多体动力学讲义-应用篇
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第二章 平面多体系统动力学.......................................................................................................24 2.1 广义惯性力.......................................................................................................................24 2.2 质量矩阵和离心力...........................................................................................................25 2.3 动力学方程.......................................................................................................................28 2.4 拉格朗日乘子...................................................................................................................29 2.5 约束动力学方程...............................................................................................................31 例 2.1.......................................................................................................................................33
2
第一章 平面多体系统运动学
1.1 预备知识 1.1.1 多元函数微分
考虑多个函数有多个自变量时，函数表达式如下：
(1.1wenku.baidu.com 其中 qi=qi(t), i=1, 2, . . . , n. 对任意函数 fj 的导数可写为：
(1.2) 其中:
(1.3) 则：
(1.4) 上式可写作：
(1.5)
3
1.1.2 斜对称矩阵
第四章 空间多体系统动力学.......................................................................................................46 4.1 空间惯性力.......................................................................................................................46 4.2 空间作用力.......................................................................................................................48 4.3 空间动力学方程...............................................................................................................49 4.4 空间约束动力学方程.......................................................................................................50
第三章 空间多体系统运动学.......................................................................................................35 3.1 空间位置分析...................................................................................................................35 3.2 空间速度、加速度分析...................................................................................................36 3.3 广义坐标表示...................................................................................................................40 3.4 欧拉 4 参数.......................................................................................................................42
(1.11)
上式可展开为：
(1.12)
(1.13) 这三个方程不是独立的，比如1式乘a1/a3+2式乘a2/a3就是3式。就是说这三个式子只有 两个是独立的方程。
1.2 几种典型铰链的约束方程
1.球铰
图 1.1 球铰 只允许两物体间三个轴的转动，无三轴的移动，需要三个运动约束条件限制这 3 个移 动自由度。P 为定义点，Pi 表示在 i 物体上的 P 点，Pj,在 j 上。三个运动约束条件要求在 I,J 相互运动时 Pi,Pj 始终重合，运动约束可用向量表示为：
斜对称矩阵定义为aij =−aji，记作 A~ ，例如：
显然, A~T = − A~ 。
设有两个矢量,a,b,定义为：a=[a1 a2 a3]T, b=[b1 b2 b3]T .矢量a,b在三维空间中可表达为： (1.6)
根据矢量叉积的定义，a与b的叉积为：
(1.7) 上式可写作：
(1.8) 又由斜对称矩阵的定义可有：
(1.14)
其中 rPi 和 rPj 是表达Pi,Pj在全局坐标下的三维位置矢量。球铰是三自由度铰，它不限制
5
两物体间的相对转动。
２．圆柱铰
图 1.2 圆柱铰 限制 4 个自由度，只可以有绕同一轴线的转动和移动。hi,hj,sij,在运动中始终共线，用矢 量叉积表示为：
多体动力学讲义
（应用篇） 2011 年冬
目录
第一章 平面多体系统运动学.........................................................................................................3 1.1 预备知识.............................................................................................................................3 1.1.1 多元函数微分..........................................................................................................3 1.1.2 斜对称矩阵..............................................................................................................4 1.2 几种典型铰链的约束方程.................................................................................................5 1.3 移动准则............................................................................................................................7 1.4 平面多刚体的运动学分析................................................................................................8 1.4.1 坐标变换..................................................................................................................8 1.4.2 位置、速度、加速度分析......................................................................................9 1.5 刚体上动点的运动分析..................................................................................................12 1.6 平面约束运动学...............................................................................................................14 1.6.1 绝对坐标................................................................................................................14 1.6.2 运动约束................................................................................................................14 1.6.3 运动学驱动系统与动力学驱动系统（欠约束系统） ........................................16 1.6.4 约束法的运动学分析............................................................................................16 例题 1.1...........................................................................................................................17 例题 1.2...........................................................................................................................21
(1.9) 上式可写作：
4
(1.10)
由上式可以看出通过斜对称矩阵的引入，将两矢量的叉积运算转化为其中一矢量对应的 斜对称矩阵与另一矢量的标量积，该性质在后续多体运算中很常用。
后面会经常遇到的两矢量叉积构成的方程组如下：
其中 a=[a1 a2 a3]T and x=[x1 x2 x3]T. 应用反对称阵的性质,上式可写作：
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第一章 平面多体系统运动学
1.1 预备知识 1.1.1 多元函数微分
考虑多个函数有多个自变量时，函数表达式如下：
(1.1wenku.baidu.com 其中 qi=qi(t), i=1, 2, . . . , n. 对任意函数 fj 的导数可写为：
(1.2) 其中:
(1.3) 则：
(1.4) 上式可写作：
(1.5)
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1.1.2 斜对称矩阵
第四章 空间多体系统动力学.......................................................................................................46 4.1 空间惯性力.......................................................................................................................46 4.2 空间作用力.......................................................................................................................48 4.3 空间动力学方程...............................................................................................................49 4.4 空间约束动力学方程.......................................................................................................50
第三章 空间多体系统运动学.......................................................................................................35 3.1 空间位置分析...................................................................................................................35 3.2 空间速度、加速度分析...................................................................................................36 3.3 广义坐标表示...................................................................................................................40 3.4 欧拉 4 参数.......................................................................................................................42
(1.11)
上式可展开为：
(1.12)
(1.13) 这三个方程不是独立的，比如1式乘a1/a3+2式乘a2/a3就是3式。就是说这三个式子只有 两个是独立的方程。
1.2 几种典型铰链的约束方程
1.球铰
图 1.1 球铰 只允许两物体间三个轴的转动，无三轴的移动，需要三个运动约束条件限制这 3 个移 动自由度。P 为定义点，Pi 表示在 i 物体上的 P 点，Pj,在 j 上。三个运动约束条件要求在 I,J 相互运动时 Pi,Pj 始终重合，运动约束可用向量表示为：
斜对称矩阵定义为aij =−aji，记作 A~ ，例如：
显然, A~T = − A~ 。
设有两个矢量,a,b,定义为：a=[a1 a2 a3]T, b=[b1 b2 b3]T .矢量a,b在三维空间中可表达为： (1.6)
根据矢量叉积的定义，a与b的叉积为：
(1.7) 上式可写作：
(1.8) 又由斜对称矩阵的定义可有：
(1.14)
其中 rPi 和 rPj 是表达Pi,Pj在全局坐标下的三维位置矢量。球铰是三自由度铰，它不限制
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两物体间的相对转动。
２．圆柱铰
图 1.2 圆柱铰 限制 4 个自由度，只可以有绕同一轴线的转动和移动。hi,hj,sij,在运动中始终共线，用矢 量叉积表示为：
多体动力学讲义
（应用篇） 2011 年冬
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第一章 平面多体系统运动学.........................................................................................................3 1.1 预备知识.............................................................................................................................3 1.1.1 多元函数微分..........................................................................................................3 1.1.2 斜对称矩阵..............................................................................................................4 1.2 几种典型铰链的约束方程.................................................................................................5 1.3 移动准则............................................................................................................................7 1.4 平面多刚体的运动学分析................................................................................................8 1.4.1 坐标变换..................................................................................................................8 1.4.2 位置、速度、加速度分析......................................................................................9 1.5 刚体上动点的运动分析..................................................................................................12 1.6 平面约束运动学...............................................................................................................14 1.6.1 绝对坐标................................................................................................................14 1.6.2 运动约束................................................................................................................14 1.6.3 运动学驱动系统与动力学驱动系统（欠约束系统） ........................................16 1.6.4 约束法的运动学分析............................................................................................16 例题 1.1...........................................................................................................................17 例题 1.2...........................................................................................................................21
(1.9) 上式可写作：
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(1.10)
由上式可以看出通过斜对称矩阵的引入，将两矢量的叉积运算转化为其中一矢量对应的 斜对称矩阵与另一矢量的标量积，该性质在后续多体运算中很常用。
后面会经常遇到的两矢量叉积构成的方程组如下：
其中 a=[a1 a2 a3]T and x=[x1 x2 x3]T. 应用反对称阵的性质,上式可写作：