自动控制原理第二章
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例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
意义(重点解释)：
R(s)
G (s )
C (s)
C (s) G(s) R(s)
二、传递函数的求法：
线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
小 及性质初始条件等外部因素无关。分子（m阶）：反映
输入与系统的关系；分母（n阶）：系统特征多项式。对 于实际系统，m≤n。
2.传递函数是s的复变函数，其分子、分母的各项系数均
由系统或元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项 系数一一对应。比微分方程简单，把实数域内复杂的微积 分转为复域中的代数运算。
工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号来建立数 学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种 建模方法。一般都是给一个特殊的测试信号，观察其输出响 应，来分析其动态特性。 输入 输出
黑箱
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
xi (t ) (t )时，X i ( s) 1, 输出X o ( s) G( s)。
7、s j，系统可在频域分析。
8、G(s)的零、极点分布决定系统响应过渡过程。
四、传递函数使用中的局限性 1 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统， 且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 2 如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正 确反映系统的动态特性了。 3 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出， 不能反映非零初始条件引起的输出。
3、小结：列写微方的步骤：(P13)
（1）、系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每环节写 一个方程。 （2）、根据物理定律或实验方法得出的物理规律列各环节的 原始 方程，并适当简化（线性化）。 （3）、各环节方程联立，消去中间量，得出只含输入变量、 输出 变量及参数的系统方程。
（4）、单输入、单输出系统微分方程
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
比较例2-1和例2-2可见，虽然它们为两种不同的物理 系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相 同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例2-1的 RLC串联网络系统和例2-2的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对 相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。这门技术 可用电子模拟技术或计算机仿真技术实现。
[an s n an 1s n 1 ... a1s a0 ]C ( s ) [bm s bm 1s
m m 1
... b1s b0 ]R ( s )
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 G( s) R( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为
duc (t ) i (t ) C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2.机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
第2章——自动控制系统的数学模型
教学目的与要求： 1、掌握数学模型的基本概念及建立数学模型的方 法； 2、掌握传递函数的基本概念 教学重点和难点： 传递函数的概念以及推导实际物理系统的传递函数
2-1、系统的数学模型
一.数学模型
定义：控制系统的输入变量和输出变量之间动态关系的数 学表达式即为数学模型，能够揭示系统的结构参数与动态 性能之间关系。 为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性 地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望 能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做 到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计 系统的依据。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关 的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程 的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。
• 微分方程的输出响应需要求解，若系统 参数和结构变化，需要重新按照如上的 方法建立新的模型，再求其输出响应。 显然很麻烦。
• 而下面介绍一种新的复数域模型，可以 将起响应求解变为输入和输出之间的代 数关系。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用 一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具 体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的 关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统， 因此需建立控制系统的数学模型。 比如，机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进 行仿真研究）。
1.数学模型可分为静态模型和动态模 型两类：
静态模型：指在静态条件下（即变量的各阶导数 为零），描述变量之间关系的代数方程。
动态模型：描述各变量各阶导数之间关系的微分 方程。 对于系统性能的全面分析，一般要以动态模型 为对象，详细研究各变量的运动特性。
2.建立方法
a.分析计算法（机理法） 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的 结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型——适用于简单的系统。 b.工程实验法
3、相似系统。传递函数说不明被描述系统物理结 构，只反映动态性能。 对于许多物理性质截然不同 的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4、传递函数可以有量纲，也可以无量纲。 5、传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系， 因此对于同一系统，选取不同的输入、输出变量， 传递函数将不同。
6、系统输入典型信号时，输出与传递函数G(s)有一定关 系。当输入
d x dx m 2 F f kx dt dt
d x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2
2弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2-3、传递函数 （复数域数学模型）
一、传递函数的概念和定义
• 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系 统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个 控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来 达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统 或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的 一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统 响应的影响。
二.线性系统
1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统 就是线性系统。 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究 带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同 时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后 加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的 数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用 （单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析—— 简化了问题。 线性系统的这两个重要性质使得线性定常 系统的分析大为简化。
描述对象：物理系统（机械、液压、气动、电气、热力） 建立方法：力学-牛顿定律、能量守恒定律、电路定理（基尔霍夫 定律、麦克斯韦方程） 解的特点：系统在外部作用（输入）下的输出（响应）
遇到问题：模型简化与模型精度的矛盾
1.电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算
放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电 感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果 电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。 R － L －
例2-1、由电阻R、电 i 感L和电容C组成无源 + 网络。ui输 入，uo ur(t) 输出，求微分方程。 －
+
+
i(t)
C
+ uc(t) －
+ + i ur(t) －
R － + L － i(t) C
+ uc(t) －
解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示．由基尔霍夫电压定律可得到
di ( t ) L Ri ( t ) u c ( t ) u r ( t ) dt
例2-2： 一个由弹簧-质量-阻
尼器组成的机械平移系统如图所 示。m为物体质量，k为弹簧系 数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t) 为输入量，位移x(t)为输出量。 列写系统的运动方程。
F
m
f
k
x
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
•解释拉氏变换（laplace变换）
(t ) df (t ) sF ( s ) f dt
定义：零初始条件下，线性定常系统或元件输出 信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏 变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记 为G（s），即：
L[c(t )] C ( s) G( s) L[r (t )] R( s)
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
意义(重点解释)：
R(s)
G (s )
C (s)
C (s) G(s) R(s)
二、传递函数的求法：
线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
小 及性质初始条件等外部因素无关。分子（m阶）：反映
输入与系统的关系；分母（n阶）：系统特征多项式。对 于实际系统，m≤n。
2.传递函数是s的复变函数，其分子、分母的各项系数均
由系统或元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项 系数一一对应。比微分方程简单，把实数域内复杂的微积 分转为复域中的代数运算。
工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号来建立数 学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种 建模方法。一般都是给一个特殊的测试信号，观察其输出响 应，来分析其动态特性。 输入 输出
黑箱
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
xi (t ) (t )时，X i ( s) 1, 输出X o ( s) G( s)。
7、s j，系统可在频域分析。
8、G(s)的零、极点分布决定系统响应过渡过程。
四、传递函数使用中的局限性 1 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统， 且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 2 如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正 确反映系统的动态特性了。 3 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出， 不能反映非零初始条件引起的输出。
3、小结：列写微方的步骤：(P13)
（1）、系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每环节写 一个方程。 （2）、根据物理定律或实验方法得出的物理规律列各环节的 原始 方程，并适当简化（线性化）。 （3）、各环节方程联立，消去中间量，得出只含输入变量、 输出 变量及参数的系统方程。
（4）、单输入、单输出系统微分方程
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
比较例2-1和例2-2可见，虽然它们为两种不同的物理 系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相 同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例2-1的 RLC串联网络系统和例2-2的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对 相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。这门技术 可用电子模拟技术或计算机仿真技术实现。
[an s n an 1s n 1 ... a1s a0 ]C ( s ) [bm s bm 1s
m m 1
... b1s b0 ]R ( s )
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 G( s) R( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为
duc (t ) i (t ) C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2.机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
第2章——自动控制系统的数学模型
教学目的与要求： 1、掌握数学模型的基本概念及建立数学模型的方 法； 2、掌握传递函数的基本概念 教学重点和难点： 传递函数的概念以及推导实际物理系统的传递函数
2-1、系统的数学模型
一.数学模型
定义：控制系统的输入变量和输出变量之间动态关系的数 学表达式即为数学模型，能够揭示系统的结构参数与动态 性能之间关系。 为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性 地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望 能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做 到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计 系统的依据。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关 的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程 的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。
• 微分方程的输出响应需要求解，若系统 参数和结构变化，需要重新按照如上的 方法建立新的模型，再求其输出响应。 显然很麻烦。
• 而下面介绍一种新的复数域模型，可以 将起响应求解变为输入和输出之间的代 数关系。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用 一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具 体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的 关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统， 因此需建立控制系统的数学模型。 比如，机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进 行仿真研究）。
1.数学模型可分为静态模型和动态模 型两类：
静态模型：指在静态条件下（即变量的各阶导数 为零），描述变量之间关系的代数方程。
动态模型：描述各变量各阶导数之间关系的微分 方程。 对于系统性能的全面分析，一般要以动态模型 为对象，详细研究各变量的运动特性。
2.建立方法
a.分析计算法（机理法） 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的 结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型——适用于简单的系统。 b.工程实验法
3、相似系统。传递函数说不明被描述系统物理结 构，只反映动态性能。 对于许多物理性质截然不同 的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4、传递函数可以有量纲，也可以无量纲。 5、传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系， 因此对于同一系统，选取不同的输入、输出变量， 传递函数将不同。
6、系统输入典型信号时，输出与传递函数G(s)有一定关 系。当输入
d x dx m 2 F f kx dt dt
d x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2
2弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
2-3、传递函数 （复数域数学模型）
一、传递函数的概念和定义
• 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系 统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个 控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来 达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统 或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的 一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统 响应的影响。
二.线性系统
1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统 就是线性系统。 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究 带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同 时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后 加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的 数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用 （单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析—— 简化了问题。 线性系统的这两个重要性质使得线性定常 系统的分析大为简化。
描述对象：物理系统（机械、液压、气动、电气、热力） 建立方法：力学-牛顿定律、能量守恒定律、电路定理（基尔霍夫 定律、麦克斯韦方程） 解的特点：系统在外部作用（输入）下的输出（响应）
遇到问题：模型简化与模型精度的矛盾
1.电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算
放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电 感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果 电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。 R － L －
例2-1、由电阻R、电 i 感L和电容C组成无源 + 网络。ui输 入，uo ur(t) 输出，求微分方程。 －
+
+
i(t)
C
+ uc(t) －
+ + i ur(t) －
R － + L － i(t) C
+ uc(t) －
解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示．由基尔霍夫电压定律可得到
di ( t ) L Ri ( t ) u c ( t ) u r ( t ) dt
例2-2： 一个由弹簧-质量-阻
尼器组成的机械平移系统如图所 示。m为物体质量，k为弹簧系 数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t) 为输入量，位移x(t)为输出量。 列写系统的运动方程。
F
m
f
k
x
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
•解释拉氏变换（laplace变换）
(t ) df (t ) sF ( s ) f dt
定义：零初始条件下，线性定常系统或元件输出 信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏 变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记 为G（s），即：
L[c(t )] C ( s) G( s) L[r (t )] R( s)