13.刘鸿文版材料力学-动载荷
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动应力
——动荷系数
FNd Q kd kd st 绳子动载应力(动载荷下应力)为： d A A
目录
例1：吊笼重量为Q；钢索横截面面积为A，单位 体积的重量为 ，求吊索任意截面上的应力。 解： Fst Ax Q
FNd Ax Q a g g a Q Ax Q Ax g a Q Ax1 g a Fst 1 g aQ
解：⒈ 求冲击系统的动荷 系数
Kd
l 2 2 gD j gD j
2
⒉ 计算冲击点在静载下的变形 位移
Wl l l1 D st 3EI
⒊ 计算最大静应力
2
M W (l l1 ) st Wz Wz
⒋ 计算最大冲击应力
d K d st
Biblioteka Baidu
Wz
3EIWl g
Pj L WL D j 425mm EA EA
W
v
h=1m
静应力： j W / A0.07074 MPa 动应力： d Kd j 15.41MPa
6m
③求动应力
f
例3：重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处，求B点的挠度。
解：
Ql 3 4Ql 3 D st 3 E I E bh 3
§12.2
动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题 1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升 求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子： st
Q A
Q
Q
2. 物体匀速地向上提升 与第一个问题等价
FNd
qd D A D2 2 4g 2
FNd
FNd
FNd D2 2 v 2 d g A 4g
强度条件： d
v2
g
[ ]
最大线速度： max
[ ] g
从上式可以看出，环内应力仅与γ和v有关，而与A无关。所以， 要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积A，并 不能改善圆环的强度。
2T D d D st 1 1 QD st
Kd 1 1
2T 2h 1 1 QD st D st
Fd D d d Kd Q D st st
△st:冲击物落点的静位移。
Fd Kd Q
d Kd st
Dd Kd D st
l
解：D st 15 0.625 10 3 Q l 9.62 10 3 m EA
3 Q 15 10 2h 12 MPa st Kd 1 1 2 A d D st 4 2h d K d st 1 1 D 12 [ ] 120 st
解：
D j Qh1 / E1 A1 QL / EA
50.024 810 3 0.15 2
514 1010 6 0.32
71.5 105 m
10.02 Kd 1 1 271 53.4 .510
5
无橡皮垫
5 514 0 . 707 10 m D j QL / EA 1010 0.3
O L
GG man 2 Rm 2 LG/ g
②强度条件
GG / A
GG 2GL A ( g )
二、构件作等速转动时的应力计算
2.薄壁圆环，平均直径为D，横截面面积为A，材料单位体 积的重量为γ，以匀角速度ω转动。
目录
A D 2 A D 2 qd g 2 2g
目录
§12.3
杆件受冲击时的应力和变形
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析。
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加
速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用
计算中，一般采用能量法。 mg 在计算时作如下假设: v
Dd Fd Q D st
1 D2 d V d Q 2 D st
c
目录
V QDd
b
T V V d
a
1 D2 d V d Q c 2 D st 1 Q ( h D d ) Fd D d 2
将（b）式和（c）式代入（a）式，得：
Dd
2
2T D st 2D st D d 0 Q
2.若已知冲击物自高度 h 处以初速度
Q
v0下落,则
2
v v0 2 gh
v2 v 0 2 gh Kd 1 1 1 1 g D st g D st
2
2
3.当构件受水平方向冲击
1Q 2 T v 2 g
V 0
v
Dd
1 Dd 1 Q QD d Dd 2 U d Fd D d 2 D st 2 D st 2
材料力学
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社
目录
第十二章 动 载 荷
第十二章 动载荷
§12.1 概述
§12.2 动静法的应用
§12.3 杆件受冲击时的应力和变形
§12.1 概 述
静载荷： 载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。
动载荷： 载荷随时间变化而变化。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例 极限，胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性 模量与静载下的数值相同。
Q
Qa Qa
d max Kd s max
3EIh 1 1 2Qa 3 Qa W
a a
目录
例6：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放
置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短
0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
a g
a
Ax
F Nd
F st
x
Ax
x
Ax A x a
g
Kd 1
—动荷系数
FNd Kd Fst
d Kd st
Q
Q Q ga
二、构件作等速转动时的应力计算
1.重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平
面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积（不 计转臂自重）。 GG 解：①受力分析如图: 惯性力：
3 3
= 2.11×10-4m
⒉ 计算动荷系数
2 50 Kd 1 1 22.8 0.211
⒊ 计算静载时的最大应力
从高度为h处自由 落下(v=0时)：
T=Qh
T V V d
1 V d Fd D d 2
a
V QDd
b
mg h
v
1 Q ( h D d ) Fd D d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Fd D d d Q D st st
Dd mg
目录
突然加载时： 当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
Q
2T Kd 1 1 QD st
2
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引
起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。
其他情况：
1.若已知冲击物自某一高度下落,冲击物与被冲击
物接触时的速度为v
Qv 2 T 2g
v
2
v 2T Kd 1 1 1 1 QD st g D st
目录
3. 物体以加速度a向上提升 按达朗贝尔原理（牛顿第二定律） 达朗贝尔原理（动静法）：质点上所有外力 同惯性力形成平衡力系。 惯性力大小为ma，方向与加速度a相反
FNd Q Q a0 g
Q
FNd
a
a FNd Q(1 ) kd Q g
a 其中 kd (1 ) g
例5：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物Q
自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
解：
4Qa 3 D st 3E I
st max
Qa W
a
Q h
3EIh 2h 1 1 Kd 1 1 D st 2Qa 3
a
d max Kd st max
h
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系 统动能与势能的转化。 Dd mg
目录
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d ,即
6 2
21 Kd 1 1 0.707 10 533
5
[课堂练习2] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度
h A A1
C
L C1 C2
B
AA1 f Cj C1C2 2
Cd max K d Cj max
MC 384EIh PL Kd (1 1 ) 3 Wz 5PL 4Wz
课堂练习3 直角拐杆，已知材料的剪切弹性模量G=80×103MPa ，弹性模量E=200×103MPa，BC段的长l1=300mm，AB段的长 l=800mm，杆横截面直径d=60mm。重物W=100N，下落高度 h=50 mm。试求杆的最大动正应力和最大动切应力。
Q
1Q 2 Q v Dd 2 2 g 2 D st
Fd D d Q D st
Dd
v2 D st g D st
Kd
v2 g D st
例2：直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩的最大动应力。E=10GPa 解：①求静变形 ②动荷系数
2h 21000 K 1 1 1 1 217 .9 d Dj 425
l
h b
E b h4 2h Kd 1 1 1 1 D st 2Ql3
Ebh 4 wB D d K d D st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例4：在水平平面内的杆AC，绕通过A点的垂直轴以匀角速ω 转动，图示是它的俯视图。杆的C端有一重为W的集中质量。 如因发生故障在B点卡住而突然停止转动，试求杆AC内的最大 冲击应力。设杆AC的质量可以不计。
解：⒈ 求冲击点C处的静位移用能量法可求得冲击点C处的 静位移 Wl 13 Wl 3 W l13 l 3 Wl 1l D st BAl1 l1 3EI 3EI 3EI GI P
100N 0.3m 0.8m 100N (0.3m)2 0.8m π π 3 200 109 Pa (0.06m)4 80 109 Pa (0.06m)4 64 32
3 RA L3 PL 96EIDE 48EI AB
D
EI AB EIDE EI
5 PL3 192EI
E
mg =P
②动荷系数 B
2h K 1 1 d 5PL3 192EI 384EIh 1 1 5PL3
h A L A1 C C1 C2
D
EI AB EIDE EI
③求C面的动应力
h 0.385m=385 mm
课堂练习 1. 直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固定，材料 E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶为h=1m的高度自由 落下,木桩顶放置直径 d1 15cm ,厚度 h1 2cm 的橡皮垫，橡皮 E=8MPa,求动荷系数。如果无橡皮垫，动荷系数又是多少。
目录
动荷系数：
动响应 动荷系数K d 静响应
d K d j
动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解 。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题： 求解方法很多。
——动荷系数
FNd Q kd kd st 绳子动载应力(动载荷下应力)为： d A A
目录
例1：吊笼重量为Q；钢索横截面面积为A，单位 体积的重量为 ，求吊索任意截面上的应力。 解： Fst Ax Q
FNd Ax Q a g g a Q Ax Q Ax g a Q Ax1 g a Fst 1 g aQ
解：⒈ 求冲击系统的动荷 系数
Kd
l 2 2 gD j gD j
2
⒉ 计算冲击点在静载下的变形 位移
Wl l l1 D st 3EI
⒊ 计算最大静应力
2
M W (l l1 ) st Wz Wz
⒋ 计算最大冲击应力
d K d st
Biblioteka Baidu
Wz
3EIWl g
Pj L WL D j 425mm EA EA
W
v
h=1m
静应力： j W / A0.07074 MPa 动应力： d Kd j 15.41MPa
6m
③求动应力
f
例3：重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处，求B点的挠度。
解：
Ql 3 4Ql 3 D st 3 E I E bh 3
§12.2
动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题 1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升 求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子： st
Q A
Q
Q
2. 物体匀速地向上提升 与第一个问题等价
FNd
qd D A D2 2 4g 2
FNd
FNd
FNd D2 2 v 2 d g A 4g
强度条件： d
v2
g
[ ]
最大线速度： max
[ ] g
从上式可以看出，环内应力仅与γ和v有关，而与A无关。所以， 要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积A，并 不能改善圆环的强度。
2T D d D st 1 1 QD st
Kd 1 1
2T 2h 1 1 QD st D st
Fd D d d Kd Q D st st
△st:冲击物落点的静位移。
Fd Kd Q
d Kd st
Dd Kd D st
l
解：D st 15 0.625 10 3 Q l 9.62 10 3 m EA
3 Q 15 10 2h 12 MPa st Kd 1 1 2 A d D st 4 2h d K d st 1 1 D 12 [ ] 120 st
解：
D j Qh1 / E1 A1 QL / EA
50.024 810 3 0.15 2
514 1010 6 0.32
71.5 105 m
10.02 Kd 1 1 271 53.4 .510
5
无橡皮垫
5 514 0 . 707 10 m D j QL / EA 1010 0.3
O L
GG man 2 Rm 2 LG/ g
②强度条件
GG / A
GG 2GL A ( g )
二、构件作等速转动时的应力计算
2.薄壁圆环，平均直径为D，横截面面积为A，材料单位体 积的重量为γ，以匀角速度ω转动。
目录
A D 2 A D 2 qd g 2 2g
目录
§12.3
杆件受冲击时的应力和变形
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析。
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加
速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用
计算中，一般采用能量法。 mg 在计算时作如下假设: v
Dd Fd Q D st
1 D2 d V d Q 2 D st
c
目录
V QDd
b
T V V d
a
1 D2 d V d Q c 2 D st 1 Q ( h D d ) Fd D d 2
将（b）式和（c）式代入（a）式，得：
Dd
2
2T D st 2D st D d 0 Q
2.若已知冲击物自高度 h 处以初速度
Q
v0下落,则
2
v v0 2 gh
v2 v 0 2 gh Kd 1 1 1 1 g D st g D st
2
2
3.当构件受水平方向冲击
1Q 2 T v 2 g
V 0
v
Dd
1 Dd 1 Q QD d Dd 2 U d Fd D d 2 D st 2 D st 2
材料力学
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社
目录
第十二章 动 载 荷
第十二章 动载荷
§12.1 概述
§12.2 动静法的应用
§12.3 杆件受冲击时的应力和变形
§12.1 概 述
静载荷： 载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。
动载荷： 载荷随时间变化而变化。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例 极限，胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性 模量与静载下的数值相同。
Q
Qa Qa
d max Kd s max
3EIh 1 1 2Qa 3 Qa W
a a
目录
例6：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放
置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短
0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
a g
a
Ax
F Nd
F st
x
Ax
x
Ax A x a
g
Kd 1
—动荷系数
FNd Kd Fst
d Kd st
Q
Q Q ga
二、构件作等速转动时的应力计算
1.重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平
面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积（不 计转臂自重）。 GG 解：①受力分析如图: 惯性力：
3 3
= 2.11×10-4m
⒉ 计算动荷系数
2 50 Kd 1 1 22.8 0.211
⒊ 计算静载时的最大应力
从高度为h处自由 落下(v=0时)：
T=Qh
T V V d
1 V d Fd D d 2
a
V QDd
b
mg h
v
1 Q ( h D d ) Fd D d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Fd D d d Q D st st
Dd mg
目录
突然加载时： 当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
Q
2T Kd 1 1 QD st
2
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引
起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。
其他情况：
1.若已知冲击物自某一高度下落,冲击物与被冲击
物接触时的速度为v
Qv 2 T 2g
v
2
v 2T Kd 1 1 1 1 QD st g D st
目录
3. 物体以加速度a向上提升 按达朗贝尔原理（牛顿第二定律） 达朗贝尔原理（动静法）：质点上所有外力 同惯性力形成平衡力系。 惯性力大小为ma，方向与加速度a相反
FNd Q Q a0 g
Q
FNd
a
a FNd Q(1 ) kd Q g
a 其中 kd (1 ) g
例5：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物Q
自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
解：
4Qa 3 D st 3E I
st max
Qa W
a
Q h
3EIh 2h 1 1 Kd 1 1 D st 2Qa 3
a
d max Kd st max
h
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系 统动能与势能的转化。 Dd mg
目录
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d ,即
6 2
21 Kd 1 1 0.707 10 533
5
[课堂练习2] 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 E
mg =P
解：①求C点静挠度
h A A1
C
L C1 C2
B
AA1 f Cj C1C2 2
Cd max K d Cj max
MC 384EIh PL Kd (1 1 ) 3 Wz 5PL 4Wz
课堂练习3 直角拐杆，已知材料的剪切弹性模量G=80×103MPa ，弹性模量E=200×103MPa，BC段的长l1=300mm，AB段的长 l=800mm，杆横截面直径d=60mm。重物W=100N，下落高度 h=50 mm。试求杆的最大动正应力和最大动切应力。
Q
1Q 2 Q v Dd 2 2 g 2 D st
Fd D d Q D st
Dd
v2 D st g D st
Kd
v2 g D st
例2：直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩的最大动应力。E=10GPa 解：①求静变形 ②动荷系数
2h 21000 K 1 1 1 1 217 .9 d Dj 425
l
h b
E b h4 2h Kd 1 1 1 1 D st 2Ql3
Ebh 4 wB D d K d D st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例4：在水平平面内的杆AC，绕通过A点的垂直轴以匀角速ω 转动，图示是它的俯视图。杆的C端有一重为W的集中质量。 如因发生故障在B点卡住而突然停止转动，试求杆AC内的最大 冲击应力。设杆AC的质量可以不计。
解：⒈ 求冲击点C处的静位移用能量法可求得冲击点C处的 静位移 Wl 13 Wl 3 W l13 l 3 Wl 1l D st BAl1 l1 3EI 3EI 3EI GI P
100N 0.3m 0.8m 100N (0.3m)2 0.8m π π 3 200 109 Pa (0.06m)4 80 109 Pa (0.06m)4 64 32
3 RA L3 PL 96EIDE 48EI AB
D
EI AB EIDE EI
5 PL3 192EI
E
mg =P
②动荷系数 B
2h K 1 1 d 5PL3 192EI 384EIh 1 1 5PL3
h A L A1 C C1 C2
D
EI AB EIDE EI
③求C面的动应力
h 0.385m=385 mm
课堂练习 1. 直径d=30cm，长度L=1m的圆木桩，下端固定，材料 E=10GPa。重为Q=5KN的重锤从离木桩顶为h=1m的高度自由 落下,木桩顶放置直径 d1 15cm ,厚度 h1 2cm 的橡皮垫，橡皮 E=8MPa,求动荷系数。如果无橡皮垫，动荷系数又是多少。
目录
动荷系数：
动响应 动荷系数K d 静响应
d K d j
动应力分类： 1.简单动应力： 加速度可以确定，采用“动静法”求解 。 2.冲击载荷： 速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
速度不能确定，要采用“能量法”求解；
3.交变应力： 应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。 4.振动问题： 求解方法很多。