μ A (x) = [0 1]
0
50
100 24
4
精确集合 X <6
X >6
1
比较
例2.3：设U = {1，2，3，4，5}，模糊集A表示“小的整数”，则
A可以表示为：A = 小的整数 = 1/1 +1/2 + 0.8/3 + 0.5/4+ 0.2/5
32
上述扎德表示法是针对论域U为有限集 合时的情况。当论域U为无限集时，U上 的一个模糊集A则可以表示成：
A = ∫ μA (x) / x x∈U
于A的仅有的两种极端性的“程度”。如果集合A表现
的是某一概念，那么χA(x)表示x是否满足概念A，或者 说，命题“x是A”是否为真。
7
特征函数（例子）
一个办公室共有六人，记作x1，x2，x3，x4， x5，x6。在论域U＝{x1，x2，x3，x4，x5，x6} 中，“男”与“女”集合可分别表示为：
男=0／xl + 1／x2 + 0／x3 + 1／x4 + 1／ x5 + 1／x6； 女=1／x1 + 0／x2 + 1／x3 + 0／x4 + 0／ x5 + 0／x6；
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 吸收律 (A∩B) ∪B=B , (A∪B)∩B=B 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合的并、交、补运算(2)
0 - 1律 A∪X=X ， A∩X=A ， A∪Φ=A ，A∩Φ=Φ
复原律 (AC)C=A 互补律 A∪AC=X ，A∩AC=Φ 对偶律 (A∪B)C=AC∩BC
例如，{x| x为奇数}和{x| x为偶数}都是无限集。 对于无限集，我们就不能用一个数字来写出 它们的基数。
9
2.1.2 子集合
设A、B为两个集合，若∀x∈A都有x∈B，则称 A包含在B内，记作：A⊆B，这时，集合A便称 为集合B的子集合(简称子集)。
设A、B为两个集合，如果A⊆B但A≠B，则集合A பைடு நூலகம்称为集合B的真子集合(简称真子集)，用符号 记为：A⊂B。 A ⊂ B也可写作B ⊃ A，读作B包含A，或A被B包 含。 如果一个集合不是另一个集合的子集时，可用符