工程力学9-扭转

扭矩矢量
Tx
n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
工程力学
20
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
工程力学
21
例题
某转动轴，转速n = 200 rpm, 主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出 功率分别为PB = 90 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW 1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图
46
切变模量G 材料常数：弹性模量E 泊松比μ 对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三 个弹性常数之间存在着如下关系
E G 2(1 )
工程力学
47
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力 一、扭转切应力的一般公式
考察图示受扭圆轴，分析横截面的应力。
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系 静力学关系
PA 36.75 mA 9549 9549 1170 N m n 300 PB 11.025 mB mC 9549 9549 351 N m n 300 PC 14.7 mD 9549 9549 468 N m n 300
其中，各轮的功率为
C
2
6.7
A
3
D
4.3
+
+
x
0
－
-2.859
工程力学
27
例：图示传动轴，主动轮A输入功率 PA=36.75kW，从动轮B 、 C 、 D输出功率分别为
PB=PC=11.025kW ， ND=14.7kW ， 轴 的 转 速 为
n=300转/分。作轴的扭矩图。
工程力学
28
解：作用于各轮的外力偶矩为
主讲教师：门玉涛
扭转
问题：
1、如何计算圆轴和圆筒扭转时的应力？
2、如何计算圆轴和圆筒扭转时的变形？ 3、如何计算圆轴扭转时的强度和刚度？
工程力学
2
§9-1 引言
扭转的概念及实例
汽车的转向操纵杆
汽车方向盘
工程力学
3
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程力学
4
受扭 部位
当两只手用力 相等时，拧紧螺母 的工具杆将产生扭 转

dρ
dA 2 d I P 2 dA 2 3d
A d 2 0
o
2
d 2 0
3 d 2 4
4
d 2
0
d 4 32
工程力学
62
二、空心圆截面
将前面的积分式下限改为空 心圆截面的内径，可得：
工程力学
31
工程力学
32
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
2kN· m 5kN· m 3kN· m
A
B
C
D
工程力学
33
你做对了吗？
工程力学
34
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t，
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格, 然后加载。
Mx
取 I p / R Wp
max
Tx Wp
Wp ∶ 截面的抗扭截面模量，单位 mm3 m3
工程力学
58
Tx ( ) Ip
按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图
max max
O
Mx
工程力学
59
T 由公式 知切应力呈线性分布，如下图示： Ip
切应力τ ρ 线性分布 切应力τ ρ 线性分布
工程力学
25
取3-3截面右侧分析
列方程
M
x
0
T3 M D 0 T3 M D 2859 N m
工程力学
26
由上述计算得到扭矩值
TB
1
TC
2
TA
3
TD
T1 4300N m T2 6690N m T3 2859N m
画扭矩图
B
1
m Mx（kN· ） T
工程力学
16
功率P每分钟作功,功率的单位是千瓦（kW）
W P 1000 60
转矩（外力偶矩） m 所作的功
（1）
W＝m 2n
（1）＝（2），有
（2）
P 1000 60 m 2n
工程力学
17
于是得
P k W（千瓦） P m 9549 ，其中 n rpm（转 / 分） n m N m（牛 米）
外力偶矩 与功率的 关系式
或
P PS（马力） P m 7024 ，其中 n rpm（转 / 分） n m N m（牛 米）
工程力学
18
二、扭矩与扭矩图
扭矩：在外力偶矩作用下，轴任意截面（n-n 截面）上 的内力偶矩，用T 表示，它是截面上内力偶矩的合力偶矩。
( )
工程力学
54
3.静力学关系
M
( ) dA
dA

O
M
微切力： ( )dA
Mx
对圆心O 的微力矩 dM ( )dA 内力矩，扭矩 Mx
M x dM ( ) dA
A
dj dj 2 d A d A G 代入物理关系和几何关系： M x G A A dx dx
截面对圆心的极惯性矩
工程力学
57
Tx ( ) Ip
对某一截面而言，Tx 为常数， Ip 也是常数，因此 横截面上的切应力是 的线性函数 圆心处 0 0
( ) dA
dA
外表面 max max

O
max
Tx max Tx R Tx Ip Ip Ip / R
受扭构件的内力矩如何？ 截面法 Me是外力矩
根据右手定则确定力 矩矢的方向
力矩矢方向
Me
T
T
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩T—扭矩
由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
工程力学
19
扭矩的正负号规定
T
T
按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与 截面外法线方向一 致为正，反之为负。
力矩矢方向
T
14
扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征 的变形形式。 扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶 扭力偶矩：扭力偶的矩 轴：凡是以扭转为主要变形的直杆
轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移即扭转角表示。
工程力学
15
§9-2 动力传递与扭转 一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
设某轮所传递的功率是P，轴的转速是 n
工程力学
35
微小角度

m
观察到如下现象：
m
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ；
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
离没有改变。
工程力学
36
根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切 应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。
工程力学
37
将dx段取出并放大
m
a' d' dx
工程力学
23
将外力矩转换为力矩矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为正
T1
x
列方程
M
x
0
M B T1 0 T1 M B 4300 N m
工程力学
24
取2-2截面左侧分析
列方程
M
x
0
M B M C T2 0 T2 M B M C 6690 N m
工程力学
56
4、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律
( ) dA
dA

O
dj ( ) dj M x d A G Ip I pG A dx dx
2
该截面上的扭矩-内力矩 所求的点至圆心的距离
Mx
截面上某点的切应力
Tx ( ) Ip
b' c'
m ro
x
t
工程力学
38
Mn
a' b' d' c' dx
Mn ro
d x
t
相对扭角(扭转角)： 两横截面相对转动的 角度，用表示。
切应变：扭转后矩形abcd的直角的改变量。
工程力学
39
Mn
a' b' d' c' dx
Mn ro
d x
t
扭角与切应变的关系： 由dx段可看出： · dx= ro · d 即： = ro · / dx d
工程力学
48
实验现象和平面假设
圆周线
M
纵向线
M
工程力学
49
变形前
圆周线
变形后
M
圆周线

纵向线
纵向线
M
所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一个角度 表明:表面处存在切应变， 而且切应变相同。 变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成 了一个小菱形。 工程力学
50
变形前
圆周线
变形后
M
圆周线
纵向线
实心圆截面
空心圆截面
工程力学
60
切应力计算公式的适用范围：
1. 在公式推导中用到G，因此公式仅在弹性 范围有意义；
2. 仅适用于圆截面和空心圆截面轴。
工程力学
61
§9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 一、实心圆截面
在直径为d的圆截面上取 一半径为 、宽为d的 微圆环，则有：
微面积 dA=2πρdρ
纵向线
M
所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大 小、形状、及其相互之间的距离保持不变。 表明:无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。
工程力学
51
M
圆周线
纵向线
M
平面假设: 圆轴扭转变形前为 平面的横截面，变形后仍为大 小相等的平面，其半径仍保持 直线，且相邻两个截面的距离 不变。
x
z
工程力学
42




dx

dx


dx
在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对 存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线， 这一规律成为 切应力互等定理。 单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态。
圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态。
工程力学
43
工程力学
5
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程力学
6
受扭 部位
拧紧螺母的 工具杆不仅产 生扭转，而且 产生剪切
工程力学
7
汽车传动轴
工程力学
8
丝锥攻丝
工程力学
9
工程力学
10
电唱机 转轴
工程力学
11
齿轮轴受扭
工程力学
12
自行车轴
工程力学
13
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶， 力偶作用面垂直于轴线。 变形特征：横截面绕轴线转动。 工程力学
工程力学
40
二、纯剪切与切应力互等定理
M
如图取单元体：


M

dx

dx
y
为保持单元体平衡，则其他几个 面上应有什么应力？大小如何？
dx
m
z
0
dy dx


t
(τ tdx)dy (τ td y)dx 0 ( td y)dx ( tdx )dy
PA 36.75 kW PB PC 11.025kW PD 14.7kW
工程力学
29
各段扭矩为
BC 段为：T1 mB 351N m CA 段为：T2 702 N m AD段为：T3 mD 468 N m
工程力学
30
扭矩图如图示
T(N m)

相对扭转角。
dx
dj 同一截面上 为常数，因 dx 此 ( ) 与 成正比
工程力学
53
2. 物理关系
以 ( ) 表示横截面上距圆心为 处的切应力，则胡克定律:
( ) G ( )
代入几何关系表达式
dj ( ) G dx
由于 ( ) 发生在垂直于半 径的平面内，所以 ( ) 也 应与半径垂直。
工程力学
22
解 首先计算各个外力矩的大小
MA MB MC MD
P 200 9549 9549 9549N m n 200 P 90 9549 9549 4300N m n 200 P 50 9549 9549 2390N m n 200 P 60 9549 9549 2859N m n 200
工程力学
55
( ) dA
dj dj 2 M x G d A d A G A A dx dx
dA

O
取
I p 2d A
A
Mx
Ip : 截面对圆心 O 的 极惯性矩
极惯性矩的单位: m4
2
mm4
dj ( ) dj M x d A G Ip I pG A dx dx
三、剪切胡克定律
考察薄壁筒受扭

单元体 变形图
γ


工程力学
44
工程力学
45
薄壁圆筒的实验, 证实了切应力与切应变之
间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当切
应力不超过材料的剪切比例极限τp 时,切应力
与切应变成正比
G
定律。
剪切胡克 定律
G称为材料的切变模量。上式关系称为剪切胡克
工程力学
由平面假设，圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可 以认为横截面上无正应力，由于相对转动引起纵向线倾 斜，倾斜角 为切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。
工程力学
52
1.变形几何关系
M
( )
M
变形前 变形后
dj
dx

dj
( )
dj dx
dj 其中 表示扭转角沿轴线长 dx 度方向的变化率，而 dj 称为