人教A版数学必修三同步导练作业：第2章 统计 课时作业14

课时作业14变量间的相关关系
基础要求
1．下列两变量中具有相关关系的是()
A．正方形的体积与边长
B．人的身高与体重
C．匀速运动车辆的行使距离与时间
D．球的半径与体积
解析：由相关关系与函数关系的区别可知A、C、D项为函数关系，B项为相关关系．
答案：B
2．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图1)，以下结论中正确的是()
图1
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(x，y)
解析：解法1：由于线性回归方程可设为y＝a＋bx，而系数a的计算公式为a＝y－bx，故应选D.
解法2：依据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数，线性回归方程的意义等进行判断，如下表格，故应选D.
答案：D
3．线性回归方程y^ ＝bx＋a必过()
A．点(0，0) B．点(x，0)
C．点(0，y) D．点(x，y)
解析：由回归系数公式可知a＝y－b x，
即y＝b x＋a必过点(x，y)．
答案：D
4．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2(2)．由这两个散点图可以判断()
图2
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：根据正相关与负相关的定义，由散点图，可以看出第一个图散点分布是从左上角到右下角的区域，所以变量y与x负相关，第
二个图散点分布是从左下角到右上角的区域，所以变量u与v正相关，故选C.
答案：C
能力要求
1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()
A．y ^ ＝－10x＋200 B．y ^ ＝10x＋200
C．y ^ ＝－10x－200 D．y ^ ＝10x－200
解析：由y与x呈负相关可知B、D错误，当x＝0时，对于C选项y ^ ＝－200，与现实不符．
答案：A
2．(2018年山东省淄博市高三下学期二模)某公司2008－2013年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：
根据统计资料，则()
A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
C．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系
D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系
解析：由表可知y 随x 的增大而增大，为正相关；中位数为16＋18
2＝17.
答案：B
3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A ．－1
B ．0 C.12
D ．1
解析：因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.选D.
答案：D
4．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程y ^ ＝bx ＋a .那么下面说法不正确的是( )
A ．直线y ^ ＝bx ＋a 必过点(x ，y )
B ．直线y ^ ＝bx ＋a 必过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点
解析：回归直线一定过样本的中心(x ，y )，x ＝64＝1.5，y ＝20
4＝5，故y ^ ＝a ＋bx 必过点(1.5，5)．
答案：(1.5，5)
8．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位均为百万元)之间有如下对应关系：
(1)画出散点图；
(2)根据散点图判断x与y是否相关，若相关，则求回归直线方程；
(3)若广告费支出为12百万元，则销售额大约为多少百万元？
解：(1)散点图如图3，由图中散点可以看出，它们分布在一条直线的附近，因而它们是线性相关的．
图3
(2)由上述散点图可知x与y具有相关关系．列出下表.
＝6.5，
a＝y－－b x－＝50－6.5×5＝17.5.
故回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.
(3)当x＝12时，y＝6.5×12＋17.5＝95.5，
即广告费支出为12百万元时，销售额大约为95.5百万元．
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x 3456
y 2.534 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝b^ x＋a^ ；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：由题设所给数据，可得散点图如图4.
图4
a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
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